专题01预备知识（考点串讲集合与常用逻辑用语不等式）高一数学上学期期末考点大串讲（北师大版2019）

高一数学上学期·期末复习大串讲串讲01预备知识北师大版（2019）010203目

录押题预测题型剖析考点透视20大常考点：知识梳理

22个题型典例剖析+技巧点拨精选14道期末真题对应考点练考点透视01考点透视01考点透视研究对象元素集一样确定性考点透视01考点透视属于∈不属于∉[提醒]

符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，且二者必居其一，注意开口方向．考点透视01考点透视NN*或N＋ZQR考点透视01考点透视一

一列举花括号“{

}”考点透视01考点透视共同特征P(x){x∈A|P(x)}考点透视01考点透视Venn考点透视01考点透视任意一个都是⊆⊇A包含于BB包含A⊆x∉A

A真包含于BB真包含A考点透视01考点透视任何一个都是任何一个都是考点透视01考点透视不含任何元素子集子集

考点透视01考点透视属于集合A或属于集合BA∪B{x|x∈A,或x∈B}考点透视01考点透视属于集合A且属于集合BA∩B{x|x∈A,且x∈B}考点透视01考点透视AAA∅考点透视01考点透视全集U考点透视01考点透视集合A全集U∁UA知识点13补集∁UA集合A考点透视01考点透视命题真命题假命题pq真命题p⇒q充分条件必要条件充分条件必要条件考点透视01考点透视p⇒qq⇒pp⇔q充要条件充要条件充要条件p⇔q充要条件考点透视01考点透视所有的任意一个∀全称量词∀x∈M，p(x)考点透视01考点透视存在一个至少有一个∃存在量词∃x∈M，p(x)考点透视01考点透视∃x∈M，非p(x)存在量词考点透视01考点透视∀x∈M，非p(x)全称量词题型剖析02题型剖析02题型剖析题型1对集合的理解1．下列各组对象可以构成集合的是(

)A．数学必修第一册课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；D中“小”的标准不确定，所以不能构成集合．故选B.答案解析题型剖析02题型剖析题型2元素与集合的关系【例题2】已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为(

)A．2 B．2或4C．4 D．0解析：由题意得，当a＝2时，2∈A，6－2＝4∈A；当a＝4时，4∈A，6－4＝2∈A；当a＝6时，6∈A，6－6＝0∉A，所以a＝2或4.故选B.答案解析题型剖析02题型剖析题型3集合中元素的特性及应用【例题3】已知集合A中含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．解题型剖析02题型剖析题型4集合间关系的判断【例题4】已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}与Q的关系是(

)A．M

Q B.M，Q互不包含C．Q

M D.Q＝M解析：∵集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}＝{2，3，4，5}，又集合M＝{3，4，5}，∴M

Q.故选A.答案解析题型剖析02题型剖析题型5求子集、真子集(的个数)【例题5】已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0}的子集的个数为________．解析：方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，所以方程有两个不相等的实数根，所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集．4答案解析题型剖析02题型剖析题型三由集合间的关系求参数解析因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.答案解析题型剖析02题型剖析题型6并集的概念及简单应用【例题6】(2024·辽宁六校协作体高一上期中)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(

)A．1 B．3C．4 D．8解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C.答案解析题型剖析02题型剖析解析在数轴上表示出集合A和B，如图所示．由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．题型7交集的概念及简单应用【例题7】设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(

)A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}答案解析题型剖析02题型剖析题型8已知集合的交集、并集求参数解

∵M∩N＝{3}，∴3∈M，∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.当a＝－1时，集合N中的元素不满足互异性，舍去；当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意．∴a＝4.【例题8】(2024·河北保定定州高一上期中)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．解题型剖析02题型剖析题型9补集的简单运算【例题9】设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA＝__________．{0，1，3}解析：由题意，知U＝{0，1，2，3，4}，又A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3}．答案解析题型剖析02题型剖析题型10交集、并集、补集的混合运算

【例题10】

设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．解题型剖析02题型剖析题型11与补集相关的参数的求解

解

由已知，得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是{m|m≥2}．【例题11】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．解题型剖析02题型剖析题型12充分条件的判断【例题12】给出下列三组命题：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等；(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？解题型剖析02题型剖析(2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件．解题型剖析02题型剖析题型13必要条件的判断解题型剖析02题型剖析题型14利用充分条件、必要条件求参数的取值范围【例题14】已知集合M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，p：x∈M，q：x∈N.若q是p的必要条件，求a的取值范围．解题型剖析02题型剖析解

(1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要条件．(2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，所以pq，所以p不是q的充要条件．解题型剖析02题型剖析(3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件．解题型剖析02题型剖析题型16充要条件的证明

证明假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.【例题16】(2024·江苏连云港灌南高级中学高一上第二次月考)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明题型剖析02题型剖析②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明题型剖析02题型剖析题型17探求充要条件

【例题17】求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．解题型剖析02题型剖析反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，解得x3＝1，x4＝－2.因此两个方程有公共实根1，所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件是k＝－2.解题型剖析02题型剖析题型18全称量词命题与存在量词命题的识别【例题18】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)圆内接四边形的对角互补；(2)存在实数x，满足x2≥2；(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．题型剖析02题型剖析解：(1)是全称量词命题，表示为∀圆内接四边形，其对角互补．(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.(3)是存在量词命题，表示为∃平行四边形，其对角线不互相垂直．(4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．解题型剖析02题型剖析题型19全称量词命题与存在量词,命题的真假判断)【例题19】判断下列命题的真假：(1)任何实数都有平方根；(2)存在有理数x，使x2－2＝0；(3)∀x∈R，x2－x＋1>0；(4)∃x∈Z，3x＋4＝5.题型剖析02题型剖析解题型剖析02题型剖析题型20含有量词的命题的应用【例题20】已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是______________．答案解析题型剖析02题型剖析题型21全称量词命题的否定解题型剖析02题型剖析题型22存在量词命题的否定解

(1)该命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．(2)该命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．(3)该命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|>1”．【例题22】写出下列命题的否定．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)有些三角形的三个内角都是60°；(3)∃x∈R，|x＋1|≤1.解押题预测03题型剖析1.已知命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为(

)A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.答案解析答案解析3．下列语言叙述中，能表示集合的是(

)A．数轴上离原点距离很近的所有点B．太阳系内的所有行星C．某高一年级全体视力差的学生 D．与△ABC大小相仿的所有三角形解析：对于A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A不符合题意；对于B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B符合题意；对于C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C不符合题意；对于D，与△ABC大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D不符合题意．故选B.答案解析4．已知a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，所以a的值为0.故选A.答案解析5．将集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法表示为(

)A．{x＝－1，x＝4} B．{x|x＝－1，x＝4}C．{x2－3x－4＝0} D．{－1，4}解析：解方程x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，所以集合{x|x2－3x－4＝0}用列举法可表示为{－1，4}．答案解析6．(2024·湖北武汉第一中学高一上第一次月考)已知集合A＝{x∈N|x－4≤－1}，则集合A的真子集的个数为(

)A．4 B．8C．15 D．16解析：A＝{x∈N|x－4≤－1}＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，即集合A中含有4个元素，其真子集有24－1＝15个．故选C.答案解析7．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(

)A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案解析8．(2024·广东珠海一中高一上月考)设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(

)A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>1解析：对于A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立．故选B.答案解析答案解析10．(2024·河南八地市高一上期中联考)已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“A⊆∁UB”的充要条件是(

)A．B⊆∁UA B．A⊆BC．B⊆A D．∁UA⊆B解析：因为A⊆∁UB，则A，B关系如图，由图可知A正确，B，C，D错误．故选A.答案解析11．(2024·广东揭阳普宁二中高一上第一次月考)下列命题中全称量词命题的个数是(

)①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方