【八年级上册数学华师大版】专题04 勾股定理的应用（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages2222页试卷第=page22页，共=sectionpages2222页勾股定理的应用华师版数学八年级上册期末考试，通常用“勾股定理的应用”，作为解答题的第四题。关键是从实际问题中抽象出直角三角形，或将非直角三角形转化为直角三角形。1．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？【答案】(1)50cm；(2)300cm【详解】（1）解：如图，树干的周长即底面圆的周长为30cmcm葛藤升高40cmcm由勾股定理得cm所以，葛藤爬行的路程是50cm（2）解：树干的周长即底面圆的周长为40cmcm葛藤绕一圈爬行50cmcm由勾股定理得绕行1圈的高度爬行10圈到达树顶树干高cm所以，树干高为300cm2．如图，两个村子在河的同侧，两村到河的距离分别为，，．现在河边建一水厂分别向两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米．(1)请你在河边上作出水厂位置，使铺设水管的费用最省；(2)求出铺设水管的总费用．【答案】(1)见解析；(2)100000元【详解】（1）如图所示，点O就是建水厂的位置，（2）∵，，，∴，，，铺设水管长度为：，∵铺设水管的工程费用为每千米20000元，∴铺设水管的总费用为：元．3．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度为米；(2)他应该往回收线7米【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，，所以，（米），答：风筝的高度为米；（2）解：如图，由题意得，，∴，∴（米），∴（米），∴他应该往回收线7米．4．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．【答案】旗杆的高度为13米．【详解】解：设，根据题意得：在中，，即：，解得：．答：旗杆的高度为13米．5．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．(1)求的长，(2)求门槛的长．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：∵O是的中点∴∵∴；（2）设，则．∵，尺寸∴解得：∴．6．一台拖拉机沿公路以200m/min的速度从A行驶到B，点C为一所学校，m，m，m，距离拖拉机250m以内会受噪音影响．(1)学校C会受到拖拉机的噪音影响吗？为什么？(2)学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有多长？【答案】(1)学校C会受到拖拉机的噪音影响，理由见解析；(2)【详解】（1）解：学校C会受到拖拉机的噪音影响，理由如下：∵m，m，m，∴，∴为直角三角形，过点作交于点，则：，即：，∴，∴学校C会受到拖拉机的噪音影响．（2）解：设在点左右两侧各有一个，使，如图所示：则当拖拉机到达点时，学校开始受到影响，当拖拉机离开点时，学校开始不受影响，∵，∴，∴学校受到影响的时间为：．答：学校C受到拖拉机的噪音影响的时间有．7．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？【答案】E点应建在距A站10千米处．【详解】解：设，∵C、D两村到E站的距离相等，∴，即，由勾股定理，得,∴，解得．∴E点应建在距A站10千米处．8．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问:发生火灾的住户窗口距离地面的高度是多少?【答案】15米【详解】解：过点A作，垂足为C，如图所示：由题意可知：米，米，米；在中，根据勾股定理，得，即，∴，（米），（米）．答:发生火灾的住户窗口距离地面的高度为15米．9．为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．【答案】该材料符合设计要求，理由见解析【详解】解：该材料符合设计要求，理由如下：在中，，，，∴，∴，在中，，，，∴，∴，∴，∴，∴该材料符合设计要求．10．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100米，请问这辆小汽车是否超速？【答案】小汽车已超速行驶．【详解】解：根据题意，得米，米，，在中，根据勾股定理，(米)，80米千米，4秒小时，，所以小汽车已超速行驶．11．如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，问船向岸边移动了多少米．【答案】船向岸边移动了米【详解】解：在中：∵，，，∴，∵，∴，∴，答：船向岸边移动了米．12．如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？【答案】树高为9米．【详解】解：由题意知，且米，米，设米，则米，在中：，即，解得，故树高为米．答：树高为9米．13．有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是、、的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由．【答案】能放得进去；理由见解析【详解】解：能放得进去；理由如下：如图所示：根据已知条件得：，，，连接、，在中，，在中，，故能放得进去．14．如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m．(1)求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度；(2)当梯子的顶端A下滑2m到点时，底端B向外滑动到点，求此时的长．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：由题意，为直角三角形，在中，，∴的长度为；（2）解：梯子的顶端下滑2m到点时，，，在中，，∴，∴此时的长为．15．今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域．(1)求的度数；(2)经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？【答案】(1)见解析；(2)海港C受台风影响，理由见解析【详解】（1），，，是直角三角形，．（2）海港受台风影响，理由如下：过点作于点，是直角三角形，，，，海港会受台风影响．16．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？【答案】30海里/时【详解】解：根据题意可知：，（海里），在中（海里），乙船的航速是：（海里/时），答：乙船的航速是海里/时．17．如图，在一块直角三角形（）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，求绿地的面积．【答案】绿地的面积为96【详解】解：在中，，∴，在中，，，，∴，绿地的面积，答：绿地的面积为96．18．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图．已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高的B处救人后，还要从15m高的D处救人，这时消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？【答案】3【详解】解：由题意得：，∴，在中：，在中：，∴．∴消防车要从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3米．19．国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（）米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头顶正上方（），且显示距离地面米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程．【答案】能，无人机从点D到点E再到点B一共飞行了米，相应计算过程见解析【详解】能，过程如下：解：如图所示，作，交于点M交于点N，由题意可得，，米，米，∴米，米，设EN为x米，则ME为米，在中，，在中，，由题意可知，，则，∴，解得，则米，在中，（米），∴米，∵，∴（米），即无人机从点D到点E再到点B一共飞行了米．20．今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿方向移动，已知A市到的距离．(1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？(2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要8小时；(2)A市受台风影响的时间为小时．【详解】（1）解：由题意得，在中，，∴，∴时间为小时，即台风中心从B点移到D点需要8小时；（2）解：以A为圆心，以40km为半径画弧，交于P、Q，则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图），由题意，，在中，，∵，∴，∴，时间为(小时)．即A市受台风影响的时间为小时．21．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．(1)问这片绿地的面积是多少？(2)小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？【答案】(1)这片绿地的面积是；(2)居民从点到点将少走路程【详解】（1）解：如图，连接，，，，，，，，是直角三角形，即，，，，答：这片绿地的面积是；（2）解：，答：居民从点到点将少走路程．22．漳州某港口停着轮船A和轮船B．两艘轮船同时从该港口出发，轮船A以每小时航行16海里的速度沿北偏东的方向航行，轮船B以每小时航行12海里的速度沿南偏东的方向航行，半个小时之后，两艘轮船相距多少海里？【答案】半个小时之后，两艘轮船相距10海里【详解】解：如图所示，设点O为港口所在位置，点A为半个小时之后轮船A所在的位置，点B为半个小时之后轮船B所在的位置．由题可知，，．在中，，根据勾股定理得∴半个小时之后，两艘轮船相距10海里．23．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．(1)求的长；(2)请说明是直角三角形；(3)求需要绿化的空地的面积．【答案】(1)；(2)见解析；(3)【详解】（1）解：，，，（2）解：，，，，即是直角三角形，（3）解：需要绿化的空地的面积．24．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．【答案】市场应建在距的20千米处；是等腰直角三角形，理由见解析．【详解】解：设，则，在直角中，，在直角中，，，解得：，即；市场应建在距的20千米处；，，在和中，可得，∴，又，∴，∴又，是等腰直角三角形．25．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某些原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．(1)是否是从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明．(2)原路比新路多多少千米？【答案】(1)是，理由见解析；(2)0.05千米【详解】（1）解：是从村庄C到河边最近的路，理由：在中，千米，千米，千米，，是直角三角形，，∵垂线段最短，是从村庄C到河边最近的路；（2）解：，∴设，则，在中，由勾股定理得：，，∴原路比新路多千米．26．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？【答案】米【详解】如图，过点作，垂足为点，由题意可知，米，米，则米，答：为米．27．八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．(1)求风筝的高度；(2)若小亮让风筝