2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.A={x|x2−5x+6≤0}，B={x|−1≤x<3}，则A∩B=A.{x|−1≤x<3} B.{x|−1≤x≤3} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3}2.函数f(x)=2x+xA.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)3.设函数f(x)=a−1ax−1+b(a>0,a≠1)，则函数A.与a有关，且与b有关 B.与a无关，且与b有关

C.与a有关，且与b无关 D.与a无关，且与b无关4.已知等差数列{an}，则k=2是a1+A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要5.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则下列说法中正确的是(

)A.l//α B.α⊥β

C.若α∩β=a，则a//l D.l⊥β6.已知e1,e2是单位向量，且它们的夹角是60°.若a=e1A.2 B.−2 C.2或−3 D.3或−27.函数f(x)=5sinxe|x|+xcosx在[−2π,2π]A. B.

C. D.8.设实数x，y满足x>32，y>3，不等式k(2x−3)(y−3)≤8x3+yA.12 B.24 C.23 二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z1，z2，则下列结论正确的有(

)A.z12=z1−2 B.10.已知f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)+g(1−x)=a(a≠0)，g(1+x)=g(1−x)，若f(x+2)为奇函数，则(

)A.g(x)关于x=1对称 B.g(x)为奇函数

C.f(2)=0 D.f(x)为偶函数11.已知O为坐标原点，曲线Γ：(x2+y2)2=ay(3x2A.曲线Γ关于y轴对称 B.曲线Γ的图象具有3条对称轴

C.y0∈[−a,916a]三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin2B−c2sin2A=asinAcosC.则角B=13.镇海中学举办大观红楼知识竞赛，该比赛为擂台赛，挑战者向守擂者提出挑战，两人轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是12，每次答题互相独立，则挑战者最终获胜的概率为______．14.在四面体P−ABC中，BP⊥PC，∠BAC=60°，若BC=2，则四面体P−ABC体积的最大值是______，它的外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(b−a,c),n=(sinB−sinC,sinA+sinB)，且m//n．

(1)求A；

(2)若△ABC的外接圆半径为2，且cosBcosC=−16.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1=3，Tn2=ann+1，数列{bn}满足b17.某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案.方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为p1；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为p2，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤.已知0<p2<p1<1，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费分别为X，Y(元)．

(1)求X，Y的分布列；

(2)求E(X)；

(3)若18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，经过点F1且倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l与椭圆交于A、B两点(其中点A在x轴上方)，△ABF2的周长为8．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AF1F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BF1F2)互相垂直．

①19.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：y=f(x)上的曲线段AB，其弧长为△s，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K−=|ΔθΔs|为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即△s越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=Δs→0lim|ΔθΔs|=|y″|(1+y′2)32(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中y′，y″分别表示y=f(x)在点A处的一阶、二阶导数)

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

(2)求椭圆x24+

参考答案1.C

2.B

3.D

4.B

5.AC

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.π313.1314.33

15.解：(1)由已知m//n，即c(sinB−sinC)−(b−a)(sinA+sinB)=0，

由正弦定理得c(b−c)−(b−a)(a+b)=0，即bc−c2+a2−b2=0，

整理得b2+c2−a2=bc，即cosA=b2+c2−a22bc=12，

又A∈(0,π)，

故A=π3；

(2)因为A=π3，

所以16.解：(1)由Tn2=ann+1得，当n≥2时，Tn−12=an−1n，

两式相除得，an2=ann+1an−1n，即ann−1=an−1n，

两边取对数得，(n−1)lgan=nlgan−1，

所以lgann=lgan−1n−1，

所以数列{lgann}是常数列，

所以lgann=lga11=lg31=lg3，

所以lgan17.解：(1)X可取值10，20，30，…，Y可取值10，20，…，1000，

当X=k时，抽卡次数为k10，每次没有抽中新皮肤的概率为1−p1，

故P(X=k)=(1−p1)k10−1p1,k10∈N∗，

P(Y=k)=(1−p2)k10−1p2,k10∈N∗(1−p2)99,k=1000．

(2)令A=t=1nt(1−p1)t−1，

则(1−p1)A=t=1nt(1−p1)t，

故p1A=1+(1−p1)+(1−p1)2+⋯+(1−p1)n−1−n(1−p1)n，

整理得到p1A=1−(1−p1)np1−n(1−p1)n，

所以A=1−(1−p118.解：(1)由椭圆定义得：

||AF1||+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，

∴△ABF2的周长L=4a=8，∴a=2，

∵椭圆离心率e=ca=12，∴c=1，b=a2−c2=3，

由题意椭圆焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为x24+y23=1．

(2)①由直线l：y−0=3(x+1)与x24+y23=1联立，得A(0,3)，

∵点A在x轴上，B(−85,−335)，|AF1|=2，|BF1|=65，

∴三棱锥A−BF1F2的体积为V=13×12×|BF1|×|F1F2|×sin120°×|AF1|×sin60°=35．

②∵|A′F2|+|B′F1|+|A′B′|=152，|AF2|+|BF2|+|AB|=8，

∴|AB|−|A′B′|=12，

以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则F1(0,−1,0)，A(0,0,3)，F2(0,1,0)，

F1A=(0,1,3)，BF2=(−335,135,0)，

记异面直线AF119.解：(1)由题意知，单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率为K−=|ΔθΔs|=π3π3=