中考数学几何专项冲刺专题05对角互补模型巩固练习（提优）含答案及解析

对角互补模型巩固练习（提优）1. 如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.2. 在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.3. 抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C.（1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交轴于点Q，连接BQ.若含45º角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；4. 如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.5． 我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等邻边四边形的图形的名称；（2）已知，如图，完美等邻边四边形ABCD，AD＝CD，∠B+∠D＝180°，连接对角线AC，BD，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质；（3）在四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，且BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是完美等邻边四边形．6． 阅读理解如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．7． 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．8． 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．9． 如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，有EF＝DF﹣BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，当∠EAF=12∠BAD时，EF与DF、（3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=12∠BAD时，EF与DF、（4）在（3）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．对角互补模型巩固练习（提优）1. 如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.【解答】（1）BG＝CH；（2）面积不变，始终是4；（3）仍成立，理由见解析.【解析】（1）连接BD，如图所示：∵等腰直角三角形ABC，点D为AC的中点，∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45º，BD⊥AC，∵EDF＝90º，∴∠ADG＋∠HDC＝90º，∵∠BDC＝∠BDA＝90º，∴∠BDG＋∠ADG＝90º，∴∠BDG＝∠HDC，∴△BDG≌△CDH（ASA），∴BG＝CH；（2）在等腰直角△ABC中，∵AB＝BC＝4，∴△ABC的面积为8，∴∠A＝∠C＝45º，∴∠A＝∠DBH，∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，又∵BD＝AD，∴△BDH≌△ADG（SAS），由（1）可得△BDG≌△CDH，∴，∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，，∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，始终是4；（3）连接BD，如图所示：∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，∴∠BDG＝90º－∠CDG，∠CDH＝90º－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝45º，∴∠DBG＝∠DCH＝135º，∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH，∴结论仍然成立.2. 在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.【解答】（1）DE⊥AB；（2）见解析；（3）【解析】（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90º，∵∠A＝60º，∠EDF＝120º，∴∠AED＝360º－∠A－∠AFD－∠EDF＝90º，∴∠DE⊥AB；（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：∵点D是BC的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90º，∠A＝60º，∴∠MDN＝360º－60º－90º－90º＝120º，∵∠EDF＝120º，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；（3）过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：在△BOM与△CDN中，，∴BM＝CN，DM＝DN，∵∠EDF＝120º＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，在△DME与△NDF中，，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝.3. 抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C.（1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交轴于点Q，连接BQ.若含45º角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；【解答】（1），OC＝1；（2）【解析】（1）将代入到中，解得，∴，∵BC为对称轴，点B的坐标为（1，3），∴OC＝1；（2）如图，分别过点D作DM⊥轴于点M，作DN⊥PQ于点N.∵PQ∥BC，∴∠DMQ＝∠DNQ＝∠MQN＝90º，∴四边形DMQN是矩形，∵△CDE是等腰直角三角形，∴DC＝DE，∵∠CDM＋∠MDE＝∠EDN＋MDE＝90º，∴∠CDM＝∠EDN，∴△CDM≌△EDN，∴DM＝DN，∴矩形DMQN是正方形，∴∠BQC＝45º，∴△BQC是等腰直角三角形，∴CQ＝CB＝3，∴Q（4，0），设BQ的解析式为，将点B、Q坐标代入解得K＝－1，b＝4，∴直线BQ的解析式为.4. 如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.【解答】（1）PB＝PQ；（2）PB＝PQ【解析】（1）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：∵P、C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90º，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPE＋∠QPE＝90º，∠QPE＋∠QPF＝90º，∴∠BPE＝∠QPF，∴△PQF≌△PBE，∴PB＝PQ；（2）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：证明过程参考（1），通过证△PQF≌△PBE即可得到PB＝PQ.5． 我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等邻边四边形的图形的名称；（2）已知，如图，完美等邻边四边形ABCD，AD＝CD，∠B+∠D＝180°，连接对角线AC，BD，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质；（3）在四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，且BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是完美等邻边四边形．【解答】（1）菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形；（2）∠BAD+∠BCD＝180°；（3）见解析【解析】（1）菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形（2）性质是∠BAD+∠BCD＝180°；（3）证明：作DM⊥BC，DN⊥AB，垂足分别为M，N，∵BD平分∠ABC，DM⊥BC，DN⊥AB，∴DM＝DN，∵∠DMB＝∠DNB＝90°，∴∠ABC+∠MDN＝180°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠MDN，∴∠ADN＝∠MDC，∵∠DNA＝∠DMC，∴△DMC≌△DNA，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是等邻边四边形；又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴等邻边四边形ABCD是完美等邻边四边形．6． 阅读理解如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．【解答】（1）55°；（2）22；（3）2【解析】（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故答案为：55°；（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，∴∠FAD＝∠BDE，在△ADF和△DEB中，∠FAD∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=2AD＝22（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，∴△ABK是等边三角形，∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，∴KM＝AK•sin60°＝23，∵AE＝3，AM=12∴ME＝3﹣2＝1，∴EK=M∴EF=EK7． 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．【解答】（1）④；（2）①见解析；②BC+CD=2【解析】（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”．故答案为：④（2）①想法一：延长CB使BE＝CD，连接AE∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABE∵AD＝AB，∴△ADC≌△ABE（SAS）∴∠ACD＝∠AEB，AC＝AE∴∠ACB＝∠AEB．∴∠ACD＝∠ACB．即AC平分∠BCD4想法二：将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到△ABE，∴△ADC≌△ABE．∴∠ADC＝∠ABE；∠ACD＝∠AEB；AC＝AE．∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABE+∠ABC＝180°．∴点C，B，E在一条直线上．∵AC＝AE，∴∠ACB＝∠AEB∴∠ACD＝∠ACB即AC平分∠BCD②BC+CD=2理由如下：延长CB使BE＝CD，连接AE，由①得△ACE为等腰三角形．∵∠BAD＝90°，∴∠EAC＝90°∴CE2＝2AC2，∴CE=∴BC+CD=2AC8． 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．【解答】（1）见解析；（2）①4；②82．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∴四边形BEDF为“直等补”四边形；（2）①过C作CF⊥BF于点F，如图1，则∠CFE＝90°，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝1，∵∠ABE+∠A＝∠CBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，设BE＝CF＝x，则BF＝x﹣1，∵CF2+BF2＝BC2，∴x2+（x﹣1）2＝52，解得，x＝4，或x＝﹣3（舍），∴BE＝4；②如图2，延长CB到F，使得BF＝BC，延长CD到G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴CM＝FM，CN＝GN，∴△MNC的周长＝CM+MN+CN＝FM+MN+GN＝FG的值最小，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠HCG＝180°，∴∠A＝∠HCG，∵∠AEB＝∠CHG＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴BE∵AB＝5，BE＝4，∴AE=A∴4GH∴GH