二项式定理知识点和各种题型归纳带答案

二项式定理知识点和各种题型归纳带答案二项式定理1．二项式定理：(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn(nN)，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(abn)的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数Cnr(r0,1,2,,n).③项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。用Tr1Cnranrbr表示。3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n1)项。②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(abn与(ba)n是不同的。)③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2CnrxrCnnxn(nN)令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2Cnrxr(1)nCnnxn(nN)5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn，···CnkCnk1②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n，变形式Cn1Cn2CnrCnn2n1。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b1，则Cn0Cn1Cn2Cn3(1)nCnn(11)n0，从而得到：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3Cn2r112n2n12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：(ax)nCn0anx0Cn1an1xCn2an2x2Cnna0xna0a1x1a2x2anxn(xa)nCn0a0xnCn1axn1Cn2a2xn2Cnnanx0anxna2x2a1x1a0令x1,则a0a1a2a3an(a1)n①令x1,则a0a1a2a3an(a1)n②①②得,a0a2a4an(a1)n2(a1)n(奇数项的系数和)①②得,a1a3a5an(a1)n2(a1)n(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。n是奇数时，则中间两项的二项式系数n1n1如果二项式的幂指数Cn2,Cn2同时取得最大值。⑥系数的最大项：求(abx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为A1,A2,,An1，设第r1项系数最大，应有Ar1ArAr，从而解出r来。1Ar26．二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：Cn1Cn26Cn362Cnn6n1.解：(16)nCn0Cn16Cn262Cn363Cnn6n与已知的有一些差距，Cn1Cn26Cn362Cnn6n11(Cn16Cn262Cnn6n)1611(Cn0Cn16Cn262Cnn6n1)[(16)n1](7n1)666练：Cn13Cn29Cn33n1Cnn.解：设SC13C29C33n1Cn，则nnnnn3SnCn13Cn232Cn333Cnn3nCn0Cn13Cn232Cn333Cnn3n1(13)n1Sn(13)n14n133题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式(413x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？x解：由条件知Cnn245，即Cn245，n2n900，解得n9(舍去)或n10，由1210r2rTr1C10r(x4)10r(x3)rC10rx43，由题意10r2r3,解得r6，43则含有x3的项是第7项T61C106x3210x3,系数为210。练：求(x21)9展开式中x9的系数？2x解：r1r29r1rr182r1rrr1r183r，令183r9则r3C9(x)()9x()x9()x,TCC2x22故x9的系数为C93(1)321。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x21)10的展开式中的常数项？2x解：Tr1C10r(x2)10r(1)rC10r(1)rx5，令205r0，得r8，所以T9C108(1)84520r2x222256练：求二项式(2x1)6的展开式中的常数项？2x解：Tr1C6r(2x)6r(1)r(1)r(1)rC6r26r(1)rx62r，令62r0，得r3，所以2x2T4(1)3C6320练：若(x21)n的二项展开式中第5项为常数项，则n____.x解：T5Cn4(x2)n4(1)4Cn4x2n12，令2n120，得n6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(x3x)9展开式中的有理项？1127r27r解：Tr1C9r(x2)9r(x3)r(1)rC9rx6，令Z,(0r9)得r3或r9，6所以当r3时，27r4，T4(1)3C93x484x4，6当r9时，27r3，T10(1)3C99x3x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(x21)n展开式中偶数项系数和为256，求n.3x2解：设(x231)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,x2令x1,则有a0a1an0,①，令x1,则有a0a1a2a3(1)nan2n,②将①-②得：2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1,有题意得，2n125628，n9。11n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。练：若(35x2)x解：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3Cn2r12n1，2n11024，解得n1151615461所以中间两个项分别为n6,n7，T5(5462x，T61462x151Cn(3x)x2)题型六：最大系数，最大项；例：已知(12x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？解：Cn4Cn62Cn5,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C73(1)42335,，T5的系数C74(1)32470,当n14222时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数C147(1)7273432。2练：在(ab)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn1，也就是第n1项。12练：在(x1)n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23x解：只有第5项的二项式最大，则n15，即n8,所以展开式中常数项为第七项等于2C86(1)272例：写出在(ab)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C73a4b3的系数最小，T5C74a3b4系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(12x)n的展开式中系数最大的项？2解：由Cn0Cn1Cn279,解出n12,假设Tr1项最大，(12x)12(1)12(14x)1222Ar1ArC12r4rC12r14r1，化简得到9.4r10.4，又0r12，r10，Ar1ArC12r4rC12r14r12展开式中系数最大的项为T11,有T11(1)12C1210410x1016896x102练：在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr1项最大，Tr1C10r2rxrAr1ArC10r2rC10r12r12(11r)r，化简得到6.3k7.3，又解得Ar1Ar2C10r2rC10r12r1,r12(10r)0r10，r7，展开式中系数最大的项为T8C10727x715360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x23x2)5的展开式中x的一次项的系数？解法①：(x23x2)5[(x22)3x]5，Tr1C5r(x22)5r(3x)r，当且仅当r1时，Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C51(x22)43x，所以x得一次项为C51C44243x它的系数为C51C44243240。解法②：(x23x2)5(x1)5(x2)5(C50x5C51x4C55)(C50x5C51x42C5525)故展开式中含x的项为C54xC5525C54x24240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(x12)3的常数项？x解：(x12)3(x1)6，设第r1项为常数项，则xxTr1C6r(1)r6r62rT31(1)3C6320.x(1)r(1)6C6rx，得62r0,r3,x题型八：两个二项式相乘；例：求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.解：(12x)3的展开式的通项是C3m(2x)mC3m2mxm,(1x)4的展开式的通项是C4n(x)nC4n1nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4的展开式中x2的系数等于C3020C42(1)2C3121C41(1)1C3222C40(1)06.练：求(13x)6(11)10展开式中的常数项.4x3x)6(11mn4m3n解：(1)10展开式的通项为C6mx3C10nx4C6mC10nx124x其中m0,1,2,,6,n0,1,2,当且仅当4m3n,即m0,或m3,或m6,,10,n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为C0CC3C4C6C84246.610610610练：已知(1xx2)(x13)n的展开式中没有常数项,nN*且2n8,则n______.x解：(x13)n展开式的通项为Cnrxnrx3rCnrxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得xCnrxn4r,Cnrxn4r1,Cnrxn4r2,展开式中不含常数项,2n8n4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x2)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x2时,S_____.解：设(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------①(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------②①②得2(a1xa3x3a5x5a2005x2005)(x2)2006(x2)2006(x2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)1[(x2)2006(x2)2006]232006当x2时,S(2)12)2006(22)2006]2223008[(222题型十：赋值法；例：设二项式(33x1)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若xps272,则n等于多少？解：若(33x1)na0a1xa2x2anxn，有Pa0a1an，SCn0Cnn2n，x令x1得