山东专用2025版高考数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案含解析

PAGE1-第五讲椭圆ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．学问点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为__2a__；短轴B1B2的长为__2b__焦距|F1F2|＝__2c__离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a、b、c的关系__c2＝a2－b2__eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝eq\f(2b2,a)，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝eq\r(1－\f(b2,a2))．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是(CD)A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆C．方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆D．eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同题组二走进教材2．(必修2P42T4)椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m等于(C)A．4 B．8C．4或8 D．12[解析]当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3)过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1题组三考题再现4．(2024·湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2eq\r(2)－2，离心率为eq\f(\r(2),2)，则椭圆E的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．[解析]∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，∴a－c＝2eq\r(2)－2，∵离心率e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝2eq\r(2)，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．5．(2024·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D)A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1[解析]设|PF2|＝x，则|PF1|＝eq\r(3)x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋eq\r(3))x,2c＝|F1F2|＝2x，于是离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2x,1＋\r(3)x)＝eq\r(3)－1．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1(1)(2024·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，假如M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是(B)A．圆 B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是肯定点．则|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别为6＋eq\r(2)，6－eq\r(2)．(3)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为3eq\r(3)，则b＝__3__．[解析](1)如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2)如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6．∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．由椭圆方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知c＝eq\r(9－5)＝2，∴F1(2,0)，∴|AF1|＝eq\r(2)．利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2)．故|PA|＋|PF|的最大值为6＋eq\r(2)，最小值为6－eq\r(2)．(3)|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝eq\f(4,3)b2，又因为S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2＝3eq\r(3)，所以b＝3.故填3．名师点拨☞(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1)(2024·大庆模拟)已知点M(eq\r(3)，0)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1与直线y＝k(x＋eq\r(3))交于点A、B，则△ABM的周长为__8__．(2)(2024·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上随意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为__－5__．[解析](1)直线y＝k(x＋eq\r(3))过定点N(－eq\r(3)，0)．而M、N恰为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．(2)由题意可知F2(3,0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝eq\r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5．考点二求椭圆的标准方程——师生共研例2求满意下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)；(3)经过点P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)两点；(4)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq\r(3))．[解析](1)若焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴eq\f(9,a2)＝1，∴a＝3.∵2a＝3×2b，∴b＝1.∴方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9.∴方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．综上所述，椭圆方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．(2)由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1．(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)在椭圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq\f(1,15)，n＝eq\f(1,5)．故椭圆方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1．(4)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t>0)，将点(2，－eq\r(3))代入，得t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2．故所求方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1．若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝λ(λ>0)代入点(2，－eq\r(3))，得λ＝eq\f(25,12)，∴所求方程为eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．综上可知椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．名师点拨☞(1)求椭圆的方程多采纳定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形态时，肯定要留意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：①作推断：依据条件推断焦点的位置；②设方程：焦点不确定时，要留意分类探讨，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；③找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解，得方程．〔变式训练2〕(1)“2<m<6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2024·广东模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是(D)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1考点三椭圆的几何性质——师生共研例3(1)(2024·河南中原名校、大连市、赤峰市联考)已知椭圆y2＋mx2＝1(m>0)的离心率为eq\f(1,2)，则m＝eq\f(3,4)或eq\f(4,3)．(2)(2024·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)(3)(2024·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝eq\f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(D)A．(0，eq\f(\r(2),2)] B．(0，eq\f(\r(3),3)]C．[eq\f(\r(2),2)，1) D．[eq\f(\r(3),3)，1)[解析](1)将椭圆y2＋mx2＝1(m>0)化为标准方程是y2＋eq\f(x2,\f(1,m))＝1，若eq\f(1,m)>1，即0<m<1，则椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(\f(1,m)－1),\r(\f(1,m)))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(3,4)；若eq\f(1,m)<1，即m>1，则椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(1－\f(1,m)),1)＝eq\f(1,2)，解得：m＝eq\f(4,3).故答案为：m＝eq\f(3,4)或m＝eq\f(4,3)．(2)不妨设直线l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)⇒e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知eq\f(a2,c)－c≤2c，∴e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,3)，即e≥eq\f(\r(3),3)，又0<e<1，∴eq\f(\r(3),3)≤e<1.故选D．名师点拨☞椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特别值或特别位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．〔变式训练3〕(1)(2024·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2)(2024·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)(3)(2024·贵州贵阳适应性考试)过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F的直线过C的上顶点B，且与椭圆相交于点A，若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，则C的离心率为(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)[解析](1)由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(1,\r(3))2)＝eq\f(\r(6),3).故选A．(2)当P为短轴端点时∠A1PA2最大，由题意可知eq\f(a,b)＝tan60°＝eq\r(3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故选D．(3)由题意可得B(0，b)，F(－c,0)，由eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，得A(－eq\f(4,3)c，－eq\f(b,3))，点A在椭圆上，则：eq\f(－\f(4,3)c2,a2)＋eq\f(－\f(b,3)2,b2)＝1，整理可得：eq\f(16,9)·eq\f(c2,a2)＝eq\f(8,9)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).故选D．考点四直线与椭圆——多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4(多选题)若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的值可能是(BCD)A．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(3) D．4[解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.故选B、C、D．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.故选B、C、D．角度2中点弦问题例5(2024·湖北省宜昌市调研)过点P(3、1)且倾斜角为eq\f(3π,4)的直线与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),3)[解析]由题意可知P为AB的中点，且kAB＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(3b2,a2)＝－1，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故选C．角度3弦长问题例6(2024·厦门模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点P(－eq\r(3)，eq\f(1,2))，椭圆E的一个焦点为(eq\r(3)，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过点M(0，eq\r(2))且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．[解析](1)依题意，设椭圆E的左、右焦点分别为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)．由椭圆E经过点P(－eq\r(3)，eq\f(1,2))，得|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1．∴椭圆E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋eq\r(2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\r(2)，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(1＋4k2)x2＋8eq\r(2)kx＋4＝0．由Δ>0得(8eq\r(2)k)2－4(1＋4k2)×4>0，∴4k2>1．由x1＋x2＝－eq\f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4,1＋4k2)得|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(－6\f(1,1＋4k2)2＋\f(1,1＋4k2)＋1)．设t＝eq\f(1,1＋4k2)，则0<t<eq\f(1,2)，∴|AB|＝2eq\r(－6t2＋t＋1)＝2eq\r(－6t－\f(1,12)2＋\f(25,24))≤eq\f(5\r(6),6)，当且仅当t＝eq\f(1,12)时等号成立．当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2<eq\f(5\r(6),6)．综上，|AB|的最大值为eq\f(5\r(6),6)．名师点拨☞直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)直线与椭圆位置关系的推断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来推断；②借助几何性质来推断．(2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件找寻满意条件的关于a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．(4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．留意答题时不要忽视对判别式的探讨．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系是__相交__．(2)(角度2)(2024·广东珠海期末)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率eq\f(\r(2),2)，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为(D)A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)(3)(角度3)斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)[解析](1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2)因为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴4c2＝2a2，∴4(a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2))，相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－eq\f(1,2)，选D．(3)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5)．∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(－\f(8,5)