2024-2025学年广东省广州市某校高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市某校高二（上）期末数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线a，b与平面α，β，下列四个命题中正确的是(

)A.若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α

B.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

C.若a//α，b//β，α//β，则a//b

D.若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a//α2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+aA.52 B.54 C.56 D.583.到直线3x−4y−11=0的距离为1的直线方程为(

)A.3x−4y−1=0 B.3x−4y−6=0或3x−4y−16=0

C.3x−4y+1=0或3x−4y−1=0 D.3x−4y+16=0或3x−4y−3=04.双曲线C：x2a2−y2b2A.233 B.2 C.45.已知直线m：ax+y+3=0与直线n：3x+(2b−1)y−1=0，(a,b>0)，且m⊥n，则2a+1bA.12 B.8+43 C.15 6.在空间中，“经过点P(x0,y0,z0)，法向量为e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x,y,z)满足的关系)是：A(x−x0)+B(y−yA.73 B.63 C.7.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，则每年应该存入约(    )万元.(参考数据：1.027≈1.149，1.02A.5.3 B.4.6 C.7.8 D.68.已知圆C：(x+1)2+y2=2，点P在直线l：x−y−3=0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为AA.|PA|的最小值为2

B.|PA|最小时，弦AB长为6

C.|PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为−1

D.四边形PACB的面积最小值为二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是60°，P为A1D与ADA.CP=−a−12b+12c

10.已知直线l的方程为ax−y+1=0，a∈R，则下列说法正确的是(

)A.l与直线x+ay+1=0有唯一的交点

B.l与椭圆x22+y2=1一定有两个交点

C.l与圆(x−1)2+y11.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向402m处设立观测点A，在平台O的正西方向240m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向200m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则(

)A.观测点A，B之间的距离是280mB.圆C的方程为x2+y2+240x−320y=0

C.12.已知椭圆x29+y2b2=1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A.椭圆的短轴长为6B.|AF2|+|BF2|最大值为8

C.离心率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为______m；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m.

14.经过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(1,−2)，B(3,2)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α15.已知点M是圆x2+y2=1上的动点，点N是圆(x−5)2+(y−2)16.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=CC1=2，M，N分别为BC，CC1的中点，点P在矩形BCC1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知△ABC的顶点A(3,2)，边AB上的中线所在直线方程为x−3y+8=0，边AC上的高所在直线方程为2x−y−9=0．

(1)求顶点C的坐标；

(2)求直线BC的方程．18.(本小题12分)

已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，且过点(2,2)．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)圆x2+y2=4的切线l与双曲线C相交于A19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠BAD=120°，四边形ABCD是菱形，PB=2AB=2PA，E是棱PD上的动点，且PE=λPD．

(1)证明：PA⊥平面ABCD．

(2)是否存在实数λ，使得平面PAB与平面20.(本小题12分)

已知数列{an}是递增的等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1=3，a1−1、a2−1、a3+1成等比数列，b1=1，a5−2b221.(本小题12分)

假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米.求：

(1)截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计(以2023年为累计的第一年)为多少万平方米？

(2)哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？22.(本小题12分)

已知动点M在x2+y2=4上，过M作x轴的垂线，垂足为N，若H为MN中点．

(1)求点H的轨迹方程；

(2)过A(0,12)作直线l交H的轨迹于P、Q两点，并且交x轴于B点.若参考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.B

6.A

7.A

8.B

9.AC

10.AC

11.BCD

12.BCD

13.8

3.2

14.[0,π15.14916.3417.解：(1)因为边AC上的高所在直线方程为2x−y−9=0，设直线AC的方程为x+2y+a=0，

又因为直线AC过点A(3,2)，则a=−7，

得到直线AC的方程为x+2y−7=0，

联立2x−y−9=0x+2y−7=0，解得C的坐标为(1,3)；

(2)设B(a,b)，因为边AB上的中线所在直线方程为x−3y+8=0，

边AC上的高所在直线方程为2x−y−9=0，

可得2a−b−9=0且a+32−3⋅b+22+8=0，解得a=8b=7，即B的坐标为(8,7)18.解：(1)由题意得ca=3，将(2,2)代入双曲线中得4a2−4b2=1，

又c2=a2+b2，解得a2=2，b2=4，

故双曲线C的标准方程为x22−y24=1；

(2)证明：(i)当切线l的斜率为0时，方程为y=±2，

不妨设y=2，此时x22−224=1，解得x=±2，不妨设A(−2,2)，B(2,2)，

则OA⋅OB=(−2,2)⋅(2,2)=−4+4=0，所以OA⊥OB；

当切线斜率不为0时，设为x=my+t，

由圆心到直线距离可得|t|1+m2=2，故t2=4+4m2，

联立x=my+t与x22−y24=1得，(2m2−1)y2+4mty+2t2−4=0，

则2m2−1≠0Δ=16m2t2−4(2t2−4)(2m2−1)>0年t2=4+4m2，

解得m≠±22，

设A(x19.解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

因为BD⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，且AC∩PC=C，

所以BD⊥平面PAC，

因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，

因为PB=2AB=2PA，所以PB2=AB2+PA2，即AB⊥PA，

因为AB，BD⊂平面ABCD，且AB∩BD=B，

所以PA⊥平面ABCD．

(2)取棱CD的中点F，连接AF，因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

所以△ACD为等边三角形，故AF⊥CD，

又PA⊥平面ABCD，AB，AF⊂平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AF，故AB，AF，AP两两垂直，

故以A为原点，分别以AB，AF，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设AB=2，则A(0,0,0)，C(1,3,0)，D(−1,3,0)，P(0,0,2)，

故AC=(1,3,0)，PD=(−1,3,−2)，AP=(0,0,2)，

所以AE=AP+PE=AP+λPD=(−λ,3λ,2−2λ)，

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥ACn⊥AE，则n⋅AC20.解：(1)由a1=3，a1−1、a2−1、a3+1成等比数列，设公差为d，

可得(a2−1)2=(a1−1)(a3+1)，即(3+d−1)2=(3−1)(3+2d+1)，解得d=±2，

∵{an}递增，∴d=2，∴an21.解：(1)假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房，

预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%，

另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米，

设中、低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，

其中a1=250，d=50，则Sn=250n+n(n−1)2×50=25n2+225n，所以S10=4750，

所以截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米；

(2)