2019年中考数学真题分类训练-十四：图形的相似解析版x

2019年中考数学真题分类训练一一专题十四：图形的相似

一、选择题

1.（2019邵阳）如图，以点0为位似中心，把△胸放大为原图形的2倍得到△/gC,以下说法中

错误的是

A.△四6sB'C

B.点G点0、点△三点在同一直线上

C.AO'.AA1=1：2

D.AB//A'B'

【答案】C

2.（2019温州）如图，在矩形的?中，£为脑中点，以幽为边作正方形应K7,边即交切于点，，在

边被上取点"使止破作掰V〃鹿交切于点£,交定于点M欧几里得在《几何原本》中利用该图解

释了（附方）（a-b）=a2-Z>2,现以点尸为圆心，所为半径作圆瓠交线段掰于点只连结EP,记4EPH忸

面积为S,图中阴影部分的面积为S.若点小L,G在同一直线上，则的值为

DP

B.

A,口

c.D.

【答案】c

3.（2019淄博）如图，在中,AC=2fBC=4,。为比边上的一点，且N。加N8.若△胸的面积为

a则△板的面积为

A.2a

C.3a

【答案】C

4.（2019杭州）如图，在△胸中，点"月分别在相和4c上，DE//BC,必为宽边上一点（不与点反

。重合），连接■交加于点乂则

5.（2019玉林）如图，AB//EF//DC.ADi/BC.EF与AC交于点G,则是相似三角形共有

A.3对B.5对C.6对D.8对

【答案】C

6.（2019常德）如图，在等腰三角形△胸中，AB=ACt图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积

为L△板的面积为42,则四边形破下的面积是

A.20B.22C.24D.26

【答案】D

7.（2019凉山）如图，在△被7中，〃在4C边上，AD\DO\：2,0是物的中点，连接40并延长交BC

于瓦则属：£俏

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

【答案】B

8.（2019赤峰）如图，D、£分别是△被7边AB,4c上的点，NADJ3=NACB,若止2,心6,4仅4,则

府的长是

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

9.（2019重庆）如图，XCDO,若吩6,DO=3f绥2,则血的长是

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

10.（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则,

“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、

“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似

A.①处B.②处

【答案】B

11.（2019安徽）如图，在Rt△胸中，妙90°,力俏6,止12,点。在边国上，点£在线段段上,

阮L4c于点凡舐1所交四于点G.若E2EG,则如的长为

A.3.6B.4C.4.8D.5

【答案】B

12.（2019兰州）已知八ABCs△A'B'C,小8,A'B'=6,则

A.2B.C.3D.

【答案】B

13.（2019常州）若△第7〜△/B'C,相似比为1：2,则△被7与C的周长的比为

A.2：1B.1：2C,4：1D,1：4

【答案】B

二、填空题

14.（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3吗同时同地测得一栋楼的影长为

90m,则这栋楼的高度为m.

【答案】54

15.（2019台州）如图，直线U/lJ/luAtB,。分别为直线7i,k,乙上的动点，连接AB,BC、AC,

线段交直线于点D.设直线Z力之间的距离为％直线A之间的距离为小若N麴0=90°,

»4,且，则加〃的最大值为_

一

C,3

【答案】

16.（2019南京）如图，在△胸中，欧的垂直平分线就交居于点〃，5平分N46B.若止2,吩3,

则/C的长__________.

BC

【答案】‘

17.(2019)烟台)如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△板的顶点坐标分

别为A(-2,-1),B(-2,-3),0(0,0),区”的顶点坐标分别为4(1,-1),仄(1,-5),(X

(5,1),△血与区”是以点尸为位似中心的位似图形，则尸点的坐标为

【答案】(-5,-1)

18.(2019)本溪)在平面直角坐标系中，点A96的坐标分别是4(4,2),8(5,0),以点0为位似中

心，相似比为，把△的0缩小，得到△48“则点力的对应点4的坐标为

【答案】(2,1)或(-2,-1)

19.(2019宜宾)如图，已知直角△胸中，⑦是斜边相上的高，力俏4,BC=3,则止

【答案】

，则］

20.(2019河池)如图，以点0为位似中心，将△胸放大后得到△a力，OA=2tAC=3

D

【答案】

21.(2019淮安)如图，h"k,直线a、b与△、h、心分别相交于点/、B、。和点D、E、F.若

AB=3t诋2,BC=6,则E2.

【答案】4

三、解答题

22.(2019福建)已知△胸和点4,如图.

(1)以点H为一个顶点作使△被7,且△46'C的面积等于△■面积的4倍;

(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)设〃、E、户分别是△3三边四、BC、4c的中点，“、片、尸分别是你所作的三边4'夕、

FC、的中点，求证：△加2

C

解：(1)作线段/右=2ZGA'*=2AB、BC=2BC,得△HS'C即可所求.

图1

,：A,e=2AC.A'B'=2AB.FC=2BC,

，△侬SA4'B'C,?.

(2)如图,

图2

VAE、尸分别是△胸三边的、BC、4c的中点,

:.RDEF^AABC

同理：XEEFs盘EC,

由(1)可知：AABCsAA'B'C,

，△戚

23.12019绍兴)如图，矩形用力中，AB=atBC=b,点M〃分别在边被CD上,点E,尸分别在边舐

助上，MN,厮交于点只记k=MN：EF.

(1)若a：6的值为1,当掰匕历时，求A的值.

(2)若a：b的值为,求A的最大值和最小值.

(3)若在的值为3,当点〃是矩形的顶点，N必%=60°,MP=EQ3PE时,求a：b的值.

解：(1)如图1中,

图1

作FHLBC于H,MQLCD于Q,设用'交的于点Q

:四边形松力是正方形，:.FltAB,MQ=BC,

,:AB=CB,:.FH=MQ,

■:EF1MN,:.NEOl^M,

•；N比沪90°,：./MNS/CEC18N,/电济N®=180°,

:・/FE44MNQ,•・•/颇=N版忙90°,

：・AFHE0AMQN(峻2,

:・MP±EF,:・kMN：跖=1.

(2)：azb=l：2,：.b=如、

由题意：2aW胸"aWEF

，当府的长取最大时，“1取最短，此时女的值最大，最大值为二,

当做的长取最短时，跖的值取最大，此时"的值最小，最小值为j|.

(3)连接刚ME.

VA=3,M^E声3PE,：.3,

：3如MME,

2,ME//NF,

设法2。，则加40，MP=6m,胪=12。,

①如图2中，当点〃与点，重合时，点力恰好与点5重合.过点尸作碘助于点，.

•:/g炉/FP居60°,

:,PH=2m,F/f=2[g,好10%

②如图3中，当点〃与点C重合，过点月作成LAW于点〃则叫27,HE叫

:・H("P出Pg3m,JtanN胸

'：ME/fFC,：.AMEB=AFCB=ACFDt

•.・"/〃，:.△MEB^ACFD,

综上所述，a：b的值为

24.(2019凉山)如图，/ABA/BCD-9。。,DB平公4ADC,过点5作勿〃勿交助于瓶连接缈交庞

于N.

(1)求证：B氏AD，CD}

(2)若)=6,止8,求仞V的长.

解：(1)证明：•:DB平价ZADC,

：・ZADB=4CDB,且NABD=NBCD=90°,

：.4AB34BCD,

:・B!f=AD、CD.

(2),:BM//CD,:・/MBg/BDC,

：.4AD故4MBD,且N3=90。，

:,映MD,/杨斯/曲，

:・BM=MD=AM=4,

,:B/=AD・CD,且06,AD=8t・••面=48,

；・降既3=12,

，初二加+降28,

:,临L

FBMHCD、:△MNB^XCND、

,且MO,

「

・••阶.

25.（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.

（1）温故：如图1,在△被;中，AD1BC于点D,正方形/W的边翻在账上，顶点只〃分别在典

47上，若死=&小方，求正方形;W的边长（用a,力表示）,

（2）操作：如何画出这个正方形尸SW呢？

如图2,小波画出了图1的AABC,然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在小上任

取一点P,画正方形PQ驳N、使点Q、"在BC边上,点〃在△胸内，然后连结BN,并延长交AC

于点M画闻吐房?于点MNP1NM交AB于悬P,PQ1BC干次Q,得到四边形义瞅

（3）推理：证明图2中的四边形;W是正方形.

（4）拓展：小波把图2中的线段胸称为“波利亚线”，在该线上截取除幽连结£0,9（如图3）,

当N麴生90。时，求“波利亚线”册的长（用a,力表示）,

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.

A

BQD3/C6Q0MMCBQA/L

图1图2图3

解：（1）证明：如图L也正方形PQMN再PN〃BC,：.4APN^4ABC,

,即|一,

解得刖

A

图1

(3)证明：由画法得，/救忙N7W=N?妍90°,

.四边形图阶为矩形，

♦NM〔BC,NMLBC,

.W〃阕

•四边形/W吩正方形.

(4)如图2,过点〃作佩JL始于点兄

图3

VNB=NM,：.4NE1Q4NME,

：,ER=R1^^

又,：ZEQ/4EM牛4EM心■4EMN=90°,

"EQ^NEMN.

又/期/4昨90°,帐QM,

.•.△Afi^AiBW(AAS),

:・E午RM,

:.E牛W,

•・•/恻=90°,••・/飒乙糜=90°,

.*.4BE牛4EMB,

又,：£EB*4QBE,

・•・△磔s△阳心

设阶x,则后2乂止4%

:.QM-BM-Bg力册NE,

・•・阱明松=5%

njI

：.BN=Mf=L

U___I

26.（2019巴中）△府在边长为1的正方形网格中如图所示.

①以点。为位似中心，作出△被7的位似图形△45G使其位似比为1：2.且△45C位于点。的异侧,

并表示出4的坐标.

②作出△胞绕点，顺时针旋转90。后的图形△也昆£

③在②的条件下求出点5经过的路径长.

解：①如图，△45。为所作，点4的坐标为(3,-3).

②如图，△桢。为所作.

27.(2019衢州)如图，在Rt^4C中，N俏90°,4俏6,N班俏60°,他平分NBAC交BC于点D,过

点。作龙〃交相于点七点"是线段初上的动点，连结身并延长分别交阳AC于兼RG.

(1)求切的长.

二|的值.

若点"是线段血的中点，求

(3)请问当掰的长满足什么条件时，在线段比'上恰好只有一点只使得N*60°?

解：(1)二•助平分N物GZBAC=60°,

/.ZDACZBAC=3O°,

在Rt△胸中，DC=AC,tan30°=i

(2)由题意易知：BC=G,BD=4

'：DE/!AC,"ED栏/DAC、/DF^4AGM,

♦:脏DM,：ZFgXAGMQ除9,：.DF=AGt

电DE"AC,得△加衣△显4,

(3)・・・/阳信60°,过G只G作外接圆，圆心为0,

•••△斯是顶角为120°的等腰三角形.

①当。0与班(相切时，如图1,过点0作如检于，，并延长成与小'交于点尺连结仇?,

设。。的半径/r.则Wk

解得4,伤2,

易知RDFMsRAGM,可得

②当00经过点£时，如图2,过点。作血相，垂足为

设。。的半径则距匚I-r.

图2

在山△«数中，1?+(3j)2="，解得

易知2DFMsRAGM,可得

③当00经过点〃时，如图3中，此时点"与点G重合，且恰好在点/处，可得寐

图3

・・・综上所述，当,满足条件的点P只有一个.

28.(2019荆门)如图，为了测量一栋楼的高度0E,小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B

处，恰好在镜子中看到楼的顶部及再将镜子放到。处，然后后退到〃处，恰好再次在镜子中看到楼的顶

部E10,AtB,C,〃在同一条直线上），测得AO2m,g2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF、DG为

1.6m,试确定楼的高度0E.

E

卜、、市/■

DCBA0

解：如图，设£关于。的对称点为"，由光的反射定律知，延长必用相交于点M连接金并延长交织

于点H,

答：楼的高度组为32米.

29.（2019安徽）如图，Rt△被中，44诙90°,AC=BCt?为△脑内部一点，且/板=/明信135°.

(1)求证：APABsAPBC、

(2)求证：PA=2PCx

（3）若点尸到三角形的边幽BC,。的距离分别为益，h,h,求证小2=也•人.

c

证明：（1）VZACB=90°,AB=BCt

JN胸=45°=ZPBA+ZPBCf

又N4^=135°,；・NPA*NPBA=45°,

NP眸/PAB,

又•：NAP斤NBPC=135°,

：.PA=2PC.

(3)如图，过点尸作血比；PEIAC交BC、AC于息D,E,

:,P六hi,吩旗P扭h,

■:NCP济NAPB=135°+135°=270°,

ZAPC=9Q°,

・・・/幼斗乙4华=90°,

又tNAC年NACMPCA9Q°,

:.4EAI=/PCD,

ARtAA^RtAO^,

30.（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做

相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它