2025年菁优高考数学压轴训练19

Page2025年菁优高考数学压轴训练19一．选择题（共10小题）1．（2024•安庆模拟）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点，，，是抛物线上两个不同的点，且，则A． B． C． D．32．（2024•海州区校级模拟）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则A．2 B．4 C．6 D．83．（2024•成都三模）已知点，分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为A．6 B． C． D．4．（2024•李沧区校级一模）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是A． B． C． D．5．（2024•启东市校级模拟）已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，则的最小值为A． B．4 C． D．66．（2024•海陵区校级模拟）过抛物线焦点且斜率为的直线与交于、两点，若为的内角平分线，则面积最大值为A． B． C． D．167．（2024•广东模拟）抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于、两点，则的最小值为A．8 B．9 C．10 D．118．（2024•辽宁模拟）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线相交于点，和点，，，是抛物线上一点，且，从点引抛物线的准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为A． B． C． D．9．（2024•海南模拟）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则A． B．1 C．2 D．410．（2024•青羊区校级模拟）已知抛物线的焦点为，直线且交于，两点，直线，分别与的准线交于，两点，为坐标原点），下列选项正确的有A．且 B．且， C．且 D．且二．多选题（共5小题）11．（2024•盐湖区一模）抛物线的焦点为，，、，是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则A．若，则直线的斜率为或 B．若，则 C．若和不平行，则 D．若，则的最大值为12．（2024•回忆版）抛物线的准线为，为上的动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则A．与相切 B．当，，三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个13．（2024•南关区校级模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，，则A．若，则 B．若，则 C．，则 D．，则14．（2024•永州三模）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则A．的最小值为2 B．当直线的斜率为时， C．设直线，的斜率分别为，，则 D．过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则15．（2024•姜堰区校级模拟）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，，，两点，为坐标原点，抛物线的焦点为，则A． B．点与抛物线上任意一点的最短距离为4 C．的最小值为32 D．的最小值为11三．填空题（共5小题）16．（2024•合肥模拟）抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，，与轴交于点，，若，则．17．（2024•淮北模拟）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数．18．（2024•西城区校级模拟）设点，在抛物线上，已知，．若，则；若，则直线斜率的最小值为．19．（2024•雁峰区校级模拟）已知为抛物线上的动点，动点满足到点的距离与到点是的焦点）的距离之比为，则的最小值是．20．（2024•河北一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，的中点为，以为直径的圆与轴交于，两点，当取最大值时，此时．四．解答题（共5小题）21．（2024•朝阳区校级模拟）已知为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，．（1）求抛物线的方程；（2）若点，连接，，证明：；（3）已知圆以为圆心，1为半径，过作圆的两条切线，与轴分别交于点，且，位于轴两侧，求面积的最小值．22．（2024•昌乐县校级模拟）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．（1）若直线与轴的交点为，求证：；（2）过点作的垂线与直线交于点，求证：．23．（2024•四川模拟）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，为的中点，且点到抛物线的准线距离的最小值为2．（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线在，两点的切线相交于点，求点的横坐标．24．（2024•安徽模拟）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为，的面积为．已知，，设过点的动直线与抛物线交于、两点，直线，与的另一交点分别为，．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．25．（2024•五莲县校级模拟）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，设抛物线在点，处的切线分别为和，已知与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为．（1）证明：点在定直线上；（2）若面积为，求点的坐标；（3）若，，，四点共圆，求点的坐标．

2025年菁优高考数学压轴训练19参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•安庆模拟）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点，，，是抛物线上两个不同的点，且，则A． B． C． D．3【答案】【考点】抛物线的焦点与准线【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；综合法【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解．【解答】解：已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，则，即抛物线的方程为，又点，，，是抛物线上两个不同的点，且，则，即，即，即，则．故选：．【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．2．（2024•海州区校级模拟）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则A．2 B．4 C．6 D．8【答案】【考点】抛物线的焦点与准线【专题】计算题；数学运算；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求，可得结论．【解答】解：抛物线的焦点的坐标为，若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，不满足条件，故可设直线的方程为，联立，化简可得，方程的判别式△，设，，，，则，所以，由已知，设的中点为，，则，，所以线段的垂直平分线方程为，因为在线段的垂直平分线上，所以，故，所以，．故选：．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．3．（2024•成都三模）已知点，分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为A．6 B． C． D．【答案】【考点】抛物线的焦点与准线【专题】综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；直线与圆；转化思想；数学运算【分析】设点的坐标为，，是轴上一点，令，可解得，进而，最后运用两点的距离公式及三角形的性质可求解．【解答】解：设点的坐标为，，是轴上一点，由抛物线的性质知点的坐标为，则，，令，则，将，代入化简得，即点满足，所以，设点坐标为，，所以．故选：．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查两点的距离公式，考查三角形的基础知识，属于中档题．4．（2024•李沧区校级一模）已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是A． B． C． D．【答案】【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；综合法；数学运算【分析】设，由取得最小值时，最大，最小即可求解．【解答】解：如图所示：因为，，设，则，当时，取得最小值，此时，最大，最小，且．故选：．【点评】本题主要考查圆与抛物线的综合知识，考查计算能力，属于中档题．5．（2024•启东市校级模拟）已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，则的最小值为A． B．4 C． D．6【答案】【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；转化思想；综合法【分析】设过的直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，通过根与系数关系及基本不等式，即可求解．【解答】解：抛物线方程为：，，，准线方程为，设过的直线的方程为，，联立，可得，设，，，，，，，当且仅当，，即时等号成立，的最小值为．故选：．【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，基本不等式的应用，属中档题．6．（2024•海陵区校级模拟）过抛物线焦点且斜率为的直线与交于、两点，若为的内角平分线，则面积最大值为A． B． C． D．16【答案】【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法；计算题【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点，的坐标，由内角平分线可得，由此求出点的坐标满足的关系，进而求出点到直线距离的最大值即可得解．【解答】解：抛物线焦点，直线的方程为，由，解得，，不妨令，则，由为的内角平分线，得，设点，于是，整理得，显然点在以点为圆心，2为半径的圆上，因此点到直线距离的最大值为2，所以面积最大值为．故选：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，借助三角形面积公式求出角平分线的性质，进而求出角顶点的轨迹方程是解题之关键，是中档题．7．（2024•广东模拟）抛物线的焦点为，过的直线交该抛物线于、两点，则的最小值为A．8 B．9 C．10 D．11【答案】【考点】抛物线的焦点与准线【专题】数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化法；等差数列与等比数列【分析】设，，，．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，然后利用及其基本不等式的性质求出的最小值，当直线的斜率不存在时，直接求出即可．【解答】解：抛物线的焦点为，设，，，．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．联立，化为，则，，，当且仅当时取等号．又，，，当直线的斜率不存在时，．综上，的最小值为9．故选：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，基本不等式的性质，考查了分类讨论的思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2024•辽宁模拟）已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，分别与抛物线相交于点，和点，，，是抛物线上一点，且，从点引抛物线的准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为A． B． C． D．【答案】【考点】直线与抛物线的综合【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线中的最值与范围问题；对应思想【分析】根据题意可知直线的斜率存在且设直线方程为，然后与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得，同理求出，再由几何关系，求得，设，，由抛物线焦半径公式求得，从而可求解．【解答】解：如图，由题意，得抛物线的焦点为，易知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，代入，整理得：，由根与系数的关系得，，所以，又直线的方程为，同理，所以，所以，故抛物线，设点，，则，所以，所以，所以，所以的面积为，易知，或，则，设的内切圆的半径为，内心为点，则由，得，解得，所以的内切圆的周长为．故选：．【点评】本题考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题．9．（2024•海南模拟）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则A． B．1 C．2 D．4【答案】【考点】抛物线的焦点与准线【专题】综合法；转化思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先求直线的倾斜角和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理表示弦长，即可求解．【解答】解：如图，过点作，由条件可知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，由，，所以，设直线的直线方程为，联立，得，易知△，则，而，得．故选：．【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．10．（2024•青羊区校级模拟）已知抛物线的焦点为，直线且交于，两点，直线，分别与的准线交于，两点，为坐标原点），下列选项正确的有A．且 B．且， C．且 D．且【答案】【考点】直线与抛物线的综合【专题】数学运算；综合法；整体思想；圆锥曲线中的最值与范围问题；计算题【分析】联立直线与抛物线方程，得，设，，，，由韦达定理可得，，再由向量的数量积逐一判断．【解答】解：由，可得，设，，，，则，，，直线的方程为，由，可得，同理可得，所以，，对于，，只有当时，，此时，直线与轴垂直，不存在斜率，不满足题意，所以，故错误；对于，因为，，故正确；对于，由得，而，所以，故错误；对于，由可知不存在且，使成立，故错误．故选：．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．二．多选题（共5小题）11．（2024•盐湖区一模）抛物线的焦点为，，、，是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则A．若，则直线的斜率为或 B．若，则 C．若和不平行，则 D．若，则的最大值为【答案】【考点】直线与抛物线的综合【专题】数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可判断选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断选项；利用三角形三边关系可判断选项；利用余弦定理、基本不等式可判断选项．【解答】解：易知抛物线的焦点为，对于选项，若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，因为，则在直线上，设直线的方程为，联立可得，则△，由韦达定理可得，，因为，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此时，直线的斜率为，对；对于选项，当时，则在直线上，，则，对；对于选项，当和不平行时，则、、三点不共线，所以，，错；对于选项，设，，当时，，由选项可得，所以，，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，对．故选：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查圆锥曲线中的最值问题解决方法，是中档题．12．（2024•回忆版）抛物线的准线为，为上的动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则A．与相切 B．当，，三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个【答案】【考点】抛物线的焦点与准线【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】选项中，抛物线的准线为，判断是圆的一条切线；选项中，当、、三点共线时，求出点，计算即可；选项中，当时，与并不垂直；选项中，由得出在的中垂线上，判断该直线与抛物线有两交点．【解答】解：对于，抛物线的准线为，是的一条切线，选项正确；对于，的圆心为，当、、三点共线时，，所以，选项正确；对于，当时，或，对应的或，当时，，，与不垂直，当时，，，与不垂直，选项错误；对于，焦点，由抛物线的定义知，则等价于在的中垂线上，该直线的方程为，它与抛物线有两交点，选项正确．故选：．【点评】本题考查了直线与抛物线方程应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．13．（2024•南关区校级模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，，则A．若，则 B．若，则 C．，则 D．，则【答案】【考点】抛物线的焦点弦及焦半径【专题】综合法；数学运算；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，设准线与轴的交点为，结合抛物线的定义与向量的共线定理分析选项和；结合圆周角定理与三角形全等分析选项和．【解答】解：过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，设准线与轴的交点为，如图所示，由抛物线的定义知，，，选项，若，则，即，所以，所以，即，故选项正确；选项，若，则，所以，所以，即，故选项错误；选项，因为以为直径的圆过焦点，所以，又，，，所以△△，所以，所以，因为，所以，在等腰△中，，即选项正确；选项，由△△，知，所以，因为，所以△是等边三角形，且，所以，即选项正确．故选：．【点评】本题主要考查抛物线焦半径的求法，熟练掌握抛物线的定义与几何性质，平面向量共线定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．14．（2024•永州三模）已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与抛物线相交于，两点（点在第一象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则A．的最小值为2 B．当直线的斜率为时， C．设直线，的斜率分别为，，则 D．过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则【答案】【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合【专题】数学运算；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】对于，利用即可判断；对于，将代入即可判断；对于，求出与的斜率即可求解；对于，证明即可．【解答】解：由题意可设直线方程为，且，，，，由联立得，故，；对于，由抛物线定义知，，故，当等号成立时，不符合题意，故错误；对于，由知，正确；对于，，，故，，故，由，，得，故正确；对于，直线的方程为，令，得，故，故为的中点，故正确．故选：．【点评】本题考查抛物线的性质以及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．15．（2024•姜堰区校级模拟）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，，，两点，为坐标原点，抛物线的焦点为，则A． B．点与抛物线上任意一点的最短距离为4 C．的最小值为32 D．的最小值为11【答案】【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合【专题】转化思想；数学运算；圆锥曲线中的最值与范围问题；综合法【分析】．设直线的方程为，联立，化为，利用根与系数的关系判断是否成立，即可得出结论；．设抛物线上任意一点，可得点与抛物线上任意一点的距离为，结合二次函数的单调性即可判断出结论；，利用根与系数的关系并且结合二次函数的单调性即可判断出结论；．先求点，到直线的距离之和为，设线段的中点为，，即，，利用点到直线的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：．设直线的方程为，联立，化为，△，，，则，，因此正确；．设抛物线上任意一点，则点与抛物线上任意一点的距离为，当时取等号，因此不正确；，时取等号，故的最小值为32，因此正确；．先求点，到直线的距离之和为，设线段的中点为，，即，，则，当时取等号，的最小值为11，因此正确．故选：．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及性质、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•合肥模拟）抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，，与轴交于点，，若，则．【答案】．【考点】抛物线的焦点与准线【专题】方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；综合法【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由向量相等推得，由抛物线的定义推得四边形为菱形，再由两点的距离公式求得的纵坐标，可得所求值．【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，设，，，由，可得，垂足为，且，由抛物线的定义可得，且四边形为菱形，，，，．由，解得，则．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17．（2024•淮北模拟）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数2．【考点】抛物线的焦点与准线【专题】数学运算；综合法；对应思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题设，，，共线，作，，垂足分别为，，结合抛物线定义及相似比求参数值即可．【解答】解：由题设知：，，，共线，且，如下图，作，，垂足分别为，，则，，所以，又，则，所以，即，故．故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线得性质的应用，属于中档题．18．（2024•西城区校级模拟）设点，在抛物线上，已知，．若，则3；若，则直线斜率的最小值为．【答案】3；1．【考点】抛物线的焦点与准线【专题】数学运算；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想【分析】根据抛物线的几何性质，基本不等式，即可分别求解．【解答】解：抛物线的焦点为，又，在抛物线上，，；若，则，又，直线的斜率为，当且仅当，即时，等号成立，直线斜率的最小值为1．故答案为：3；1．【点评】本题考查抛物线的几何性质，基本不等式的应用，属中档题．19．（2024•雁峰区校级模拟）已知为抛物线上的动点，动点满足到点的距离与到点是的焦点）的距离之比为，则的最小值是．【答案】．【考点】抛物线的焦点与准线【专题】数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当，，三点共线时，最小，然后求最小值即可．【解答】解：由题意可得，等于点到准线的距离，如图，过点作垂直准线于点，则，设动点，则，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以，所以当，，，四点共线时，最小，故．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属中档题．20．（2024•河北一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，的中点为，以为直径的圆与轴交于，两点，当取最大值时，此时．【答案】．【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算；方程思想【分析】首先作辅助线于点，并设，利用坐标表示，并求的最小值，结合几何关系，即可求解．【解答】解：如图，由，可知，设，，，，，，易知，所以，过点作于点．设，则，所以当取最小值时，最小，因为，所以当最小时，最小，最大，又的最小值为1，所以，所以，可得．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024•朝阳区校级模拟）已知为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，．（1）求抛物线的方程；（2）若点，连接，，证明：；（3）已知圆以为圆心，1为半径，过作圆的两条切线，与轴分别交于点，且，位于轴两侧，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3）8．【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合【专题】对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；逻辑推理；综合法【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再求出，再根据求出，即可求出抛物线的方程；（2）要证，即证平分，即证，结合（1）计算化简即可得出结论；（3）记，分别与圆切于点，，连接，，，求出，结合切线长定理可得，，，再根据，求出，再结合基本不等式即可得解．【解答】解：（1）不妨设直线的方程为，，，，，联立，消去并整理得，由韦达定理得，所以，此时，解得，则抛物线的方程为；（2）证明：要证，需证平分，即证，由（1）知，，所以，故；（3）记，分别与圆切于点，，连接，，，易知，由切线长定理可得，，，所以，因为，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值为8．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．22．（2024•昌乐县校级模拟）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．（1）若直线与轴的交点为，求证：；（2）过点作的垂线与直线交于点，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合【专题】综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运动思想；数学运算【分析】（1）利用已知条件证明即可；（2）利用条件证明即可．【解答】解：设直线的方程为，联立，消去得：，，（1）证明：不妨设在第一象限，在第四象限，对于，的斜率为，的方程为，即为，令得，直线的方程为：，令得，所以，所以，即得证；（2）证明：过点的得垂线的方程为：，即，则，解得的纵坐标为要证明，因为，，，三点共线，只需证明：，，，所以成立，得证．【点评】本题考查了抛物线与直线的位置关系以及弦长公式的应用，属于中档题．23．（2024•四川模拟）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，为的中点，且点到抛物线的准线距离的最小值为2．（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线在，两点的切线相交于点，求点的横坐标．【答案】（1）；（2）．【考点】直线与抛物线的综合【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；综合法【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，利用焦点弦长公式出最小值即可求解；（2）设切线方程与抛物线联立，由判别式等于0化简切线方程，并求出交点坐标即可求解．【解答】解：（1）由题知直线的斜率不为0，设直线，联立，得，则△，，由抛物线的定义，知点到抛物线准线的距离，所以当时，，所以抛物线的方程为．（2）由题易知抛物线在，两点处的切线与坐标轴不垂直，设在点，处的切线方程为，即，联立，得，则△，即，解得，所以，即，同理可得抛物线在点，处的切线方程为，设，，由，得，由（1）知，所以，所以点的横坐标为．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了焦点弦长公式及直线的方程，属中档题．24．（2024•安徽模拟）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为，的面积为．已知，，设过点的动直线与抛物线交于、两点，直线，与的另一交点分别为，．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线过定点．【考点】抛物线的标准方程；抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想【分析】（Ⅰ）求得直线的斜率和三角形的面积，解方程可得，进而得到抛物线的方程；（Ⅱ）分别求得直线，的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和三点共线的性质，结合直线恒过定点可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设准线与轴的交点为，直线的斜率为，，又，，解得，故抛物线的方程为：．（Ⅱ）设，，，，过点的直线的方程为：．则联立，整理得：，由韦达定理可得：，．又设，，，，可得的直线方程为：，由，，三点共线可得：，化简可得：，同理，由，，三点共线可得：，可得，，综上可得的直线方程为：，变形可得：，所以直线过定点．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．25．（2024•五莲县校级模拟）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，设抛物线在点，处的切线分别为和，已知与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为．（1）证明：点在定直线上；（2）若面积为，求点的坐标；（3）若，，，四点共圆，求点的坐标．【答案】（1）证明见解答；（2）点的坐标为或；（2）的坐标为，．【考点】直线与圆锥曲线的综合；直线与抛物线的综合【专题】逻辑推理；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算【分析】（1）设，，，，，，由，得，可求得与的方程，联立可求得点的坐标；再将直线的方程与抛物线方程联立，即可证得点在定直线上；（2）在，的方程中，令，得，，，，由，结合韦达定理，可求得的值，进而可求得点的坐标；（3）依题意，可求得直线的方程，再结合点在定直线上，联立两直线方程，即可求得点的坐标．【解答】解：（1）证明：设，，，，，，由，得，所以方程为：，整理得：，同理可得，的方程为：，联立得：，．设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，故，，所以，，有，所以点在定直线上．（2）在，的方程中，令，得，，，，所以的面积，故，代入可得：，解得或，所以点的坐标为或．（3）抛物线焦点，由，得直线的斜率，所以，同理，所以是外接圆的直径，若点也在该圆上，则．由，得直线的方程为：，又点在定直线上，联立两直线方程，解得点的坐标为，．【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，考查方程思想与转化与化归思想的应用，考查推理能力与运算能力，属于难题．

考点卡片1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e＝1e＝1准线x＝﹣y＝﹣2．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：3．直线与抛物线的综合【知识点的认识】直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与抛物线相交⇔Δ＞0；直线与抛物线相切⇔Δ＝0；直线与抛物线相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组的解的个数．（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）