2019-2020年高中数学-8.1椭圆及其标准方程(第一课时)大纲人教版必修

2019-2020年高中数学8.1椭圆及其标准方程(第一课时)大纲人教版必修●课时安排3课时●从容说课圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象，圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中，而且在科学技术中也有着广泛的应用，尤其是今后进一步学习数学的基础，椭圆、双曲线、抛物线都是平面内符合某种条件的点的轨迹，在第七章中，学生己学过求简单曲线方程和利用方程研究曲线几何性质的初步知识，因而，在本章中，可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应用，但这样做教学难度较大，所以教材对每种曲线按定义、方程、几何性质几项来讨论，以椭圆为学习圆椭曲线的重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程来研究几何性质的一般方法.由此可见本节内容所处地位之重要.通过本节内容的学习，学生一方面认识了椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，为以后学习双曲线、抛物线奠定了基础.●课题§8.1.1椭圆及其标准方程（一）●教学目标（一）教学知识点1.圆锥曲线的概念.2.椭圆的定义、焦点、焦距.3.椭圆的标准方程.（二）能力训练要求1.使学生明确圆锥曲线的概念.2.使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距.3.使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法.（三）德育渗透目标1.使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的.2.培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.3.使学生通过运动规律，认清事物运动的本质.●教学重点椭圆的定义及其标准方程.●教学难点椭圆标准方程的推导——比较复杂的根式的化简.●教学方法讲授法本节课是圆锥曲线部分的起始课，涉及到的概念都是全新的，因此要通过媒体直观的演示，使学生明确并理解概念；在椭圆标准方程的推导过程中，遇到了比较复杂的根式化简问题，由于这部分内容初中没有详细介绍过，不能完全满足本章学习的需要，因此要通过讲授与学生的认真练习，进而达到突破难点之目的●教具准备多媒体课件两个：（一）P90章头图，先作两个圆锥（顶对顶，上面的圆锥是倒立的，且上面圆锥的母线是下面圆锥母线的延长线），然后用与圆锥轴线成不同角的平面截圆锥，得到椭圆、双曲线、抛物线等，给学生一个直观的印象，使学生对圆锥曲线有一个初步的感性认识.（二）倾斜着圆锥形水杯的水面的边界线；汽车的罐截面轮廊线；发电厂通风塔的外形线；拦洪堤的曲线；探照灯反光镜的轴截面的曲线.同桌的两位同学准备无弹性的细绳一条（约10cm长，两端各结一个套），图钉两个；教师准备无弹性细绳一条（约50cm长，两端各结一个套）图钉两个.投影片一张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲●教学过程Ⅰ.课题导入［师］1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔·波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空.1997年2月至3月间，许多人目睹了这一天文现象.天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周长，预测它接近地球或渐渐离去的时间.在太阳系中，天体运行的轨道除椭圆外，还有双曲线、抛物线等.在初中几何里我们知道，用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥，得到的截面是一个圆，如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到一些不同的图形，（利用多媒体课件，做平面截圆锥的演示，将各个不同的图形，用不同的颜色表示出来），这些图形分别是椭圆、双曲线、抛物线等，因此，通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.圆锥曲线是我们生活中常见的曲线，例如倾斜着的圆锥形水杯的水面的边界线，汽车油罐截面的轮廓线，发电厂通风的外形线，拦洪坝的曲线，探照灯反光镜的轴截面的曲线，等等，这些边界线、轮廓线、外形线，都是一些有规律的曲线，并且在实际生活、生产中有着广泛的应用，那么怎样进一步加深对这些曲线的认识呢？本章将分别学习如何建立这些曲线的方程，然后利用方程研究它们的性质，并介绍运用这些性质解决实际问题的一些简单实例.（板书章题、单元题、课题）Ⅱ.讲授新课［师］请同学们同桌一组用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内，并且把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是怎样的一条曲线（请两位同学在黑板上作，要求两定点F1、F2的距离小于绳长，并将图形画在黑板上的适当位置，以备在后面求方程时利用之）.（学生动手，实际作图）［师］作图完毕的请举手.（教师环视学生完成情况）哪位同学来谈谈自己作出的是什么曲线？［生甲］我们作出的图形是椭圆，与黑板上的一样.［生乙］我们作出的是线段.［师］生乙同学，你谈谈你们作出的为什么是线段呢？［生乙］我们的绳长与两定点F1、F2的距离相等.［师］生甲同学注意了吗？你们作图时，绳长与两定点间距离有什么关系呢？［生甲］我们作图时绳长大于两定点间的距离.[师]好[生丙]老师，我们作图时，开始没法作出图形，后来作出了椭圆.[师]为什么开始没法作出图形呢？[生丙]开始时，我们俩先确定了定点，谁知用图钉穿进绳子两端的套内后，两图钉不能同时固定在定点上——绳子不够长，后来调整了两定点的距离，才作出了图形.[师]很好，通过具体的实际操作，我们发现了一个非常值得注意的问题，即绳长大于两定点间的距离时，我们作出的图形是椭圆；绳长等于两定点间的距离时，我们作出的图形是线段；绳长小于两定点间的距离时，我们不能作出任何图形.[师]绳长实质上是动点到两定点的距离的和，同学们仍然以组为单位，照我们开始所述的方法再画一个椭圆.（学生作图）[师]比比看，两次画出的椭圆一样吗？有什么区别？[生]不一样，有的“瘦”些，有的“胖”些.[师]这就奇怪了，绳长没有变，也就是说动点到两定点的距离和没有变，为什么画出的椭圆有的扁有的圆呢？（学生思考，相互讨论交流）[生]两定点间的距离越小，椭圆越圆；两定点间的距离越大，椭圆越扁.［师］很好，从上面的画图过程可以看出，（结合黑板的图形指出）曲线上任意一点与点F1、F2的距离的和等于定长，也可以说，这条曲线是与点F1、F2的距离的和为定长的点的轨迹（或点的集合），我们把这样的曲线叫做椭圆.同学们不仅画出了椭圆，请同学们给出椭圆的定义.（学生可能表述的不尽严密，教师再引导学生准确地表述.）定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.（板书）［师］由椭圆的定义，我们可以知道它的基本几何特征，但对于这种新曲线还具有哪些特性，我们还几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于我们对其作进一步的认识.请同学们回忆一下，求曲线方程的方法步骤是什么？［生丁］①建系、取点②列式③代换④化简⑤证明.［师］生甲回答正确吗？谁还有什么补充？［生戌］正确.一般情况下，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可予以必要的说明.另外根据情况，也可省略步骤②，直接列出方程.［师］好,再请同学们考虑一下建系的一般原则有哪些？［生］原点取在定点或定线段的中点，坐标抽取在定直线上和图形的对称轴上.［师］好,同学们的回答完全正确.下面我们一起根据椭圆的定义，来求出椭圆的方程.（利用前面作出的图形）先请一位同学来建立坐标系.［生乙］以F1F2的中点O为原点，直线F1F2为x轴，建立如图所示的坐标系（学生叙述，教师作图并板书）［师］设M（x,y）是椭圆上任意一点（板书）请同学们注意：定义中提供的信息，动点与F1、F2的距离和等于常数，这个常数可看作是已知的，这是其一，其二两定点F1、F2之间的距离可看作已知的，于是我们可以……（接着板书）设椭圆的焦距为2c（c＞0），那么F1、F2的坐标分别是（-c,0）,(c,0)，又设M与F1、F2的距离的和等于2a（请注意，我们把焦距设为2c，避免了F1、F2的坐标域为分数的形式）.下面请同学们写出椭圆的集合.［生庚］由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.（学生回答，教师板书）［师］生庚所列的式子，就是动点M与动点F1、F2的距离之和等于2a，谁来代换一下？［生辛］∵|MF1|=,|MF2|=∴+=2（学生回答，教师板书）［师］上面所得的方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆的本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.那么怎样化简呢？［生］将式子有理化.［师］好.化简的思路正确，但有理化时，要将方程的两边同时乘方（同次方），以去掉根号，而对上面的方程两边同时平方时，方程左边要用到和的平方公式，第一项平方去掉了根号，第二项平方也去掉了根号，而两项积的2倍更复杂了.为了减少复杂性，达到化简的目的，下面我们一起来对上面的方程进行化简.请同学们注意:对于含有根式的方程化简时,如果方程中只有一个根式,则将根式单独留在方程的一边,把其他各项移至另一边,之后方程两边同时乘方(同次方)即可;如果方程中含有两个根式,则需将它们分别放在方程的两边,并使其中一边只含有一个根式,之后再将方程两边同时乘方(同次方),再整理,再乘方.(板书)将这个方程移项后,两边平方得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y整理得a=a2-cx上式两边再平方,得a［(x-c)2+y2］=a4-2a2cx+c2x2(*)整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由椭圆的定义可知:2a＞2c＞0即a＞c＞0,∴a2-c2＞0令a2-c2=b2,其中b＞0(令a2-c2=b2不仅可以使方程变得简单整齐,同时在下一节讨论椭圆的几何性质时,我们会看到它还有明确的几何意义)代入(*)式,得b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2,得这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c,0）,F2(c,0)，这里c2=a2-b2.Ⅲ.课堂练习如果使点F1、F2在y轴上，a、b、c的意义同上，请同学们再来求一次椭圆的方程.（学生做完之后，教师讲授）指出这个方程也是椭圆的标准方程，实际上，学生练习作的图相当于先将师生共同完成的图中的x轴、y轴互换得到的.Ⅳ.课时小结本节课我们学习了椭圆的定义、焦点、焦距的概念，求出了椭圆的标准方程，请同学们注意：①椭圆有互相垂直的两条对称轴（由直观性看出），其焦点总是在较长的对称轴上；②若椭圆的对称轴合于坐标轴，则其方程为椭圆的标准方程；反过来，椭圆的标准方程所表示的椭圆其对称轴合于坐标轴；③椭圆的两种标准方程中，总是a＞b＞0,即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大.④a、b、c始终满足c2=a2-b2（不要与勾股定理a2+b2=c2混淆）.如果焦点在x轴上，焦点坐标是（-c,0），（c,0）；如果焦点在y轴上，焦点坐标是（0，-c）,(0,c);⑤在遇到形如Ax2+By2=C的方程中，只要A、B、C同号，方程就是椭圆方程.可以化成即椭圆标准方程的形式.如2x2+3y2=5,可以化成,其表示焦点在x轴上的椭圆，其中a=,b=,c可由c2=a2-b2求得，c=,焦点坐标是（-，0），（，0）；Ⅴ.课后作业（一）1.课本P95，练习1，2.P96习题8.11（二）1.预习内容：课本P93，例1，例2.2.预习提纲：（1）求椭圆的标准方程，关键是什么？（2）求满足条件的点的轨迹方程，一般方法步骤是怎样的？如果清楚轨迹类型，是否还需要照这些步骤来做呢？应该怎样做？●板书设计第八章圆锥曲线方程一椭圆§8.1.1椭圆及其标准方程定义练习小结2019-2020年高中数学8.1椭圆及其标准方程(第三课时)大纲人教版必修●教学目标（一）教学知识点1.轨迹与轨迹方程的区别与联系.2.转移法（代换法）求动点的轨迹方程与椭圆有关问题的解决.（二）能力训练要求1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系.2.使学生掌握转移法（代换法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决.(三)德育渗透目标使学生通过寻求量与量之间的关系，进而掌握解决有关问题的方法，学会化生疏为熟悉，理解矛盾转化的必然性.●教学重点转移法求动点的轨迹方程.●教学难点转移法求动点的轨迹方程.●教学方法指导学生自学法通过学生自学的实践，使其感受一类问题的解决方法，教师再予以必要的指导，帮助学生自己获取知识，使学生体验成功的喜悦，增强学生自学的兴趣，提高学生的自学能力.●教具准备投影片三张第一张：P95例3及图8—5（记作8.1.3A）第二张：本课时之例4（记作8.1.3B）第三张：本课时教案后面的预习内容及提纲（记作8.1.3C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆标准方程的求法，以及求满足条件的点的轨迹方程时，若清楚点的轨迹类型该怎么做，请同学们回忆一下，怎样求椭圆的标准方程呢？［生］根据焦点位置，设出标准方程，确定方程中的参数a、b的值，最后写出椭圆的标准方程.［师］好，那么大家再来回忆一下，求满足条件的轨迹时，若清楚轨迹类型，怎样求其方程呢？［生］设出方程，确定方程中的参数a、b，写出其方程.［师］很好，下面我们来看一个例子.（打出投影片8.1.3A）Ⅱ.讲授新课［师］（读题）［师］这个题目是求点M的轨迹，同学们已经进行了预习，谁来谈一下求点的轨迹与求点的轨迹方程有什么不同？［生］求点的轨迹方程，根据题意求出其方程即可；求点的轨迹，先要根据题意求出点的轨迹方程，还要根据方程指出其是怎样的一种图形.［师］好，以后同学们在做题中一定要注意这个问题.分析指导：这个题是属于不清楚点的轨迹类型的，应该用坐标法求其方程，首先需要建系，但由于题中给出了坐标系，所以就不用再建系了，其次，我们来分析动点M的特点：动点M的运动依赖于P点的运动，也就是说动点随着另一个点的运动而运动.而另一个点又在有规律的曲线上运动，此时我们就来建立两个动点坐标间的关系，利用另一点在有规律的曲线上运动的这一特点，求出点M的轨迹方程，下面同学们再来将此题的求解过程看一遍，体会一下做题的思路，并熟悉一下两个动点坐标间的关系是怎样寻求的，有不清楚的地方请指出来，我们共同来讨论.(学生看课本，教师巡视)［师］有什么问题呢？［生］没有.［师］我们把这种求点的轨迹方程的方法称为转移法（代换法）.求动点的轨迹方程时，若动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点的运动又在有规律的曲线上运动，此时，我们可以用转移法求出动点的轨迹方程.另外，从此题也可以看出，将圆按照某个方向均匀地压缩（或伸长）可以得到椭圆.Ⅲ.课堂练习1.从圆x2+y2=25上任意一点P向x轴作垂线段PP′，且线段PP′上一点M满足关系式|PP′|∶|MP′|=5∶３，求点M的轨迹.答案：Ⅳ.继续新课［师］（打出投影片8.1.3B，读题）［例4］P是椭圆上一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2=30°，求△PF1F2分析指导：先画出草图，根据题意分析.分析综合法是我们解决问题常用的方法，分析法是一种执果索因的推理方法，即从未知找需知并靠拢已知，综合法是一种由因导果的推理方法，即从已知看可知并推向未知，我们用这种方法对本题试做分析：为求△PF1F2的面积，可用S=底×高或S=absinC等等，把F1F2看作底，底的长度是可求的，那么P到直线F1F2的距离即底边F1F2上的高如何求呢？这样行不通！若要知道PF1、PF2的长把PF2看作底，PF2上的高却需求，因为∠F1PF2=30°，那么能否求出PF1、PF2的长呢？再从已知出发考虑：|PF1|+|PF2|可求.那么知道两条线段的和能求出这两条线段的长吗？显然还不行！从已知我们不难知道|PF1|+|PF2|，还可知道|F1F2|以及∠F1PF2，据此我们利用余弦定理可求出|PF1|与|PF2|的积，有了这个积，又知道∠F1PF2的大小，由公式S=absinC即可求出△（学生解答，请一位同学在