2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：相等关系与不等关系（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：相等关系与不等关系（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•运城二模）已知集合A={x∈N|13＜3x+1＜27}，B＝{x|x2﹣3x+m＝0}，若1∈A∩B，则2．（2024•长宁区校级三模）已知函数f（x）＝x3+2x，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0），则1m+2n的最小值是3．（2024•樊城区校级模拟）已知正实数x，y满足4x+7y＝4，则2x+3y+12x+y的最小值为4．（2024•宜宾三模）已知x＞1，求x+4x-1的最小值是5．（2024•历城区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c＝2，则4a+b+1c的最小值为6．（2024•河池模拟）若实数a＞1＞b＞0，且a2+2b＝b2+2a，则1a-1+1b的最小值为7．（2024•保定三模）设a，b，c＞0，则a+2ab+4aca+b+4c的最大值为8．（2024•浙江模拟）若a＞0，b＞0，则min{max(a，b，19．（2024•下陆区校级三模）设a，b∈R+，若a+4b＝4，则a+2bab的最小值为，此时a的值为10．（2024•平罗县校级模拟）已知m，n∈（0，+∞），1m+n=4，则m+9n的最小值为

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：相等关系与不等关系（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•运城二模）已知集合A={x∈N|13＜3x+1＜27}，B＝{x|x2﹣3x+m＝0}，若1∈A∩B，则【考点】指、对数不等式的解法；并集及其运算；交集及其运算．【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．【答案】8．【分析】先求出集合A，然后结合集合的交集运算及元素与集合关系先求出m，进而可求B，结合集合的并集及集合子集的个数规律即可求解．【解答】解：因为A={x∈N|13＜3x+1＜27}={0，1}，B＝{x|x若1∈A∩B，则1∈B，所以1﹣3+m＝0，即m＝2，B＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2}，子集个数为23＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了集合的交集及并集运算，还考查了集合子集个数的判断，属于基础题．2．（2024•长宁区校级三模）已知函数f（x）＝x3+2x，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0），则1m+2n的最小值是【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】8．【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可得m，n的关系，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为f（x）＝x3+2x，所以f（﹣x）＝﹣x3﹣2x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，因为y＝x3与y＝2x都为R上递增的函数，故f（x）在R上单调递增，若m＞0，n＞0，且f（2m）+f（n﹣1）＝f（0）＝0，则f（2m）＝﹣f（n﹣1）＝f（1﹣n），所以2m＝1﹣n，即2m+n＝1，1m+2n当且仅当n＝2m，即m=14，n故答案为：8．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．3．（2024•樊城区校级模拟）已知正实数x，y满足4x+7y＝4，则2x+3y+12x+y的最小值为【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】由4x+7y＝2（x+3y）+（2x+y），结合基本不等式求解即可．【解答】解：因为4x+7y＝4，所以2x+3y所以2x+3y因为x，y为正实数，所以2(x+3y)2x+y所以2(x+3y)2x+y当且仅当3y+x=2x+y4x+7y=4时等号成立，即x=所以2x+3y+1所以2x+3y+1故答案为：94【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．4．（2024•宜宾三模）已知x＞1，求x+4x-1的最小值是5【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值．【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，所以x+4x-1=(x-1)+4x-1+1故答案为：5【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题．5．（2024•历城区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c＝2，则4a+b+1c的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】92【分析】根据基本不等式的性质求解即可．【解答】解：因为a+b+c＝2，所以4=12（4a+b+1c）（=12（5≥12（5+2=9当且仅当4ca+b=a+bc，即a+b故4a+b+1故答案为：92【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．6．（2024•河池模拟）若实数a＞1＞b＞0，且a2+2b＝b2+2a，则1a-1+1b的最小值为【考点】运用基本不等式求最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】4．【分析】根据题意化简已知等式，可得a﹣1＝1﹣b，从而将1a-1+1b化简为关于【解答】解：由a2+2b＝b2+2a，得（a﹣1）2＝（b﹣1）2，结合a＞1＞b＞0，可得a﹣1＝1﹣b，所以1a-1+当且仅当b＝1﹣b，即b=12时，1a-1故答案为：4．【点评】本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．7．（2024•保定三模）设a，b，c＞0，则a+2ab+4aca+b+4c的最大值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】2．【分析】根据a、b、c均为正数，证出2ab≤a2+2b，4ac≤a【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以2ab≤a2+2b，当且仅当a2=2又因为a＞0，c＞0，所以4ac≤a2+8c，当且仅当a2=8因此，a+2ab+4当正数a、b、c满足a：b：c＝16：4：1时，a+2ab+4ac故答案为：2．【点评】本题主要考查不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．8．（2024•浙江模拟）若a＞0，b＞0，则min{max(a，b，1【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】不妨设a≥b＞0．分以下三种情况讨论：①a≥b≥32时，由1a2+1b2≤2b2≤b，可得max{a，b，1a2+1③32≥a≥b时，可得max{a，b，1a2+【解答】解：不妨设a≥b＞0．①a≥b≥32时，∵1a2+1b2≤2②a≥32≥b时，∵2a2≤1a2+1b2≤③32≥a≥b时，∵1a2+1b2≥2a综上可知：则min{max(a，故答案为32【点评】熟练掌握不等式的性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．9．（2024•下陆区校级三模）设a，b∈R+，若a+4b＝4，则a+2bab的最小值为22，此时a的值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】22，2．【分析】先利用基本不等式求出ab的范围，然后结合二次函数的性质即可求解．【解答】解：因为a，b∈R+，所以4＝a+4b≥24ab，当且仅当a＝4b＝2，即a＝2，b所以0＜ab≤1，所以1ab+1ab=（1则（a+2bab）2=a+4b+4abab故a+2bab的最小值为故答案为：22，2．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在函数最值求解中的应用，属于中档题．10．（2024•平罗县校级模拟）已知m，n∈（0，+∞），1m+n=4，则m+9n的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】4．【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为m，n∈（0，+∞），1m则m+9n=14（m+9n）（1m+n）=14（当且仅当mn＝3时取等号．故答案为：4．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

考点卡片1．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．3．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．4．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=x用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．5．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式