初中数学知识要点及典型例题1

初中数学知识要点及典型例题

鸡足山镇中学雷鹏军

第一章实数

中考要求及命题趋势

1.正确理解实数的有关概念；

2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质；

3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。

4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算

5.会用多种方法进行实数的大小比较。

6.用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、

有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。实数的四则运算、

乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行,

并会出现探究类有规律的计算问题。

应试对策

牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形

结合的思想，理解数轴上的点及实数间的一一对应关系，还要注意

本节知识点及其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。

第一讲实数的有关概念

【回顾及思考】

知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对

值

1.课标要求：

2.使学生复习巩固有理数、实数的有关概念.

3.了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、

绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。

4.会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小

1.画数轴，了解实数及数轴上的点一一对应，能用数轴上的点

表示实数，会利用数轴比较大小。

2.考查重点：

3.有理数、无理数、实数、非负数概念；

2.相反数、倒数、数的绝对值概念；

3.在已知中，以非负数a2、|a|.(a20)之和为零作为条件，解决

有关问题。

实数的有关概念

(1)实数的组成

(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数及数

轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左

边的点对应的数,

(3)相反数

实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反

数，零的相反数是零).

从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.

(4)绝对值

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点及原点的距

离

⑸倒数

实数a(aWO)的倒数是(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没

有倒数.

【例题经典】

理解实数的有关概念

例1①a的相反数是-，则a的倒数是.

②实数a、b在数轴上对应点的位置如图所

_—---6~

小：

贝I」化简Ib-a|+=.

③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为

约.

例2.(-2)3及-23().

(A)相等(B)互为相反数(C)互为倒数(D)它们的和为16

分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。答案：A

例3.-的绝对值是；-3的倒数是；的平

方根是

分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混

淆。

答案：，-2口、±2/3

例4.下列各组数中，互为相反数的是（）D

A.-3及B,I-3I及一C.I-3I及D.-3及

分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念

掌握实数的分类

例1下列实数、sin60°、、（）0、3・14159、-、（-）

-2.中无理数有（）个

A.1B.2C.3D.4

【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果

去判断.

第二讲实数的运算

【回顾及思考】

知识点：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科

学计数法、近似数及有效数字。

1.课标要求:

2.了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、某的有关概

念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理

数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。

4了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩

固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能止确进行实数

的加、减、乘、除、乘方运算。

5了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的

个数，用四舍五入法求有理数的近似值(在解决某些实际问题时

也能用进一法和去尾法取近似值)，会按所要求的精确度运用近

似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。

6了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。

1.考查重点：

2.考查近似数、有效数字、科学计算法；

3.考查实数的运算；

实数的运算

⑴加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减

去较小的绝对值；

任何数及零相加等于原数。

(2)减法a-b=a+(-b)

(3)乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都

得零.即

⑷除法-=a-(b^O)

bb

(5)乘方a"=a、a…__J_aJ

〃个

⑹开方如果*2=d且*20,那么=x；如果x3=a,那么

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减.有括号

时，先算括号里面.

3.实数的运算律

(1)加法交换律a+b=b+a

(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律ab=ba.

(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)

(5)分配律a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意实数,运用运算律有时可使运算简便.

【例题经典】

例1.若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃,冷冻室的温度比冷藏室的

温度低22℃,则冷冻室的温度(℃)可列式计算为

A.4-22=-18B.22-4=18

C.22-(-4)=26D.一4-22=-26

点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的

方式呈现，同时也强调“列式”，即过程。选(A)

例2.我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行

轨道近似看作圆，其半径约为6.71X103千米，总航程约为(兀取

3.14,保留3个有效数字)()

A.5.90X105千米B.5.90X106千米

C.5.89X105千米D.5.89X106千米

分析：本题考查科学记数法答案：A

例3.化简的结果是().

(A)V7-2(B)V7+2(C)3(V7-2)(D)3(S+2)

分析：考查实数的运算。答案：B

例4.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列

式子中正确的有().

①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac

(A)l个(B)2个(C)3个(D)4个

分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。答案：C

例5计算：-+(—2)2X(-1)0-|-|.

【点评】按照运算顺序进行乘方及开方运算。

例5.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严

重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食.

请你帮他把标语中的有关数据填上.（已知1克大米约52粒）

如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费

吨大米

如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费

吨大米

分析：本题考查实数的运算。答案：25

例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，

玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐

步增加时,楼梯的上法数依次为；1,2,3,5,8,13,21,...-

（这就是著名的斐波那契数列）.请你仔细观察这列数中的规律后

回答：上10级台阶共有种上法.

分析：归纳探索规律：后一位数是它前两，立数之和

答案：89

例&观察下列等式（式子中的是一种数学运算符号）

1!=1,2!=2X1,3!二3X2X1,4!=4X3X2X1,・・・，

第二章计算：二

第三章分析：阅读各算式，探究规律，发现100!=100*99*98!答

案：9900

第四章代数式

中考要求及命题趋势

掌握整式的有关知识，包括代数式，同类项、单项式、多项式等;

2、熟练地进行整式的四则运算，基的运算性质以及乘法公式要熟练

掌握，灵活运用；

3.熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式；

4.了解分式的有关概念式的基本性质；

5.熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的运算和应用。

应试对策

掌握整式的有关概念及运算法则，在运算过程中注意运算顺序，

掌握运算规律，掌握乘法公式并能灵活运用，在实际问题中，抽象

的代数式以及代数式的应用题值得重视。要掌握并灵活运用分式的基

本性质，在通分和约分时都要注意分解因式知识的应用。化解求

殖题，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，对于分式的应用题,

要能从实际问题中抽象出数学模型。

第一讲整式

【回顾及思考】

知识点

代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号及去括号

法则、幕的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正

整数指数累、零指数累、负整数指数鬲。

课标要求

1、了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概

念，能正确地求出代数式的值；

2、理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降鼎

(或升累)排列，理解同类项的概念，会合并同类项；

3、掌握同底数基的乘法和除法、塞的乘方和积的乘方运算法则，

并能熟练地进行数字指数累的运算；

4、能熟练地运用乘法公式(平方差公式，完全平方公式及(x+a)

(x+b)=x2+(a+b)x+ab)进行运算；

掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单

混合运算。

考查重点

L代数式的有关概念.

(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)

把数或表示数的字母连结而成的式子.单独的一个数或者一个字母

也是代数式.

(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的

结果p叫做代数式的值.

求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以

化简，要先化简再求值.

(3)代数式的分类

2.整式的有关概念

(1)单项式：只含有数及字母的积的代数式叫做单项式.

对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母,

各个字母的指数分别是什么。

(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式

对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对

各项再像分析单项式那样来分析

(3)多项式的降幕排列及升嘉排列

把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫

做把这个多项式按这个字母降塞排列

把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫

做把这个多项式技这个字母升幕排列，

给出一个多项式，要会根据要求对它进行降嘉排列或升嘉排列.

(4)同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷.

要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并.即其中

的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。

3.整式的运算

(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括

起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是:

⑴如果遇到括号.按去括号法则先去括号：括号前是“十”号,

把括号和它前面的号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是

“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉.括号里各项都改变符号.

（ii）合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数.

字母和字母的指数不变.

（2）整式的乘除：单项式相乘（除），把它们的系数、相同字母

分别相乘（除），对于只在一个单项式（被除式）里含有的字母，则连

同它的指数作为积（商）的一个因式相同字母相乘（除）要用到同底数

帚的运算性质：

多项式乘（除）以单项式，先把这个多项式的每一项乘（除）以这个

单项式，再把所得的积（商）相加.

多项式及多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项

式的每一项，再把所得的积相加.

遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直谖算：

（3）整式的乘方

单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数及

字母的指数分别相乘所得的幕作为结果的因式。

单项式的乘方要用到幕的乘方性质及积的乘方性质：

多项式的乘方只涉及

【例题经典】

代数式的有关概念

例1.已知一IVbVO,0<a<l,那么在代数式a-b、a+b、

a+b2.a2+b中，对任意的a、b,对应的代数式的值最大的是()

(A)a+b(B)a—b(C)a+6(D)

a^b

评析：本题一改将数值代入求值的面貌，要求学生有良好的数感。选

(B)

同类项的概念

例1若单项式2am+2nbn-2m+2及a5b7是同类项，求nm的值.

【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得解出即可

例2(05宝应)一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、

厨房的面积和是()

A.4xyB.3xyC.2xyD.xy

评析：本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并

同类项等知识，同时又隐含着对代数式的理解。选(B)

累的运算性质

例1(1)am•an=(m,n都是正整数)；

(2)am-ran=_______(aWO,m,n都是正整数，且m>n),特别地：

aO=l(aWO),a-p=(aWO,p是正整数)；

(3)(am)n=(m,n都是正整数)；(4)(ab)n=(n

是正整数)

(5)平方差公式：(a+b)(a-b)=.(6)完全平方公式:

(a±b)2=.

【点评】能够熟练掌握公式进行运算.

例2.下列各式计算止确的是().

(A)(a3)2=a7(B)2x2=—(c)4a3•2a2=8a6(D)as4-a2=a6

2x

分析：考查学生对基的运算性质及同类项法则的掌握情况。答案：D

例3.下列各式中，运算正确的是()

A.a2a3=a6B.(一a+2b)2=(a-2b)2

c.(a+bWO)D.

分析：考查学生对幕的运算性质答案：B

例4.(泰州市)下歹IJ运算正确的是

A.;B.(l2x)3=—2x3;

C.(a—b)(―a+b)二一a2—2ab—b2;D.

评析：本题意在考查学生幕的运算法则、整式的乘法、二次根式

的运算等的掌握情况。选(D)

整式的化简与运算

例5计,算：9xy•(-x2y)二；

(2019年江苏省)先化简，再求值：

[(x-y)2+(x+y)(x-y)]4~2x其中x=3,y=~l.5.

【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代

数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确.

第二讲因式分解及分式

【回顾及思考】

因式分解

知识点

因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式

的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步骤。

课标要求

理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因

式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，

能把简单多项式分解因式。

考查重点及常见题型

考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重

点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运

用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

因式分解知识点

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积.分解

囚式要进行到每一个囚式都不能再分解为止.分解囚式的常用方法

有：

(1)提公因式法

如多项式am+bm+cm=+〃+c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是♦个单项式,

也可以是一个多项式.

⑵运用公式法，即用

写出结果.

(3)十字相乘法

对于二次项系数为1的二次三项式寻找满足ab=q,a+b=p的

a,b,如有，则对于一般的二次三项式寻找满足

ala2=a,clc2=c,alc2+a2cl=b的al,a2,cl,c2,如有，则(4)

分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分

解因式在各组之间进行.

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项

都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改

变符号.

(5)求根公式法：如果有两个根XI,X2,那么

【例题经典】

掌握因式分解的概念及方法

例1.分解因式：

①x'T=;

(2)X2-81=;

③x?+2x+l=;

@a2-a+-=_________________;

4

(§)a3-2a2+az:.

【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。

例2.把式子x2-y2-x—y分解因式的结果是..

分析：考查运用提公因式法进行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1)

例3.分解因式：a2—4a+4=

分析：考查运用公式法分解因式。答案：(a-2)2

分式

知识点：

分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负

整数，整数，整数指数累的运算

课标要求：

了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌

握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘

方的运算。掌握指数指数某的运算。

考查重点及常见题型：

1.考查整数指数基的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中,

如：下列运算正确的是()

(A)-4°=1(B)(-2)-二J(C)(-3l,r,,)2-9"rn(D)(a+b)-1=a^b-1

2.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简

求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按

照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如：

化简并求值:

□.□+（口-2）,其中x=cos30°,y=sin90°

知识要点

1.分式的有关概念

设A.B表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意

分母B的值不能为零，否则分式没有意义

分子及分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,

要进行约分化简

2.分式的基本性质

2=生"4=4卫（M为不等于零的整式）

BBxMBB+M

3.分式的运算

（分式的运算法则及分数的运算法则类似）.

（异分母相加，先通分）；

4.零指数

5.负整数指数

注意正整数累的运算性质二产：（"0）.

（am）n=amn,

（ab）n=anhn

可以推广到整数指数累，也就是上述等式中的m、n可以是0或负整

数.

熟练掌握分式的概念：性质及运算

例4（1）若分式的值是零，则X=.

【点评】分式值为0的条件是：有意义且分子为0.

（2）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是

（）

A.xW—4且xW—2B.x=-4或x=2

C.x=-4D.x=2

（3）如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）

A.扩大10倍B.缩小10倍C.不变D.扩大2倍

例5:化简（）・的结果是,

分析：考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。答案:

例6.已知a二,求的值.

分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因

式进行化简。

答案：a=2-<1,原式=a-l+=3.

例7.已知|a-4|+=0,计算的值

答案：由条件，得a-4=0且b-9=0・・・a=4b=9

原式马42

当a=4,6=9时,原式=16/81

例8.计算（x—y+&X）（x+y-f更）的正确结果是（）

x-yj

Ay2-x2B.x2-y2c.x2-4y2D.4x2-y2

分析：考查分式的通分及四则运算。答案：B

因式分解与分式化简综合应用

例1先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求

值.

【点评】注意代入的数值不能使原分式分母为零，否则无意义.

例2、（05河南）有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做

题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解

释这是怎么回事？

点评：化简可发现结果是，因此无论还是其计算结果都是7。

可见现在的考试特别重视应用和理解。

第三讲数的开方及二次根式

【回顾及思考】

K知识点U

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次

根式、

同类二次根式、二次根式运算、分母有理化

K课标要求X

1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平

方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方

根（包括利用计算器及查表）；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别

最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化

简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根

式化简;

3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则

运算，会进行简单的分母有理化。

内容分析

1.二次根式的有关概念

(1)二次根式

式子叫做二次根式.注意被开方数只能是正数或0.

⑵最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因

数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.

(3)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二

次根式.

2.二次根式的性质

3.二次根式的运算

(1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把

同类三次根式分别合并.

(2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行.

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式,

那么这两个三次根式互为有理化因式.

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母

的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根

号化去，叫做分母有理化.

K考查重点及常见题型X

1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出

现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选

择题中。

3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频

率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。

【例题经典】

理解二次根式的概念和性质

例1(1)式子有意义的x取值范围是.

【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非

负.

(2)已知a为实数，化简.

【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0.

掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法

例2下列根式中能及G合并的二次根式为（）

【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决

问题.

掌握二次根式化简求值的方法要领

例3先化简，再求值：

若a=4+,b=4-,求.

【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体

代入.

第三章方程（组）

中考要求及命题趋势

一元一次方程及一元一次方程组是初中有关方程的基础，在各地

中考题中，多数以填空、选择和解答题的形式出现，大多考查一

元一次方程及一次方程组的概念和解法，一般占5%左右。方程和方

程组的应用题是中考的必考题，考查学生建模能力和分析问题和解

决问题的能力，以贴进生活的题目为主°片10%左右C

应试对策

1、要弄清一元一次方程及二元一次方程组的定义，方程（组）的

解（整数解）等概念。

2、要熟练掌握一元一次方程，二元一次方程组的解法。

3、要弄清一元一次方程及一次函数、一元一次不等式之间的关系。

4、要弄清一元二次方程的定义，ax+bx+c=O(a0),a,b,c均为常

数，尤其a不为零要切记。

5、要弄清一元二次方程的解的概念。

6、要熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法

等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。

7、要加强一元二次方程及二次函数之间的综合的训练。

8、让学生理解化分式方程为整式方程的思想。

9、熟练掌握解分式方程的方法。

10、让学生学会行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的

分析。

让学生掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训

练。

K知识点X

等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二

次方程、简单的高次方程

K课标要求U

1.理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；

2.理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形,

掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；

3.会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法及用直接开平方法、

配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元

二次方程；

了解高次方程的概念，会用因式分解法或换元法解可化为一元

一次方程和一元二次方程的简单的高次方程；

体验“未知”及“已知”的对立统一关系。

内容分析

1.方程的有关概念

含有未知数的等式叫做方程.使方程左右两边的值相等的未知数的

值叫做方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）.

2.一次方程（组）的解法和应用

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不为零的方程，叫

做一元一次方程.

解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和

系数化成1.

3.一元二次方程的解法

（!）直接开平方法

形如（mx+n）2=r（r2。）的方程，两边开平方，即可转化为两个一

元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法.

(2)把一元二次方程通过配方化成

(mx+n)2=r(r^o)

的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法.

(3)公式法

通过配方法可以求得一元二次方程

ax2+bx+c=0(a^0)

的求根公式：

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

(4)因式分解法

如果一元二次方程ax2+bx+c=O(aWO)的左边可以分解为两个一次

因式的积，那么根据两个因式的积等于0,这两个因式至少有一个为

0,原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解

法.

K考查重点及常见题型H

考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有关习题常出

现在填空题和选择题中。

第一讲一次方程(组)及应用

【回顾及思考】

【例题经典】

掌握一元一次方程的解法步骤

例1解方程：X-

【点评】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,五步

进行

掌握二元一次方程组的解法

例2已知方程组的解为，求2a-3b的值.

【点评】将代入原方程组后利用加减法解关于a,b的方程组.

例3.某电视台在黄金时段的2min广告时间内，计划插播长度为15s

和30s的两种广告，15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告

每播1次收费1万元。若要求每种广告播放不少于2次。问：

⑴两种广告的播放次数有几中安排方式？

(2)电视台选择哪种方式播放收益较大？

点评：本题只能列出一个二元一次方程，因此需要学生对二元

一次方程的解有深刻的理解。体现了“从知识立意向能力立意转变”

的新命题理念。

解：(1)设15s广告播放x次，30s广告播放y次。

15x+30y=120而x,y均为不小于2的正整数，

或产；

(2)方案14.4万元；方案24.2万元。

一次方程的应用

例L下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29cm的

木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2.5cm.两端及圆

孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为Xcm,则x

为（）

A.2B.2.15C.2.33D,2.36

分析：考查列一元一次方程并解方程

答案：A

例2据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分

为三类：暂不缺水城市，一般缺水城市和严重缺水城市，其中，暂

不缺水城市数比严重缺水城巾数的4倍少50座，一般缺水城巾是严

重缺水城市数的2倍，求严重缺水城市有多少座？

【点评】一元一次方程或二元一次方程组都可解答此题.

例4.小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成；用了

某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150nl2.最后

结算工钱时，有以下几种方案：

方案一：按工算，每个工30元；（1个工人干1天是一个工）；

方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；

方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元.

请你帮小红家出主意，选择方案付钱最合算（最省）.

分析：考查方程和方程的应用，方案一：5*10*30+4800=6300元方

案二：4800*30炉1440元，方案三：12*150=1800元

答案：方案二

第二讲一元二次方程及应用

【回顾及思考】

【例题经典】

掌握一元二次方程的解法

例1解方程：

(1)3x2+8x-3=0；(2)9X2+6X+1=0；(3)x-2=x(x-2)；(4)

X2-26x+2=0

例2.用换元法解方程(x-)2-3x++2=0时，如果设x-二y,那么

原方程可转化为()D

(A)y2+3y+2=0(3)y2—3y-2=0(C)y2+3y-2=0(D)y2-3y+2=0

分析：考查用换元法解方程答案：D

例3.若关于x的方程x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则

P的值是,

分析：一个实数的倒数是它的本身，这个实数是±1

答案：士2

例4.关于x的一元一次方程的两根为，，则分解因式的结

果为;

分析：考查一元二次方程和分解因式的综合。将xl.x2的值代入方程

求出b、c

答案：(x-1)(x-2)

会判断一元二次方程根的情况

例1不解方程判别方程2X2+3X-4=0的根的情况是()

A.有两个相等实数根；B.有两个不相等的实数根；

C.只有一个实数根；D.没有实数根

【点评】根据b2-4ac及0的大小关系来判断

例2已知一元二次方程xMx+k=O有两个不相等的实数根

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程

x2-4x+k=0及x2+mx-l=0有一个相同的根，求此时m的值.点

评：本题考查了解一元二次方程的解法、根的判别式、不等式的

整数解等知识点。

一元二次方程的应用

例3某印刷厂1,月份印刷了书籍60,万册，•第一季度共印刷了200

万册，问2.3月份平均每月的增长率是多少？

【点评】设2、3月份平均每月的增长率为x,即60+60(1+x)+60

(1+x)2=200

第三讲分式方程及应用

【回顾及思考】

K知识点》

分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根

[[课标要求》

了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、

二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方

法，会用换元法解方程，会检验。

内容分析

1.分式方程的解法

(1)去分母法

用去分母法解分式方程的一般步骤是：

(i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方

程；

(ii)解这个整式方程；

(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最

简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根,

必须舍去.

在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.

(2)换元法

用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数,

求出新的未知数后求出原来的未知数.

2.二次根式方程的解法

(1)两边平方法

用两边平方法解无理方程的一般步骤是:

(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；

(ii)解这个有理方程；

(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原

方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去.

在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行.

(2)换元法

用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成

新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数.

K考查重点及常见题型』

考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能

力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，

习题出现在中档解答题中。

【例题经典】

理解分式方程的有关概念

例1指出下列方程中，分式方程有()

①‘二5②二-二二5③五X?-5x4)④二工―立+3:0

2x3/23V25x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数.

掌握分式方程的解法步骤

例2解方程：

(1),j

6x-22\-3x

(2)—=—o

x-\x+\

【点评】注意分式方程最后要验根。

例3.解方程：

分析：考查解分式方程答案：xl=3,x2=4/3都是原方程的根

例4(1)、用换元法解分式方程+=3时，设=y,原方程变形为

()

(A)y2-3y+l=0(B)y2+3y+l=0(C)y2+3y-l=0(D)y2-y

+3=0

(2)、用换元法解方程x2+8x+=23,若设y=,则原方程可化

为()

(A)y2+y+12=0(B)y2+y-23=0(C)y2+y-12=0(D)y2+y

-34=0

分式方程的应用

例5某服装厂装备加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技

术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，•求

该厂原来每天加工多少套演出服.

【点评】要用到关系式：工作效率=O

例6某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙

两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合做，6天可

以完成，共需工程费用10200元；若单独完成此项工程，甲

队比乙队少用5天.但甲队每天的工程费用比乙队多300元,

工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，

若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队?为什么？

解:设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，则

(a+b)X6=10200a-b=300解：设甲队独做需x天完成，则乙队

独做(x+5)天完成.

由题意，列方程.

整理得x2-7x-30=0,解之得xl=10,x2=-3.

经检验xVx2都是原方程的根，但x2=-3不合题意舍去.

・・・甲队独做需10天完成，

乙队独做需15天完成.解之得a=1000b=700

所以甲队独做的费用为1000X10=10000(元)，

乙队独做的费用为700X15=10500(元).

V10500>10000.

.若从节省资金的角度考虑，应选择甲工程队.

例7为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三

个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万立方米，其中乙水厂的

日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日

供水量的一半还多1万立方米.

(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？

(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600吨土石,

运输公司派出A型、B型两种载重汽车，A型汽车6辆、B型汽车

4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆、B型汽

车6辆，分别运5次，也可把土石运完.那么每辆A型汽车、每

辆B型汽车每次运土石各多少吨？(每辆汽车运土石都以标准载重

量满载)

解：(1)设甲水厂的日供水量是x万立方米，则乙水厂的日供水量

是3x万立方米，丙水厂的日供水量是(x/2+l)万立方米.

由题意得：x+3x+x/4+l=ll.8解得：x=2.4

答：甲水厂日供水量是2・4万立方米，乙水厂日供水量是7・2万立

方米，丙水厂日供水量是2・2万立方米.

(2)每辆A型汽车每次运土石10吨、每辆B型汽车每次运土石15吨.

第四讲列出方程(组)解应用题

K知识点X

列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、

应用问题的主要类型

K课标要求?能够列方程（组）解应用题

内容分析

列出方程（组）解应用题的一般步骤是：

（i）弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的

一个（或几个）未知数；

（ii）找出能够表示应用题全部含义的一个（或几个）相等关系；

（iii）根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程

（或方程组）；

（iv）解这个方程（或方程组），求出未知数的值；

（v）写出答案（包括单位名称）.

K考查重点及常见题型力

考查列方程（组）解应用题的能力，其中重点是列一元二次方程或列

分式方程解应用题，习题以工程问题、行程问题为主，近几年出

现了一些经济问题，应引起注意

一、填空题

1.某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10%）,仍可

获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是

2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得

利润，已知甲及乙投资额的比例为3:4,首年的利润为38500元，则

甲、乙二人可获得利润分别为元和元

3.某公司1996年出口创收135万美元，2019年、2019年每年都比上

一年增加a%,那么，2019年这个公司出口创汇万美元

4.某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%,农村人

口增加1.1%,这样全市人口将增加1%,求这个城市现有的城镇人

口数及农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万,

则所列方程组为

5.在农业生产上，需要用含盐16%的盐水来选种，现有含盐24%的

盐水200千克，需要加水多少千克？

解：设需要加水x千克根据题意，列方程为，解

这个方程，得答：

6.某电视机厂1994年向国家上缴利税400万元，1996年增加到484

万元，则该厂两年上缴的利税平均每年增长的百分率

7.某种商品的进货价每件为x元，零售价为每件900元，为了适应市

场竞争，商店按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可获利10%

（相对于进价），则乂=元

8.一个批发及零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以

上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300

支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三

年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m2—1）元（m为

正整数，且小2—1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同

样需用（m2—1）元.

（1）设这个学校初三年级共有x名学生，则（a）x的取值范围应为

（b）铅笔的零售价每支应为元，批发价每支应为

元

（用含x,1n的代数式表示）

（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15少付款1元，试求这个

学校初三年级共有多少名学生，并确定m的值。

1.二.列方程解应用题

2.某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每

天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每

天销售多少台？

3.我省1995年初中毕业会考（中考）六科成绩合格的人数为8

万人，2019年上升到9万人，求则两年平均增长的百分率（取

=1.41）

甲、乙两队完成某项工作，甲单独完成比乙单独完成快15天，如

果甲单独先工作10天，再由乙单独工作15天，就可完成这

项工作的，求甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？

某校校长暑期将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行

社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优

待”，乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优

惠（即按全票价的60%收费），若全票为240元

(1)设学生数为X,甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙,

分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)

(2)当学生数为多少时，两家旅行社的收费一样？

4.(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠？

5.现有含盐15%的盐水内400克，张老帅要求将盐水质量分数

变为12%。某同学由于计算失误，加进了110克的水，请你通过

列方程计算说明这位同学加多了，并指出多加了多少克的水？

6.甲步行上午6时从A地出发于下午5时到达B地，乙骑自行车

上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙在什么时间追

上甲的？

7.中华中学为迎接香港回归，从1994年到2019年内师生共植树

2019棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如

果1996年和2019年植树棵数的年增长率相同，那么该校2019年

植树多少棵？

要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一

边靠着原有的一条墙，墙长为am,另三边用竹篱笆围成，如图，

如果篱笆的长为35m,(1)求鸡场的长及宽各为多少？(2)

题中墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种款，共计68万元，每

年需付出利息8.42万元，甲种贷款每年的利率是12%,乙种贷

款每年的利率是13%,求这两种贷款的数额各是多少？

10.小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年期存入少儿银行，到期后

取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部

按一年期存入。若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金

和利息共66元，求这种存款的年利率。

11.某公司向银行贷款40万元，用来生产某种新产品，已知该贷款

的年利率为15%（不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每

个新产品的成本是2.3元，售价是4元，应纳税款为销售额的

10%。如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润=

销售额一成本一应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还

清？

12.某车间在规定时间内加工130个零件，加工了40个零件后，由于

改进操作技术，每天比原来计划多加工10个零件，结果总共用

5天完成任务。求原计划每天加工多少个零件？

13.东西两车站相距600千米，甲车从西站、乙车从东站同时同速相

向而行，相遇后，甲车以原速，乙车以每小时比原速快10千米

的速度继续行驶，结果，当乙车到达西站1小时后，甲车也到

达东站，求甲、乙两车相遇后的速度？

14.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开

放乙管少用10小时。如果单独开放甲管10小时后，加入乙管,

需要6小时可把水池注满。问单独开放一个水管，各需多少小时

才能把水池注满？

15.某商店1995年实现利税40万元（利税=销售金额一成本），1996

年由于在销售管理上进行了一系列改革，销售金额增加到154

万元，成本却下降到90万元，（1）这个商店利税1996年比1995

年增长百分之几？

（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本

下降的百分数相同，求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分

之儿？

16.甲、乙两辆汽车同时从A地出发，经C地去B地，已知C地离B

地180千米，出发时甲车每小时比乙车多行驶5千米。因此，乙

车经过C地比甲车晚半小时，为赶上甲车，乙车从C地起将车速

每小时增加10千米，结果两从同时到达B地，求（1）甲、乙两

从出发时的速度；（2）A.B两地间的距离.

17.某项工程，甲、乙两人合作，8天可以完成，需费用3520元；若

甲单独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙还需12天才能完成,

这样需要费用3480元，问：（1）甲、乙两人单独完成此项工程,

各需多少天？

（2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？

18.某河的水流速度为每小时2千米，A、B两地相距36千米，一动

力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航后1小时，机器发生故

障，橡皮船随水向下漂移，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但

船速比修复前每小忖慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，

求橡皮船在静水中起初的速度.

第四章不等式及不等式组

中考要求及命题趋势

L不等式，一元一次不等式（组）及其解集的概念。

2.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）解法以及解集的数轴

表示。

3.解决不等式（组）的应用题，要求学生会将应用题里关于'已知

量''未知量'之间的关系用明确的不等式关系表示出来，并注

意应用题中字母所表示的实际意义。

应试对策

解不等式（组）是本节的重点，而不等式的性质是解不等式的基

础，在复习本节时，首先要强化三条性质的应用顺练，切忌

不等式两边同乘（除）含字母的代数式（即正负不明的代数式）;

其次注意数形结合的方法，即充分利用数轴，关于不等式

（组）的应用题，要通过建模训练，学会找出实际问题中的不等

关系，并能在不等式的解集中找出符合题意的答案，还要注意

及其他类型的应用题结合起来训练。

第一讲一元一次不等式（组）及应用

【回顾及思考】

K知识点（

不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等

式组，不等式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次

不等式组。

课标要求

1.理解不等式，不等式的解等概念，会在数轴上表示不等式的解；

2.理解不等式的基本性质，会应用不等式的基本性质进行简单的

不等式变形，会解一元一次不等式；

3.理解一元一次不等式组和它的解的概念，会解一元一次不等式

组；

4.能应用一元一次不等式(组)的知识分析和解决简单的数学问题

和实际问题。

内容分析

一元一次不等式、一元一次不等式组的解法

(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不为零的不

等式，叫做一元一次不等式.

解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类

项和系数化成1.要特别注意，不等式的两边都乘以(或除以)同一个

负数，要改变不等号的方向.

(2)解一元一次不等式组的一般步骤是：

(i)先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集；

(ii)再利用数轴确定各个解集的公共部分，即求出了这个一元一

次不等式组的解集.

考查重点及常见题型

考查解一元一次不等式（组）的能力，有关试题多为解答题，也

出现在选拦题，填空题中。

【例题经典】

不等式的性质及运用

例1下列四个命题中，正确的有（）

①若a>b,则a+l〉b+l；②若a>b,则aT>bT；

③若a>b,则-2a〈-2b；④若a>b,则2a<2b.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】注意观察前后两个式子的变化，想一想及不等式的性质是否

相符.

会解一次不等式，并理解解集用数轴表示的意义

例2解不等式x>x-2,并将其解集表示在数轴上.

【点评】步骤类似于解一元一次方程，但要注意不等号方向的变化.

例3.关于x的不等式的解集如图所示，则a的取值是（）

考查内容：不等式的解集及数轴上所表示的数集之间的对应。解为7

例4.不等式2x+l>5的解集在数轴上表示正确的是

（）

分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件,

不等式的解为xN2答案：D

例5.如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组的整

数解是。

分析：考查不等式求解和用数轴表示其解集。注意取实心点的条件

答案：T,0

例6.函数y=中，自变量x的取值范围是（）

A.x中2B.x22C.x〈2D.x>2

分析：通过不等式的形式2算术平方根中被升方数的非负性。答案：B

例7.如果最简二次根式及是同类根式，那么使有意义的x的

取值范围是（）

A.xW10B.x210C.x<10D.x>10

分析：考查同类根式的意义及二次根式有意义的