高考数学立体几何知识精练题库100题含答案解析

高考数学立体几何知识精练题库100题含答案

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一、单选题

1.若直线4，，2的方向向量分别为碗=（2,-1,T），M=（1,1,1）»则这两条直线（）

A.平行B.垂直C.异面垂直D.垂直相交

2.A,8是不同的两点，8是不同的两个平面，/是直线，下列推理错误的是

A.Ael,Awa,Bel,Beanlua

B.Aea,Aefl,Bea,Bwp=ac0=AB

C.laa,Aw/nA/a

D.Ael,/ua=Aea

3.如图所示直三棱柱ABC-OEE容器中，A8=8C且A8_LBC,把容器装满水（容器厚

度忽略不计），将底面8C/E平放在桌面上，放水过程中当水面高度为A8的一半时，剩

余水量与原来水量之比的比值为（）

4.某几何体的三视图如图所示（单位：切?）,则该几何体的体积（单位：0〃3）是（）

俯视图

A.6B.2C.12D.3

5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三

视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）

主”图左改由

箫次用

A.4+2及B.2C.4+4及D.6+4及

6.已知圆柱。。中，点A,B,C为底面圆周上的三点，CO为圆柱的母线，AC=2,

ZACB=60°,则点A到平面5CD的距离为（）

A.73B.1C.3D.立

24

7.正方体AC中，E、F为AB、BiB中点，则AiE、GF所成的角的正弦值为（）

8.已知m、n是不重合的直线，口、0是不重合的平面，有下列命题：①若mUa,n〃a,

则01〃11；②若m〃a,m〃p,则a〃。；③若anp=n,m〃n,则m〃a且m〃仇④若

m_La,m_L0,则a〃0.其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

9.在正方体A8C0-44。。/中，直线/（与直线8由不重合）_L平面4/。，则（）

A.BiBAJ

B.BiB//l

C.B/B与/异面但不垂直

D.84与/相交但不垂直

10.在空间四边形0ABe中，OA=a^OB=by反=2,且丽7=2砺，则祈？=（）

1-2--

A.-a—b+c

33

1.2r-

C.-a-^—b-c

试卷第2页，共25页

11.某几何体的主视图和左视图如图所示，则它的俯视图不可能是（)

12.如图，在三棱锥产一ABC中，已知?A=P8=gAC=夜，AB=BC=2,平面PA3_L

平面43C,则异面直线PC与48所成角的余弦值为（）

A.亚B.叵C.@D.&

6333

13.如图，在三棱锥产一4BC中，点D,E分别为棱P8,BC的中点.若点尸在线段AC

B

A.1B.2C.gD.1

14.某球中内接一个圆柱，其俯视图如图所示，为两个同心圆，半径之比为1:2,则该

圆柱与球的体积的比值为（）

15.高为九〃（m<〃）的两圆柱体积分别为和以其侧面面积相等，则必〃与V〃的

大小关系是（）

A.匕〉匕R,匕=匕C.Vm<VnD.不确定

16.已知机，〃是两条不同直线，a,4是两个不同平面且。0夕=/,则下列命题正确

的（）

A.若加，〃为异面直线且向/a,n//p,则/与机，〃都相交

B.若m,〃为共面直线且n//P,则/与加，〃都相交

C.若〃〃1广且a_L/,则/与m,〃都垂直

D.若，〃_La,n10,贝ij/与M,〃都垂直

17.已知某柱体的三视图如图所示，则该柱体的表面积是（〕

俯视图

试卷第4页，共25页

A.14+4拉B.10+8&C.6+12^D.2+16&

18.在直棱柱ABC。-A5G0中，底面A8CO为正方形，E为底面正方形对角线的交

点，A8=4,M=4血，尸为棱CG的中点，则下列说法不正确的是（）

A.BD_L平面PCEB.BD工PE

C.cosZBPD=V2D.同。=8

19.下列命题中正确的个数是（）

①两条直线。，匕没有公共点，那么。，力是异面直线

②若直线/上有无数个点不在平面a内，则〃3

③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

④若直线/与平面。平行，则直线/与平面。内的任意一条直线都没有公共点

A.0B.1C.2D.3

20.在矩形A8CQ中，AB=2BC=2,E是。。的中点，将zJJCE沿翻折，当ABCE

翻折到的位置时，连接相，DP,如图所示，设45的中点为尸，当尸尸=；时，

二面角人一跳:一夕的余弦值为（）

A,三-------j-----

3n3

A.gB.|C.-D.-

45

21.在长方体A8CO-A8IC0|中，AB=BC=\照=2,则异面直线AA与所成

角的余弦值为

A.叵B.@C.1D,正

10654

22.在直三棱柱ABC-AMG中，AB=AC=AA}=1,ABJ_AC,点E为棱4%的中点，

则点G到平面BgC的距离等于

A.；B.也C.迈D.1

223

23.如图，在正方体A8CO—A4G。中，M,N分别为AC,的中点，则下列说

法错误的是（）

A.MN〃平面BCC、耳

B.直线MN与平面A5CO所成角为70

C.MN上AB,

D.MN与QR为异面直线

24.三棱柱ABC—A向。中，AABC为等边三角形，AA△平面ABC,AA/=AB,M,

N分别是48/,4/。的中点，则8例与4V所成角的余弦值为()

A.—B.-C.—D.-

105105

25.一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积

为

A.8+4y/3B.12+46

C.8+8石D.18+86

26.已知用，〃为两条不同的直线，。，夕，/为三个不同的平面，下列命题正确的是

()

①若m//a,3甲,则m//£；

②若aC\y=m,户07=〃，则〃?〃〃；

③若〃_La,mua,则〃?J_〃；

④若直线机用与平面a内的无数条直线垂直，则根_La.

A.①②B.(2X3)C.①③D.②④

27.在长方体A8CO-A8CQ中，AB=BC=2,。为底面矩形43CD两条对角线的交

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点，若异面直线与8C所成的角为60°，则长方体ABC。-A4GA的体积为（）

A-4&B.4>/3C.8&D.873

28.如图，梯形A8CO为直角梯形，AD//BC,AD=AB=\fADLAB,ZBCD=45°,

将△A8O沿3D折起，使点A到点P的位置，得到三棱锥尸-88,其中点尸在底面BCQ

上的射影“在△BCD的内部.记直线PO与直线AB所成的角为a,直线尸力与平面BCD

所成的角为夕，二面角2-3D-C的平面角为7,则（）

C.a<y<pD.a<P<y

29.在放△ARC中，C=90,CA=«,CB=百,CO是斜边的高线，现将AC。沿O折起,

使平面ACDJ_平面8C。，则折叠后48的长度为（）

A.2B.73C.75D.3

30.已知直线〃?、〃，平面a、P,给出下列命题：

①若ml.a,nLfl,且则a_L/7；

②若mlla»n//p,且m//n,则a//J3；

③若"?_La,n//P,且m!M,则aJ■尸：

④若w±a,n//。,且mlln»则a"B.

其中正确的命题是（）

A.①③B.®@C.③®D.①④

31.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.3万+4>/5B.3乃+8C.24+8D.2万+46

32.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此

几何体的表面积为

A.25B.24C.23D.22

33.将正方形ABCO沿对角线5。翻折，使平面AM与平面BCD的夹角为90，如下四

个结论错误的是（）

A.AC±BD

B.△ACO是等边三角形

C.直线A8与平面BCD所成的角为?

D.48与8所成的角力?

34.过三棱柱ABC—AIBIG的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBIAI平行的

直线共有（）条.

A.2B.4C.6D.8

35.如图，锐二面角8//的棱上有4,B两点,直线AC,5。分别在这个二面角的两个

半平面内，且都垂直于A氏已知48=4,AC=BD=6,CD=8,则锐二面角a-//的平面

角的余弦值是（

36.已知如图，六棱锥尸-ABCD四的底面是正六边形，平面ABCDEE则下列结

论不正确的是（）

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p

A.CD〃平面RA尸B.。尸_L平面Q4/C.CF〃平面RIBD.CF_L平面

PAD

37.如图所示,在平行六面体A8CO-AB'C'£>'中八8=1,AD=2,A4'=3,ZBCD=90°,

的A'=Nm4'=60°,则AC的长为（）

A.Vl3B.V23C.733D.V43

38.如图所示，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过

这三点的平面为a,则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面a

平行的直线有（）

A.0条B.1条

C.2条D.3条

39.下列命题中，真命题的个数是.

①已知dbwR,贝上2”是“。>0且b<0”的充分不必要条件；

ab

②“冲=1”是“但工+电），=0”的必要不充分条件；

③已知两个平面。，B,若两条异面直线机，〃满足mua,且加||尸，〃||a,

则a〃尸;

④现£（9,0）,使3%<4。成立.

A.0B.1C.2D.3

40.MBC的三个内角Z,£,C的对边分别为巴瓦C,已知sin8=l,向量亍=（&b）,

£=（1,2）,若丁〃屋，则角A的大小为

Hc丸八亢c2刑

A.—B.—C.—D.——

6323

41.在三棱锥尸—A8c中，A3_13cA8=3C=gpA点。,。分别是ACPC的中点，

OP_L底面ABC,则直线。。与平面P8C所成角的正弦值为（）

AaTR8石「同n同

636030

42.图1是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

主视图侧视图

俯视图

A.（2+石）乃B.4打

C.（2+2&WD.6兀

43.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的

直径（。）的立方成正比“，此即V=S3欧几里得未给出女的值."世纪口本数学家

们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式丫=必3中的常数々称为“立圆率”或

“玉积率类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式

^=的求体积（在等边圆柱中，。表示底面圆的直径；在正方体中，O表示棱长）.假

设运用此体积公式求得球（直径为〃）、等边圆柱（底面圆的直径为。）、正方体（棱长

为a）的“玉积率”分别为人、k2、k3t那么匕：&:《

A.1.L1B.

46%

试卷第10页，共25页

C.2:3:2乃D.-7-:—:1

64

44.如图，在长方形ABC。中，A8=2,BC=1,E为OC的中点，尸为线段EC上（端

点除外）一动点，现将△A尸。沿A尸折起，使平面A3D_L平面A6O在平面A3。内过点

。作。K_LA8,K为垂足，设4K=f,则f的取值范围是（

45.如图，单位正方体ABCD-A与GR的对角面83QO上存在一动点尸，过点尸作垂

直于平面的直线，与正方体表面相交于M、N两点.则△8MV的面积最大值

A-TB—C笔D-T

46.已知三棱锥P-48C的所有顶点都在球。的球面上，AABC满足45=2,

ZACB=90°,%为球。的直径且匕1=4,则点尸到底面A8C的距离为（）

A.72B.272C.6D.26

二、填空题

47.已知直线6的一个方向向量为彳=（1,-1,2）,直线4的一个方向向量为勾=（3,-3,0）,

则两直线所成角的余弦值为.

48.若两条直线〃和b没有公共点，则。与b的位置关系是（从“平行，相交,

异面”中选）

49.从正方体48。。-4隹0。1的8个顶点中任意选择3个点，记这3个点确定的平面为

。，则垂直于直线力G的平面。的个数为

50.已知阳，〃表示两条不同的直线，a,夕表示两个不同的平面，则下列四个命题中,

所有正确命题的序号为—.

①若加_L〃，nua,则J_a；②若。〃£,nua,则〃

③若〃?_La,利||夕，则尸;④若m//a,,nua,则〃?.

51.直三棱柱ABC-A妫0,/BCA=90。，M、N分别是A与、CC,的中点，BC=C4=CC,,

则BM与AN所成的角的正弦值为.

52.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上，则球。的体积为

53.若平面a的法向量”=（-1,0,1）,直线/的方向向量为1=（0,L1）,贝卜与a所成角的

大小为.

54.唐狩猎纹高足银杯如图1所示，银杯经锤操成型，圆唇侈口，直壁深腹，腹下部略

收，下承外撇高足.纹样则采用堑刻工艺，鱼子地纹，杯腹上部饰一道凸弦纹，下部阴

刻一道弦纹，高足中部有“算盘珠”式节.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的

组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R,酒杯

内壁表面积为q；rR2.设酒杯上面部分（圆柱）的体积为匕，下面部分（半球）的体积

为匕，则5的值是__________.

图1

55.如图所示，在正方体ABCO-AMCQ中，AB=4,M,N分别为棱AR,4用的中

点，过点8的平面平面AA/N,则平面a截该正方体所得截面的面积为.

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56.如图，/%_1_圆。所在的平面，A8是圆0的直径，C是圆。上的一点，E,尸分别

是A在尸8,PC上的射影，给出下列结论：

①A尸_L尸8；②£;」尸8：③八尸_LBC；④AEJ_平面P8C.

其中正确结论的序号是.

57.设A(12-1),8(2,-3,1)在Mh平面上的射影分别为A出，则线段4M的长为

58.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABC。-AqGA的顶点A出

发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是

A41TAA-…，黄"电子狗”爬行的路线是AB-Bgf…，它们都遵循如下规则：所

爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完

2008段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”

间的距离是.

59.如图，在空间直角坐标系中，有一极长为2的正方体ABC。一AGGA，A。的中点

七到AB的中点尸的距离为.

60.如下图所示，将平面四边形ABCD折成空间四边形，当平面四边形满足条件

时，空间四边形中的两条对角线互相垂直（填一个正确答案就

可以，不必考虑所有可能情形）

61.正三角形A8C的边长为2力,将它沿高AO翻折,使二面角3-AD-C的大小为?，

则四面体ABC。的外接球的体积为

62.如图，在长方体中，AB=\,BC=y/3iCC.=—,动点/在棱CG

2

上，连接MAW,则MR+MA的最小值为一.

63.如图所示，在三棱柱ABC-AqG中，E,尸分别是BB-C&上靠近点8,C的三

4P

等分点，在AG上确定一点尸，使平面尸所〃平面ABC,则标

rcl

试卷第14页，共25页

AiCi

Bi

64.以下命题：

①在平面内的一条直线，如果和这个平面的•条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂

直；

②已知平面夕的法向量分别为口D,则a_L4=iZ国=0；

③两条异面直线所成的角为。，M0<^<|；

④直线与平面所成的角为。，则

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）.

65.在直三棱柱ABC-A瓦G中，。为AC的中点，ACJ.平面DBC,AB=BC=AAif

则异面直线A。与5c所成角的正切值为.

66.设直线a与b是异面直线，直线c〃。，则直线b与直线c的位置关系是.

67.如图在梯形ABC。中，AB//CD,AB=4,AD=CD=2,将该图形沿

对角线4c折成图中的三棱锥8-ACO,且80=2石，则此三棱锥外接球的体积为

68.已知直三棱柱ABC-A4c中，ZAfiC=120°,AB=BC=2,CC,=1,则异面直

线A旦，与3G所成角的余弦值为.

69.在空间直角坐标系中，定义；平面。的一般方程为

Ax+By+Cz+D=0（AB,C,DwR,4+出十工0）,点「伉,％,z0）到平面a的距离

d=""Czo：D|,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心0到侧面

的距离等于.

70.在校长为2的正方体ABC。-A,4GA中，已知点P为棱AA,的中点，点。为棱C。

上一动点，底面正方形48co店的点M始终在平面。/。上，则由所有满足条件的点M

构成的区域的面积为.

71.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四

棱锥的外接球的表面积等于.

72.己知NAC8=90。，P为平面48C外一点，PC=石，点P到ZAC8两边AC,BC

的距离均为2,那么P到平面ABC的距离为.

73.如图，在正方体ABCO—A4GA中，E,F,G分别是棱A4，的中

点，则下列结论中：

①FG_L8D；②瓦。_1面后柘；

③面EFG〃面4CC、A；@EFH面CDDtCt.

正确结论的序号是.

74.如图，在四棱锥尸-ABCZ）申，平面QADJL平面A8CO,△/<!£）是边长为4的等边

三角形，四边形A8CD是等腰梯形，AB=AD=^BC,则四棱锥尸-ABC。外接球的表

面积是.

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75.如图，在四面体48co中，AB=CD=AC=BD=5,AD=BC=3上,E、尸分别

是AO、8c的中点.若用一个与直线放垂直，且与四面体的每个面都相交的平面。去截

该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有.

①EF_LAO,EF±BC

②四面体外接球的表面积为344.

③异面直线AC与8。所成角的正弦值为:

④多边形截面面积的最大值为弓.

76.在AABC中，。为A8的中点,AC=28=4,AABC的面积为6,BE_LCD且BE交CO

于点E,将AfiCD沿C。翻折,翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值取值范围是

三、解答题

77.如图,在正三棱柱ABC-A/BQ中，。为A8的中点,E为棱38/上一点，且AErAiC.

(1)证明：4E_L平面4/CD

(2)若A8=2,A4/=3,求三棱锥E-4/3。的体积.

78.在平行六面体ABCO-AAGA中，AB=\,AD=2,AA,=3,ZBAD=90°,

ZB/L4,=ZD/L4,=60。.若福=£,而二叫羽=2.

(2)求向量4G的长度.

79.在等腰梯形4BCD中，AB//CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E为8中点，将ABCE

沿着BE折起，点C变成点R比时PC=#.

(1)求证：AD1PC,

(2)求直线PO与平面P8C所成角的正弦值.

80.如图，在四棱锥尸-A8CO中，平面ABCD±平面PCD,底面ABCD为梯形，AB//CD,

试卷第18页，共25页

AD±DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,ZPDC=120°.

⑴求证：4)_L平面PCD；

(2)求平面E4。与平面PBC夹角的余弦值：

(3)设M是棱PA的中点，在棱8c上是否存在一点尸，使MF//PC?若存在，请确定点F

的位置；若不存在，请说明理由.

81.已知直二面角。一，一夕的棱上有4,8两个点，ACua,AC人I,BDu0,BD上I,若

AB=5,AC=3,BD=8,求CO的长.

82.己知平行四边形ABC。，AB=4,AD=2,NDAB=60°,E为Ab的中点，把三

角形4OE沿OE折起至AOE位置，使得4。=4,尸是线段A。的中点.

(1)求证：〃面AOE；

(2)求证：面AOE，面OE3C：

(3)求四棱锥A-。殖。的体积.

83.如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABCQ是矩形，24_L面ABCD,E4=AB=1,

AD=6点尸是/归的中点，点E在边8c上移动.

(1)点七为8c的中点时，试判断跖与平面PAC的位置关系，并说明理由.

(2)证明:无论点E在边的何处，都有依J_A尸.

(3)当8E等于何值时，E4与平面尸力£1所成角的大小为45。.

p

B

D

84.如图，48co是边长为3的正方形，平面A£>EFJ_平面ABCQ,AF//DE^ADIDE,

AF=?R,DE=3戈.

(1)求证：面ACE_LlffBE。；

(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；

(3)在线段所上是否存在点使得平面M3E与平面8EO的夹角的大小为60。？若存

在，求出驾的值；若不存在，请说明理由.

AF

85.如图，在空间四面体ABCO中，AOJ•平面48C,AB=BC=也4C,且4£>+8C=6.

2

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D

(1)证明:平面Am5_L平面BCD；

(2)求四面体ABCD体积的最大值，并求此时二面角的余弦值.

86.如图甲，四边形A8CD中，E是8C的中点,

。8=2,。。=1,8。=逐,人8=4>=&.将(图甲)沿直线8。折起，使二面角人一瓦)一(7

为60(如图乙).

(1)求证：AE_L平面BOC

(2)求点B到平面ACD的距离.

87.如图①，已知等边三角形小〃C的边长为3,点A/,N分别是边AB,AC上的点，且

BM=2MA,AN=2NC.如图②，将AAMN沿MN折起到△A'MN的位置.

①②

(I)求证：平面A'3M_L平面BCMW；

(2)若二面角的大小为60。，求平面A8M与平面A'CN所成锐二面角的余弦

值.

88.如图，四棱柱中，底面45CD和侧面水丫;罔都是矩形，E是8的

中点，D,EYCD.

主视图

MH

(1)求证：REJ•底面ABC。；

⑵在所给方格纸中(方格纸中每个小正方形的边长为1),将四棱柱ABCO-AMGA的

三视图补充完整，并根据三视图，求出三棱锥B-ORE的体积.

89.如图1,有一个边长为4的正六边形4BCDE/，将四边形AO所沿着A。翻折到四

边形AOG”的位置，连接8”，CG,形成的多面体A8CDG”如图2所示.

(1)证明：AD1BH.

Q)若BH=2娓,且召0=2丽，求三棱锥的体积.

90.如图，在三棱锥P—A8C中，/CBA=JAB=^BC=4,RE分别为线段AB,BC

的中点，PDLACiPELBC.

试卷第22页，共25页

（1）求证：CD_L平面RS：

（2）若广为RA上的点，且尸尸=2£4,3忆_陛-=疯］，求点P平面A8C的距离.

M是棱AC的中点.

B

（I）求证：〃平面3GM；

(II)设AB=2,用=6,求点A到平面8GM的距离.

92.如图，四棱锥P-ABC。中，PA_L平面ABQ9,AD//BC,ABLAD,BC=—,

3

AB=1,BD=PA=2.

（1）求异面直线50与PC所成角的余弦值;

（2）求二面角4-尸D-C的余弦值.

93.如图，正三棱柱A8C-A8£的所有棱长都是2,D,E分别是AC,CG的中点.

(1)求证：平面A£B_L平面A8。；

(2)求二面角BE-A的余弦值.

94.如图，在长方体AB8—ABCA中，AO=AA=1,AB=2,E为A8的中点.

(1)证明：^ElA.D.

(2)求点E到平面ACR的距离;

(3)求二面角C-七的平面角的余弦值.

95.如图，已知三棱柱A8C-4用G，侧面BCCM，底面45C.

(1)若知,V分别是48,4。的中点，求证：MN//平面8CCM：

(H)若三棱柱ABC-A用G的各棱长均为2,侧棱8片与底面ABC所成的角为60。，问在

线段4G上是否存在一点尸，使得平面8CP1平面ACGA?若存在，求G尸与PA的比

值，若不存在，说明理由.

试卷第24页，共25页

4

B\G

96.如图所示，四棱锥P-ABC。中，A8C£＞为正方形，E4_L4)E,F,G分别是线段

PAhD8的中点.求证：

(1)BC〃平面EFG；

(2)平面及'G_1_平面34g.

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.

【详解】

因为万/i=2xl+（T）xl+（T）xl=0,所以而J./所以《工儿

故选：B.

2.C

【解析】

【详解】

试题分析：A为公理一，判断线在面内的依据，故正确；B为公理二，判断两条平面相交的

依据，正确；c中分两种情况：［与a相交或/〃a，1与a相交时，若交点为则

C错误；D中直线在面内，则直线上所有点都在面内，故结论正确.故选C.

考点：空间中点、线、面的位置关系.

3.A

【解析】

【分析】

根据柱体体积计算公式分析即可得答案.

【详解】

如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的!，

4

故放出水量是原来水量的1;，剩余水量是原来水量的3:.

44

故选：A.

4.A

答案第1页，共78页

【解析】

直接利用三视图的还原图求出几何体的体积.

【详解】

根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱，如图所示:

故该几何体的体积为V=l(l+2).2.2=6.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查三视图和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5.D

【解析】

【分析】

根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积

公式求出几何体的表面积.

【详解】

解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC-A'B'C,

底面是一个直角三角形，两条直角边分别是拉、斜边是2,

且侧棱与底面垂直，侧棱长是2,

几何体的表面积S=2x,x2xl+2x2+2x2xx/i=6+4&,

2

故选D.

【点睛】

本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象

能力.

答案第2页，共78页

6.A

【解析】

【分析】

由圆柱母线的性质易得CO_L平面A8C,过点A作AEJ_8C,根据面面垂直的判定及性质可

知AE为点A到平面BCD的距离，由sin/ACB=F结合已知，即可求4E.

AC

【详解】

如图所示，由题意知：CO_L平面ABC,COu平面BCD,

工平面38_L平面A8C,又面8cofl面48c=8C,

J过点A作AE_LBC,则AE_L平面BCO,即AE为点A到平面BCD的距离，

在△ABC中，sinZACB=—,故AE=4CsinZACB=2xsin6()o=>/5,

AC

故选：A

B

7.B

【解析】

【分析】

以D为坐标原点，分别以DA,DC,DDi所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设

正方体棱长为2,分别求出昭与印的坐标，利用数量积求夹角公式求解.

【详解】

如图所示,

答案第3页，共78页

以D为坐标原点，分别以DA,DC,DDi所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设正方体棱长为2,jilljAi(2,0,2),E(2,1,0),C>(0,2,2),F(2,2,I),

则解=(O,L-2),C^=(2,0,-l),

=

・・.COS<A,BC.E>=丽鬲=不看?.

AAiE.GF所成的角的正弦值为Jl-gf=筌.

故选B.

【点睛】

本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，准确计算是关键，是中档题.

8.B

【解析】

【分析】

根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定，需要寻找特例，进行排除即

可.

【详解】

①若mua,n〃a,则m与n平行或异面，故不正确；

②若0)〃0(,m〃p,则a与0可能相交或平行，故不正确；

③若anB=n,m〃n,则m〃a且m〃p,m也可能在平面内，故不正确；

④若m_La,m±p,则a〃d垂直与同一直线的两平面平行，故正确，

故选B.

本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理

公理综合运用能力的考查，属中档题.

9.B

【解析】

【分析】

根据两条直线同时垂直于同一平面，则两直线平行的定理，直接选择正确选项即可

【详解】

答案第4页，共78页

BiG

因为B/B_L平面A/G,又因为LL平面4。，所以，l〃BB故选：B

10.A

【解析】

利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】

->->f2T

AM=2MB,:.AM=-AB.

3

TTTT(T2T2-*、

,MC=OC-OM=OC-iOA+-I=oc-I0A+OB--OA\

1->2TT1-*2

=——OA——OB+OC=——a——b+c.

3333

故选:A.

11.D

【解析】

【分析】

直接直观想象举出可能满足条件的几何体即可.

答案第5页，共78页

【详解】

对A,此时该几何休为圆锥，满足.

对B,此时该几何体为正四棱锥.满足.

对C,此时该几何体为正四棱锥的一半.满足.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了直观想象能力与三视图的辨析.属于基础题型.

12.A

【解析】

【分析】

取A8的中点为O,连接尸。，证明平面ABC,A8JL8C,然后建立空间直角坐标系,

利用向量求解即可.

【详解】

取A8的中点为O,连接PD

因为口4=尸8，所以?

因为平面R48_L平面ABC,平面尸A8c平面ABC=A5,尸Du平面

所以PD_L平面ABC

因为PA=PB」AC=g,AB=BC=2

2

所以A8_L8C

如图建立空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),P(0,l,l),C(2,0,0)

所以福=(0,-2,0),定二(2,-1,-1)

答案第6页，共78页

所以异面直线PC与A8所成角的余弦值为^^驾二金二半

2-V66

故选：A

13.C

【解析】

【分析】

连接。。，交PE于G,连接尸G,由4)〃平面PE产，得到AZV/FG,由点。，E分别为

梭PB,BC的中点，得到G是APBC的重心，由此能求出结果.

【详解】

解：连接C。，交PE于G,连接尸G,如图，

♦.A力〃平面尸所，平面ADCn平面尸跖=杨，

/.AD//FG,

•••点Q,E分别为棱阳，8c的中点.

「.G是△ABC的重心，

,AFDG\

,~FC=~GC=2"

故选：C.

14.B

【解析】

【分析】

根据球和圆柱的半径求出球心到圆柱底面的距离，从而得出圆柱的高，再由圆柱的体积公式

以及球的体积公式求解即可.

答案第7页，共78页

【详解】

设该圆柱和球的半径分别为几R，贝麻-2〃

球心到圆柱底面的距离为廨彳=百厂，即该圆柱的高为2br

则该圆柱与球的体积的比值为仃2.26r：g万（2,）3=3万:16

故选：B

【点睛】

本题主要考查了圆柱的体积公式以及球的体积公式，属于基础题.

15.A

【解析】

【分析】

根据体积公式表示底面半径，再由侧面积相等列等式化简得》=\>1,从而可判断.

n

【详解】

设高为〃?,〃（帆V〃）的两圆柱的底面半径分别为〃，小

所以町=K，町/般=匕,

整理得黄=2>1,所以喙〉匕.

・n

故选：A.

16.D

【解析】

ABCD选项，利用正方体的图形举例判断；D选项，利用线面垂直的性质定理判断.

【详解】

如图所示：

答案第8页，共78页

A.若二=平面ABC。，夕=平面BCG&,/=BC,机=所，〃=OR对，不成立，故错误；

B.若。=平面ABC£>,夕=平面成6"，l=BC,巾=AR,〃=。。时，不成立，故错

误；

C.若。=平面ABCD,4=平面BCG瓦，l=BC,m=AD,〃=MG时，不成立，故错误；

D.若m_La,lua,则mkl,同理〃_!_/,故正确；

故选：D

17.A

【解析】

【分析】

由三视图可还原出几何体为直五棱柱，分别求出底面积和侧面积即可得解.

【详解】

由三视图可得该棱柱为直五棱柱，形状如图：

答案第9页，共78页

f

由三视图可知，CD=2,ED=BC=T,EA=AB=五，AA=2f

所以该五棱柱的底面积E=lx2+