2019年全国高中数学联赛浙江省预赛及解析

2019年全国高中数学联赛浙江省预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、填空题1.如图所示，将长度为1的线段分为x、y两段，再将长度为x的线段弯成半圆周ACB，将长度为y的线段折成矩形ABDE的三条边(BD、DE、EA)，构成闭“曲边形”ACBDEA，则该曲边形面积的最大值为____________.2.已知集合A={k+1，k+2，…，k+n}，k、n为正整数，若集合A中所有元素之和为2019，则当n取最大值时，集合A=________.3.设，则的最大值为_____4.设三条不同的直线：，，，则它们相交于一点的充分必要条件为____________.5.如图，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=2.在AC边上取一点D(不含A、C)，将△ABD沿线段BD折起，得到△PBD.当平面PBD垂直平面ABC时，则P到平面ABC距离的最大值为____________.6.如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______7.设，定义，，则____________.8.设为复数，且满足(其中i为虚数单位)，则取值为____________.9.设，数列{xn}满足.若1≤x7≤2，则x8的取值范围为____________.10.在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________.评卷人得分二、解答题11.如图，椭圆，抛物线，设相交于A、B两点，O为坐标原点.（1）若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值；（2）若△ABO的外接圆经过点，求实数p的值.12.设，(为常数).若，证明：.13.设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足或成立.

参考答案1.【解析】1.记圆的半径为r，矩形的宽为h，则有，所以曲边形的面积为.因此，当时，.故答案为：．2.{334，335，336，337，338，339}【解析】2.由已知.当n=2m时，得到；当n=2m+1时，得到.所以n的最大值为6，此时集合.故答案为：．3.【解析】3.令，则，则原式可化为，根据函数单调性即可求出最大值.令，则因为，所以原式可化为，因为函数在上是增函数，所以当时，.4.【解析】4.设c=a+b+1，设三条直线相交于点(x，y)，则有，三式相加可得：，即：，据此有：，则：.反之，当时，方程组有解，即三条直线相交于一点.故答案为：．5.2【解析】5.在△ABC中，因为AB=BC=2，∠ABC=120°，所以.由余弦定理可得.设AD=x，则.在△ABD中，由余弦定理可得.在△PBD中，PD=AD=x，PB=BA=2，∠BPD=30°.设P到平面ABC的距离为d，则，解得，由得.故答案为：2．6.【解析】6.取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）,求出端点G,H对应的即可求解.取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.7.【解析】7.由已知，以此类推，.故答案为：．8.【解析】8.由，设，由得，于是，.故答案为：．9.【解析】9.根据已知条件，用表示出，结合的范围，利用线性规划即可求得目标式的范围.由已知得，，因为，所以，结合，在坐标下所围成的线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为，，所以目标函数在点处取得最小值，在点处取得最大值，.故答案为：．10.39200【解析】10.易知的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B和顶点C，设AB弧有x段小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，则△ABC为锐角三角形的等价条件为：①计算方程组①的整数解个数，记，，，，则.由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为.故答案为：39200．11.（1）；（2）3【解析】11.(1)由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，△AB的外心为椭圆的上顶点M(0，1).则有MA=MB=MO=1.设，则有，解得.(2)因为O、A、N、B四点共圆，设AB与y轴相交于，由相交弦定理得AC•CB=CN•CO，即，解得①代入，解得.②将①、②代入椭圆方程得，解得p=3.12.证明见解析【解析】12.记，则有.由已知(因为)，即.13.证明见解析【解析】13.记|S1|=r，称包含r个元素的反链为最大反链，最大反链可能不唯一称F的子集P为链，如果之一成立.我们证明结论：F可以拆分为r个链的并(即Dilworth定理).对t进行归纳证明.t=1时显然成立.设命题对t－1成立，先假设存在一个最大反链S，使得F中既有集合真包含S中的某个集合，也有集合是S中的某个集合的真子集.记前者的全体为F1，后者的全体为F2，即包含S中的某个集合，是S中的某个集合的子集，则均是F的真子集，从而由归纳假设可将都可以拆成r个链的并.中的链以S中的元素开始，中的链以S中的元素结束.将这些链“接”起来就将F分成了r条链.现在假设不存在这样的反链，从而每个最大反链要么满足，要么满足.前者意味着S中的子集都是“极大”子集(不是另一个Ai的真子集)，后者意味着S中的子集都是“极小”子集(不真包含另一个Ai)，从而至多有两个最大反链.如果极大子集构成的反链和极小子集构成的反链均为最大反链，则任取极大子集A，以及极小子集，将A、B都去掉用归纳假设将剩下的集合拆分成r－1条链，再加上链即可如