中考数学几何专项冲刺专题21直角三角形存在性问题巩固练习（提优）含答案及解析

直角三角形存在性问题巩固练习1．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）．（1）若反比例函数y=mx图象经过P点、Q点，求（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y＝﹣x+4交抛物线于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数y1=kx（x＞0）的图象上一点，一次函数y2＝﹣x+2的图象经过点A，交y轴于点B，△（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；（2）观察图象，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．4．如图，二次函数y=12(x−3)2−1的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与该图象的对称轴交于点E，连接AE，AD，求∠DAE的大小；（3）设点E关于点D的对称点为F，分别以E，F为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否存在一点P，使得过P向两个圆各作一条切线PM，PN（M，N为切点），且PM，PN刚好可以作为一个斜边为4的直角三角形的两条直角边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点，点A的纵坐标为﹣4，点B在y轴上，直线AB与x轴交于点F，点P是线段AB下方的抛物线上一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，线段PD的长度取得最大值，其最大值是多少？（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图1，一次函数y＝﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大，设运动时间为t（s）（1）点A的坐标为，点B的坐标为，∠OAB＝°；（2）在运动过程中，点P的坐标为，⊙P的半径为（用含t的代数式表示）；（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时①如图2，求t=52时，弦②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（利用图1解题）．7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点P在直线y＝2x上，该抛物线与直线的另一个交点为A，与y轴的交点为Q．（1）当m＝n﹣1时，求m的值；（2）当AQ∥x轴时，试确定抛物线的解析式；（3）随着顶点P在直线y＝2x上的运动，是否存在直角△PAQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，当x＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M（x，y1），N（x+1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．①设点E的横坐标为x，是否存在x，使线段EF最长？若存在，求出最长值；若不存在，请说明理由；②是否存在点E，使△DEF是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知平行四边形ABCD，AD⊥BD，AD=25，BD＝2AD，过D点作DE⊥AB于E，以DE为直角边作等腰直角三角形DEF，点F落在DC上，将△DEF在同一平面内沿直线DC翻折，所得的等腰直角三角形记为△PQR，点R与D重合，点Q与F重合，如图①，平行四边形ABCD保持不动，将△PQR沿折线D﹣B﹣C匀速平移，点R的移动的速度为每秒5个单位，设运动时间为t，当R与C（1）当点Q落在BC边上时，求t的值；（2）记△PQR与△DBC的重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）当△PQR移动到R与B重合时，如图②，再将△PQR绕R点沿顺时针方向旋转α（0°≤α≤360°），得到△P1Q1R，若直线P1Q1与直线BC、直线DC分别相交于M、N，问在旋转的过程中是否存在△CMN为直角三角形，若存在，求出CN的长；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12①求点P的坐标和△PAB的面积；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2＝AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=3x+3m的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，直角三角形存在性问题巩固练习1．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）．（1）若反比例函数y=mx图象经过P点、Q点，求（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；（3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在请说明理由；【分析】（1）先用t表示出P、Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论；（2）先根据OQ垂直平分AP得出OP＝OA，求出t的值，再由PQ＝QA即可得出a的值；（3）分∠OPQ＝90°与∠POQ＝90°两种情况进行分类讨论．【解答】解：（1）∵A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，∴P（t，8），Q（10，at），∵反比例函数y=mx图象经过P点、∴8t＝10at，解得a=4（2）∵OQ垂直平分AP，∴OP＝OA，PQ＝QA，∴t2+8∴Q（10，6a），P（6，8），∵PQ＝QA，∴（10﹣6）2+（6a﹣8）2＝（6a）2，解得a=5（3）如图，∵Q为AB的中点，∴Q（10，4），P（t，8）．当∠OPQ＝90°时，OP2+PQ2＝OQ2，即t2+82+（10﹣t）2+42＝102+42，整理得，t2﹣10t+32＝0，∵△＝（﹣10）2﹣4×32＝100﹣128＝﹣28＜0，∴此方程无解，即此种情况不存在；当∠PQO＝90°时，OQ2+PQ2＝OP2，即102+42+（10﹣t）2+42＝t2+82，整理得，﹣20t＝﹣168，解得t=42∵AQ＝4，∴at＝4，即425a＝4，解得a=【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、直角三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y＝﹣x+4交抛物线于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE＝90°或∠BDE＝90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，∴16a+4b−4=0a−b−4=0∴a=1b=−3∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4，（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4①，∴D（0，﹣4），∵点C是直线y＝﹣x+4②与抛物线的交点，∴联立①②解得，x=4y=0（舍）或x=−2∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∴直线AC解析式为y＝﹣x+4，∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直线BF解析式为y＝x+1，设点F（m，m+1），∴G（m−12，m+1∵点G在直线AC上，∴−m−1∴m＝4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直线DF解析式为y=94∵直线AC解析式为y＝﹣x+4，∴直线DF和直线AC的交点E（3213，20（3）∵BD=17由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=12BF=12∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），∴直线BD解析式为y＝﹣4x﹣4，∵△BDE为直角三角形，∴①∠DBE＝90°，∴BE⊥BD交AC于E，∴直线BE解析式为y=14x∵点E在直线AC：y＝﹣x+4的图象上，∴E（3，1），②∠BDE＝90°，∴DE⊥BD交抛物线于E，∴直线DE的解析式为y=14∵点E在抛物线y＝x2﹣3x﹣4上，∴直线DE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（134，−∴E（134，−即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（134，−【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函数图象的交点坐标．3．如图，平面直角坐标系中，点A是反比例函数y1=kx（x＞0）的图象上一点，一次函数y2＝﹣x+2的图象经过点A，交y轴于点B，△（1）求点A的坐标及反比例函数解析式；（2）观察图象，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y2＝2，得到B（0，2），根据三角形的面积S△AOB＝3，求得A（3，﹣1），由点A是反比例函数y1=kx（x＞0）的图象上，得到（2）根据图象即可得到x的取值范围；（3）设P（0，a），①当∠APB＝90°，由AP⊥PB，根据点A的坐标即可得到P1（0，﹣1），②当∠PAB＝90°，由勾股定理和两点间的距离得到方程32+（a+1）2+32+32＝（2﹣a）2，于是得到结论．【解答】解：（1）在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y2＝2，∵一次函数y2＝﹣x+2的图象与y轴相交于点B，∴B（0，2），又∵S△AOB＝3，设A（m，n），∴12×2×∴m＝3，将其代入y2＝﹣x+2中得n＝﹣1，∴A（3，﹣1），∵点A是反比例函数y1=kx（∴k＝﹣3，∴反比例函数解析式为：y=−3（2）由图象知：当y1＞y2时，x＞3；（3）存在，设P（0，a），①当∠APB＝90°，则AP⊥PB，∴P1（0，﹣1），②当∠PAB＝90°，则AP2+AB2＝PB2，即32+（a+1）2+32+32＝（2﹣a）2，∴a＝﹣4，P2（0，﹣4），综上所述：P（0，﹣1），（0，﹣4）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式，两点间的距离公式，弄清题意，正确的识别图形是解题的关键．4．如图，二次函数y=12(x−3)2−1的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与该图象的对称轴交于点E，连接AE，AD，求∠DAE的大小；（3）设点E关于点D的对称点为F，分别以E，F为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否存在一点P，使得过P向两个圆各作一条切线PM，PN（M，N为切点），且PM，PN刚好可以作为一个斜边为4的直角三角形的两条直角边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令y＝0，即可求出点A、B坐标，根据顶点式可以知道点D坐标．（2）先求出直线CD解析式，根据OE⊥CD求出直线OE解析式，再求出点E坐标，利用两点间距离公式求出线段AE2，AD2，DE2，由勾股定理的逆定理证明△EAD是直角三角形即可解决问题．（3）存在．设点P为（m，n），求出PM2，PN2，根据PM2+PN2＝42，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）令y＝0，则12（x﹣3）2﹣1＝0，解得x＝3±∴点A坐标（3−2，0），点B坐标（3+令x＝0则y=7∴点C坐标（0，72），顶点D（2）设直线CD解析式为y＝kx+b，则3k+b=−1b=72∴直线CD解析式为y=−32x∵OE⊥CD，∴直线OE解析式为y=23∴x＝3时，y＝2，∴点E坐标（3，2），∴AE2＝（2）2+22＝6，AD2＝（2）2+12＝3，DE2＝32＝9，∴AE2+AD2＝DE2，∴∠EAD＝90°．（3）存在．理由：由题意E（3，2），F（3，﹣4），设点P为（m，n），∵点P在抛物线上，∴n=12（m﹣3）2∴PM2＝PE2﹣12＝（m﹣3）2+（n﹣2）2﹣1，PN2＝PF2﹣12＝（m﹣3）2+（n+4）2﹣1，∵PM2+PN2＝42，∴（m﹣3）2+（n﹣2）2﹣1+（m﹣3）2+（n+4）2﹣1＝42，整理得到（m﹣3）2+（n+1）2＝0②由①②得到m＝3，n＝﹣1，∴点P坐标（3，﹣1）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数．两点间距离公式、勾股定理、非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点，学会理由参数解决问题，本题有一定的代数技巧，巧用非负数的性质这个突破口，属于中考压轴题．5．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点，点A的纵坐标为﹣4，点B在y轴上，直线AB与x轴交于点F，点P是线段AB下方的抛物线上一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，线段PD的长度取得最大值，其最大值是多少？（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由直线方程得到点A、B的坐标，然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式列出关于系数的方程组，通过解方程组来求系数的值即可；（2）根据直线上点坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征得到：P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．所以由两点间的距离和二次函数的最值的求法进行解答即可；（3）如图2，当∠APD＝90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD列出比例式求解即可；如图3，当∠PAD＝90°时，作AE⊥x轴于E，根据比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．【解答】解：（1）∵y＝x﹣1交于A、B两点，∴当x＝0时，y＝﹣1，即B（0，﹣1）．当y＝﹣4时，x＝﹣3，即a（﹣3，﹣4）．∵抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴−1=c−4=9−3b+c解得b=4c=−1则该抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣1；（2）∵点P的横坐标是m，且点P在抛物线y＝x2+4x﹣1上，PC⊥x轴，∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．∵点P在线段AB的下方，∴﹣3＜m＜0，∴PD＝1﹣4m﹣m2﹣1+m＝﹣3m﹣m2＝﹣（m+32）2∴当m=−32时，线段PD取得最大值，最大值是（3）如图1所示：当∠APD＝90°，设P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）．∴AP＝m+3，CD＝1﹣m，OC＝﹣m，CP＝1﹣4m﹣m2，∴PD＝1﹣4m﹣m2﹣1+m＝﹣3m﹣m2．在直线y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，∴F（1，0），∴OF＝1，∴CF＝1﹣m，AF＝42．∵PC⊥x轴于C，∴∠PCF＝∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，∴APCF=DP解得m＝﹣1或m＝﹣3（舍去），∴P（﹣1，﹣4）．如图2所示：当∠PAD＝90°时，作AE⊥x轴于E，∴∠AEF＝90°，CE＝m+3，EF＝4，AF＝42，PD＝m﹣1﹣（﹣1+4m+m2）＝﹣3m﹣m2．∵PC⊥x轴，∴∠DCF＝90°，∴∠DCF＝∠AEF，∴AE∥CD．∴43+m∴AD=2（3+m∵△PAD∽△FEA，∴PDFA=∴m＝﹣2或m＝﹣3（舍去）∴P（﹣2，﹣5）．当∠APD＝90°时∴点A与点P关于对称轴对称∵A（﹣3，﹣4）∴P（﹣1，﹣4）综上，存在点P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角形．【点评】本题考查了二次函数综合题．解题过程中，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离以及相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．解题过程中，还有注意m的取值范围，才能正确求得点P的坐标．6．如图1，一次函数y＝﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大，设运动时间为t（s）（1）点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（0，10），∠OAB＝45°；（2）在运动过程中，点P的坐标为（1+2t，0），⊙P的半径为1+t（用含t的代数式表示）；（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时①如图2，求t=52时，弦②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（利用图1解题）．【分析】（1）利用待定系数法求出点A、B的坐标，即可解决问题．（2）根据题意可得P（1+2t，0），⊙O半径为1+t．（3）①如图1中，作PK⊥AB于K，连接PE．在Rt△APK中，由∠PKA＝90°，∠PAK＝45°，PA＝4，推出PK=22PA＝22，在Rt△PEK中，根据EK②分两种情形a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF＝90°；b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF＝90°．分别列出方程求解即可，【解答】解：（1）∵y＝﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（10，0），B（0，10），∴OA＝OB＝10，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，故答案分别为（10，0），（0，10），45°．（2）由题意P（1+2t，0），⊙O半径为1+t，故答案分别为（1+2t，0），1+t．（3）①如图1中，作PK⊥AB于K，连接PE．当t=52时，在Rt△APK中，∵∠PKA＝90°，∠PAK＝45°，PA＝4，∴PK=22PA＝2在Rt△PEK中，EK=P∴EF＝2EK=17②存在．a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF＝90°∵OP+PA＝OA，∴1+2t+1+t＝10，∴t=8b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF＝90°．由OP﹣PF＝OA，∴1+2t﹣（1+t）＝10，∴t＝10，综上所述，t=83s或10s时，存在以点P为直角顶点的Rt△【点评】本题考查圆的综合题、垂径定理、等腰直角三角形的性质、一次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A、B的坐标；然后把B点坐标代入y＝﹣2x+b求出b的值，确定此函数解析式，然后再求C点坐标；（2）①根据轴对称﹣最短路径问题求得点E的位置，由待定系数法确定直线DB1的解析式为y＝﹣3x﹣4，易得点E的坐标；②存在．分两种情况：当点D在AB上时，当点D在BC上时．当点D在AB上时，不难得∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；当点D在BC上时，设AD交y轴于点F．证△AOF与△BOC全等，得OF＝2，点F的坐标为（0，2），求得直线AD的解析式为y=12x+2，与y＝﹣2x+4组成方程组，求得交点D的坐标为（4【解答】解：（1）在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．把B（0，4）代入y＝﹣2x+b，得b＝4∴直线BC为：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0，得x＝2，∴C点的坐标为（2，0）；（2）①如图∵点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．设直线DB1的解析式为y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入，得−2k+b=−2b=−4解得k＝﹣3，b＝﹣4．故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E点的坐标为（−4②存在，D点的坐标为（﹣1，3）或（45，12附：当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．在△AOF与△BOC中，∠FAO=∠CBOAO=BO∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，∴点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为y=12x+2，与y＝﹣2x解得x=4∴交点D的坐标为（45，12【点评】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决问题．8．如图，抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点P在直线y＝2x上，该抛物线与直线的另一个交点为A，与y轴的交点为Q．（1）当m＝n﹣1时，求m的值；（2）当AQ∥x轴时，试确定抛物线的解析式；（3）随着顶点P在直线y＝2x上的运动，是否存在直角△PAQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由抛物线的顶点在y＝2x上可知n＝2m，然后由m＝n﹣1可求得m的值；（2）先求得点Q、点A的坐标（用含m的式子表示），然后根据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等列出关于m的方程，从而可求得m的值；（3）先求得直线AQ、PQ的一次项系数“k”的值（用含m的式子表示），然后依据相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积是﹣1，分别列出关m的方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+n，∴P（m，n）．∵顶点P在直线y＝2x上，∴n＝2m．又∵m＝n﹣1，∴m＝2m﹣1．解得：m＝1．（2）∵n＝2m，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m．∵当x＝0时，y＝m2+2m，∴点Q的坐标为（0，m2+2m）．由y＝（x﹣m）2+2m与y＝2x得：2x＝（x﹣m）2+2m，解得：x1＝m，x2＝m+2．当x＝m时，y＝2m，即点P的坐标为（m，2m），当x＝m+2时，y＝2m+4，即点A的坐标为（m+2，2m+4）．∵AQ∥x轴，∴m2+2m＝2m+4，解得：m＝2或m＝﹣2．∵当m＝﹣2时，点A与点Q与原点重合，与AQ∥x轴不符，∴m＝﹣2不合题意．∴m＝2．∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+4．（3）∵Q（0，m2+2m），P（m，2m），A（m+2，2m+4），∴直线AQ的一次项系数=2m+4−(m2+2m)m+2−0=−m+2，直线①当∠AQP＝90°时，﹣m（﹣m+2）＝﹣1，解得m1＝m2＝1，则P（1，2）；②当∠APQ＝90°时，﹣m×2＝﹣1，解得m=12，则P（③当∠PAQ＝90°时，（﹣m+2）×2＝﹣1，解得m=52，则P（综上所述，点P的坐标为（1，2）或（12，1）或P（5【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，依据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等、相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积是﹣1列出关于m的方程是解题的关键．9．如图，当x＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M（x，y1），N（x+1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．①设点E的横坐标为x，是否存在x，使线段EF最长？若存在，求出最长值；若不存在，请说明理由；②是否存在点E，使△DEF是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由当x＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，可得抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），即可得y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2﹣1，又由抛物线与y轴交于点C（0，3），即可求得抛物线的解析式；（2）由y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣[（x+1）2﹣4（x+1）+3]＝3﹣2x，然后分别讨论当x为何值时，y1与y2的大小；（3）①首先求得点A与B的坐标，继而求得直线AC的解析式，再设点E的坐标为：（x，3﹣x），则点F的坐标为：（x，x2﹣4x+3），即可求得答案；②由EF∥OC，可得∠DEF＝45°，则在△DEF中只能以点D，F为直角顶点，然后分别求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵当x＝2时，抛物线y＝ax2+bx+c取得最小值﹣1，∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为：（2，﹣1），∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴4a﹣1＝3，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；（2）∵y1﹣y2＝（x2﹣4x+3）﹣[（x+1）2﹣4（x+1）+3]＝3﹣2x，∴当3﹣2x＞0，即x＜32时，y1＞y当3﹣2x＝0，即x=32时，y1＝y当3﹣2x＜0，即x＞32时，y1＜y（3）①存在x=32，使线段令y＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴点A（3，0），点B（1，0），设直线AC的解析式为：y＝mx+n，则n=33m+n=0解得：m=−1n=3∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3，线段AC的中点D的坐标为：（32，3设点E的坐标为：（x，3﹣x），则点F的坐标为：（x，x2﹣4x+3），∴EF＝（3﹣x）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x−32）2∴当x=32时，EF最长，其值为②∵EF∥OC，∴∠DEF＝45°，则在△DEF中只能以点D，F为直角顶点，若以点F为直角顶点，则DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，∴DF所在直线为：y=3由x2﹣4x+3=32，解得：x1=4−102将x=4−102代入y＝﹣x+3，得点E的坐标为：（4−若点D为直角顶点，则DF⊥AC，此时△DEF∽△OCA，∵点D为线段AC的中点，∴DF所在直线过原点O，其关系式为y＝x，∴x2﹣4x+3＝x，解得：x1=5−132，x将x=5−132代入y＝﹣x+3，得点E的坐标为：（5−【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意方程思想与数形结合思想的应用．10．如图，已知平行四边形ABCD，AD⊥BD，AD=25，BD＝2AD，过D点作DE⊥AB于E，以DE为直角边作等腰直角三角形DEF，点F落在DC上，将△DEF在同一平面内沿直线DC翻折，所得的等腰直角三角形记为△PQR，点R与D重合，点Q与F重合，如图①，平行四边形ABCD保持不动，将△PQR沿折线D﹣B﹣C匀速平移，点R的移动的速度为每秒5个单位，设运动时间为t，当R与C（1）当点Q落在BC边上时，求t的值；（2）记△PQR与△DBC的重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）当△PQR移动到R与B重合时，如图②，再将△PQR绕R点沿顺时针方向旋转α（0°≤α≤360°），得到△P1Q1R，若直线P1Q1与直线BC、直线DC分别相交于M、N，问在旋转的过程中是否存在△CMN为直角三角形，若存在，求出CN的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据同角的三角函数设未知数，利用勾股定理求AE、DE的长度，由翻折和平移的性质得到PD＝DF＝4，PR＝RQ＝4，利用勾股定理求BR的长，从而得到RD的长，根据速度为5求出t；（2）分四种情况分类讨论，①当0＜t≤125时，如图2，重叠部分是四边形GRQH，根据面积公式求梯形GRQH的面积就是S；②当125＜t≤4时，如图3，重叠部分是五边形GRNMH，S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△MNQ，代入面积公式计算即可；③如图4，先计算当PQ经过点C时t=143，当4＜t≤143时，如图5，重叠部分为四边形GRMH，根据S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△RMQ（3）根据旋转的度数，分三种情况讨论：①如图7，∠CNM＝90°，CN＝PN﹣PC＝22−2；②如图8，∠CMN＝90°，利用余弦求CN的长；③如图9，∠CNM＝90°，CN＝PC+PN＝2+22【解答】解：（1）如图1，当点Q落在BC边上时，点R运动的路程就等于RD的长，∵AD⊥BD，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠DEA＝90°，∴tan∠DAB=BD∵BD＝2AD，∴EDAE设AE＝x，则ED＝2x，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（25）2，5x2＝20，x1＝2，x2＝﹣2（舍），∴AE＝2，DE＝4，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝4，由翻折得：PD＝DF＝4，PR＝RQ＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝90°，由平移得：RQ∥DC，∴∠BRQ＝∠BDC，∴tan∠BRQ＝tan∠BDC，∴BCBD设BQ＝x，则BR＝2x，由勾股定理得：x2+（2x）2＝42，解得：x1=455，x∴BR＝2x=8∴RD＝BD﹣BR＝45−∴t=12（2）分四种情况：由勾股定理得：DC＝AB=(4①当0≤t≤125时，如图2，重叠部分是四边形则DR=5t在Rt△DGR中，tan∠CDB=RG设RG＝x，则DG＝2x，∴x2+（2x）2＝（5t）2，解得：x＝±t，∴RG＝t，∴GH＝PG＝4﹣t，∴S＝S梯形GRQH=12（GH+RQ）•GR=12（4﹣t+4）•t②当125＜t≤4时，如图3，重叠部分是五边形同理得：GR＝t，PG＝GH＝4﹣t，DR=5t∴RB＝45−5∴BN=4∵RN∥DC，∴RNDC∴RN10∴RN＝5−54∴NQ＝4﹣RN＝4﹣5+54t=过M作MT⊥RQ于T，tan∠MNQ＝tan∠RNB=MT∴MT＝2NT，∵∠Q＝45°，∠MTQ＝90°，∴MT＝TQ，∴NT=13NQ=13（54t∴MT＝2NT=56t∴S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△MNQ，=12×4×4−12（4﹣t）2−12（=−4948t2+29③如图4，当PQ经过点C时，过C作CN⊥PQ于N，同理得：RN=43，NQ＝CN∴RC=(∴BD+BR＝BD+BC﹣RC＝45+25这时t=14当4＜t≤143时，如图5，重叠部分为四边形∵BD+BR=5t∴BR=5t﹣45，RC＝65−cos∠GRC=RG∴RG6∴RG＝12﹣2t，∴PG＝4﹣（12﹣2t）＝2t﹣8，∴S＝S△PRQ﹣S△PGH﹣S△RMQ，=12×4×4−12×（2t＝﹣2t2+16t−88④当143＜t≤6时，如图6，重叠部分为三角形由③得RG＝12﹣2t，则CG＝6﹣t，∴S＝S△GRC=12CG•RG=12（12﹣2t）（6﹣t）＝t综上所述：S=（3）存在，分三种情况：①如图7，∠CNM＝90°，∵DN∥AG，∴∠AGM＝∠CNM＝90°，∴△BGP1是等腰直角三角形，∴BG=42=由（1）得：CP＝2，∵PN＝BG＝22，∴CN＝PN﹣PC＝22−②如图8，∠CMN＝90°，∵BC＝25，BM＝22，∴CM＝22+25cos∠NCM=PC∴22∴CN=5（22+25）＝2③如图9，∠CNM＝90°，∵PN＝BG＝22，PC＝2，∴CN＝PC+PN＝2+22；综上所述：CN的长为22−2或210+10或2+2【点评】本题是几何变换的综合题，考查了平行四边形、等腰直角三角形的性质；同时还运用了同角的三角函数列比例式求边的长，比利用三角形相似列比例式要简单；在求重叠部分图形的面积时，先确定特殊位置时的t值，根据重叠图形分类讨论解决，利用面积差或和求解．11．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12①求点P的坐标和△PAB的面积；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），根据PE=12DE，列方程可得P的坐标，先求出点E的坐标，从而得PE＝2，根据S△PAB＝S△PAE+S△PBE=12×PE×（x②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．【解答】解：（1）∵B（1，0），∴OB＝1，∵OC＝2OB＝2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，∴ACBC∴AC3∴AC＝6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：−4−2b+c=6−1+b+c=0解得：b=−3c=4∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），易得AB的解析式为：y＝﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x＝1（舍）或﹣1，∴P（﹣1，6）；在y＝﹣2x+2中x＝﹣1时，y＝4，即E（﹣1，4），则PE＝2，∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE=12×PE×（xB﹣=1＝3；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∴AM2＝（﹣1+2）2+（y﹣6）2＝1+（y﹣6）2，BM2＝（1+1）2+y2＝4+y2，AB2＝（1+2）2+62＝45，分三种情况：i）当∠AMB＝90°时，有AM2+BM2＝AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2＝45，解得：y＝3±11，∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3−ii）当∠ABM＝90°时，有AB2+BM2＝AM2，∴45+4+y2＝1+（y﹣6）2，y＝﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM＝90°时，有AM2+AB2＝BM2，∴1+（y﹣6）2+45＝4+y2，y=13∴M（﹣1，132综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3−11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．12．如图1，点A坐标为（2，