山东专用2024新高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业53双曲线含解析

课时作业53双曲线一、选择题1．已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，则其焦距为(D)A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C.eq\r(13) D．2eq\r(13)解析：由双曲线方程知c2＝9＋4＝13，∴c＝eq\r(13)，∴焦距为2eq\r(13)，故选D.2．(2024·北京卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq\r(5)，则a＝(D)A.eq\r(6) B．4C．2 D.eq\f(1,2)解析：解法1：由双曲线方程可知b2＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(a2＋1)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋1),a)＝eq\r(5)，解得a＝eq\f(1,2)，故选D.解法2：由e＝eq\r(5)，e2＝1＋eq\f(b2,a2)，b2＝1，得5＝1＋eq\f(1,a2)，得a＝eq\f(1,2)，故选D.3．已知双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(D)A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1解析：由题意，得2eq\r(m)＝eq\r(m＋6)，解得m＝2，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1，故选D.4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点P(eq\r(6)，4)，则双曲线的方程是(C)A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,32)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，所以eq\f(b,a)＝2①.又双曲线过点P(eq\r(6)，4)，所以eq\f(6,a2)－eq\f(16,b2)＝1②.①②联立，解得a＝eq\r(2)，b＝2eq\r(2)，所以双曲线的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1，故选C.5．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上随意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线解析：因为N为线段F1M的中点，O为线段F1F2的中点，所以|F2M|＝2|ON|＝2.因为P在线段F1M的中垂线上，所以|PF1|＝|PM|，所以||PF1|－|PF22|ON|＝2<|F1F2|，所以点P6．(2024·全国卷Ⅲ)双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(A)A.eq\f(3\r(2),4) B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)解析：不妨设点P在第一象限，依据题意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以等腰三角形POF的高h＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△PFO＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).7．经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为(A)A.eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(y2,\f(11,3))－eq\f(x2,11)＝1 D.eq\f(y2,11)－eq\f(x2,\f(11,3))＝1解析：设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得eq\f(|k×0－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3).因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，将点(2,1)代入可得eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(11,3)，,b2＝11，))故所求双曲线的方程为eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1.故选A.8．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，eq\r(2))，则△APF周长l的最小值为(B)A．4＋eq\r(2) B．4(1＋eq\r(2))C．2(eq\r(2)＋eq\r(6)) D.eq\r(6)＋3eq\r(2)解析：设双曲线的左焦点为F′.双曲线的右焦点为F(eq\r(6)，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a＋|PF′|，要使△APF周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，如图，当A，P，F′三点共线时|AP|＋|PF′|取得最小值，此时l＝2|AF|＋2a＝4(1＋eq\r(2))，故选B.9．(多选题)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则有(AC)A．渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)xB．e＝eq\f(3\r(2),2)C．e＝eq\f(2\r(3),3)D．渐近线方程为y＝±eq\r(3)x解析：双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为：bcos30°＝eq\f(\r(3),2)b，可得：eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)b，即eq\f(a,c)＝eq\f(\r(3),2)，故e＝eq\f(2\r(3),3).且eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)＝eq\f(\r(3),3)，故渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.故选AC.10．(多选题)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则正确的是(BD)A.eq\f(e2,e1)＝2 B．e1·e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1解析：因为eq\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))＝0且|eq\o(MF1,\s\up16(→))|＝|eq\o(MF2,\s\up16(→))|，故三角形MF1F2为等腰直角三角形，设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝eq\f(\r(2),2)a，所以e1＝eq\f(\r(2),2).在焦点三角形PF1F2中，设∠F1PF2＝eq\f(π,3)，|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－xy＝4c2,x＋y＝2\r(2)c,|x－y|＝2a′))，故xy＝eq\f(4,3)c2，从而(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝eq\f(8c2,3)，所以(a′)2＝eq\f(2c2,3)即e2＝eq\f(\r(6),2)，故eq\f(e2,e1)＝eq\r(3)，e2e1＝eq\f(\r(3),2)，eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2，eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1，故选BD.二、填空题11．(多填题)已知双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，它的焦点是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,10)＝1的长轴端点，则此双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，离心率为eq\f(5,3).解析：由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,10)＝1可得其长轴端点为(5,0)，(－5,0)，由双曲线的渐近线为：4x±3y＝0，所以可设双曲线的方程为：eq\f(x2,9λ)－eq\f(y2,16λ)＝1(λ>0)，依据题意可得：9λ＋16λ＝25，即λ＝1，所以双曲线的标准方程为：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，其离心率为e＝eq\f(5,3).12．已知双曲线C：x2－4y2＝1，过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点，则直线l的方程为y＝±eq\f(1,2)(x－2)．解析：∵双曲线C的方程为x2－4y2＝1，∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，∴渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x.∵P(2,0)在双曲线内部且直线l与双曲线有唯一公共点，∴直线l与双曲线的渐近线平行，∴直线l的斜率为±eq\f(1,2)，∴直线l的方程为y＝±eq\f(1,2)(x－2)．13．已知点P(1，eq\r(3))在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线上，F为C的右焦点，O为原点，若∠FPO＝90°，则C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.解析：设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，由渐近线过点P(1，eq\r(3))，得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，且|OP|＝2.焦点到渐近线的距离是b，即|PF|＝b，在Rt△OPF中，|OF|2＝|OP|2＋|PF|2，即c2＝22＋b2.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2eq\r(3)，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.14．(多填题)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程是2eq\r(2)x－y＝0，则双曲线E的离心率e＝3；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，则实数m的取值范围是(－3,5)．解析：因为双曲线E的一条渐近线的方程是2eq\r(2)x－y＝0，所以eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋2\r(2)2)＝3.因为双曲线E的实轴长为2，所以2a＝2，即a＝1，所以c＝3，F(3,0)．由题意得右焦点F在圆C外，所以需满意条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32＋02－2×3＋4×0＋m>0，,x－12＋y＋22＝5－m>0，))解得－3<m<5，故实数m的取值范围是(－3,5)．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记截了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为(A)A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．依据题意可设双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，即eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\f(2\r(3),3).16．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是y＝±eq\f(2\r(5),5)x，点A(0，b)，且△AF1F2的面积为6.(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于