高考重难点题型归纳：第29讲 离心率归类训练（解析版）

第29讲离心率14类

【题型一】判断横放竖放求参

【典例分析】

2

已知实数1,见9成等比数列，则圆锥曲线工+9=1的离心率为（）

m

A.述B.2C.巫或2D.也或G

332

【答案】C

【分析】根据L〃?,9成等比数列求得机，再根据离心率计算公式即可求得结果.

【详解】

因为实数1，皿9成等比数列，故可得疗=9,解得帆-3或M--3：

当相=3时，\+y2=i表示焦点在“轴上的椭圆，此时e=月冬

当m二-3时，三+y2=i表示焦点在y轴上的双曲线，此时e=Vi75=2.

m

故选：C.

【变式演练】

1.已知双曲线M:工-上=1（°>0）的离心率为2,则双曲线〃的渐近线方程是（

aa+8

A.y=±5/3xB.y=±-^-xC.y=±3xD.y=±y/2x

【答案】A

【分析】

先由离心率的值求出4的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程

【详解】

因为双曲线的离心率为2,

所以竺5=4,解得。=4,所以双曲线方程为《一£=1,

a412

由工工=0,得尸±限，所以双曲线的渐近线方程为y=±6r,故选：A

412

2.已知曲线C，江+3y2=i的离心率e=6,则实数加值为（）

33

A.6B.-6C.-D.——

22

【答案】D

【分析】

2

由曲线C："a2+3/=1的离心率6=石＞1,得出是双曲线，进而得出/="b=--t由离心率

3m

&=2=居=产/=小弓，即可得出答案.

【详解】

因为曲线Cg2+3y2=]的离心率e=6＞i,

2

所以曲线C：，加+3^=1为双曲线，即团＜0,所以/=!，b=--t

3m

所以离心率e=：=S====解得机=一T，

故选：D.

3.设e是椭圆f+叼2=1（租＞0）的离心率，且ee（0,£|,则实数〃，的取值范围是（）

C.（0,l）U（l,2）D.

【答窠】B

【分析】根据椭圆焦点位置分情况讨论.

x2y2[―＜1

【详解】当椭圆焦点在工轴上时，椭圆方程为7+了=1，即I，解得

蔡、一43

yJC'_.—＞13

当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为『+7即"'「解得:＜小＜1,

薪gJ4

2

综上：诋臣）小目，故选：B.

【题型二】直接法

【典例分析】

椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为（）

4311

A.-B.-C.-D.—

5532

【答案】B

【分析】

根据题意得a+c=M,进而得5c2+2改-3"=0,即5/+2e—3=0,再解方程即可得答案.

【详解】

解：因为椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值为a+c,椭圆的短轴长为2〃

所以根据题意得〃+c=»，

所以两边平方得/++2。。=g=4？_4e2,即5c2+9—3"=0

3

等式两边同除以/得5/+26-3=0,解得e或e=-l（舍）

3

所以椭圆的离心率为不故选：B

【变式演练】

，2

1.已知双曲线力〉°）的右焦点到它的一条渐近线的距离为明且焦距为10,则C的离心

率为（）

A.-B.-C.。D.-

3534

【答案】C

【分析】

根据焦距可得c的值，根据右焦点到渐近线距离可求得b的值，由〃=必了可得。的值，再由e=£即可

a

求解.

【详解】

因为焦距为2c=10,所以c=5,右焦点（5,0）,/+从=25，

双曲线C：4—4.=1渐近线方程为：m-与=0,

a~b~

所以右焦点到它的一条渐近线的距离为d=J：",=中=匕，

所以力=4,〃=后二^=后二不=3,所以离心率e=5=?，故选：C.

2.在平面直角坐标系xQy中，椭圆5+/=l（a>b>0）上存在点P,使得|P用=3|「周，其中九巴分别为

椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（）

【答案】D

【分析】

由已知结合椭圆定义，用。表示出IP不和|尸外|,再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.

【详解】

因点P在椭圆「+营=1上，则|PKI+|P6I=2%又附=3附于是得俨用=，，|明=%

而|P£|-|PK国的居|二勿，当且仅当点尸在椭圆右顶点时取即解得6=£之《，即

22a22

所以，椭圆的离心率取值范围是g，l).故选：D

3.设双曲线氏，-/=l(a>0,b>0)的离心率为e,直线/过点(0力)和双曲线E的一个焦点，若直线/与圆

3+),2=。2相切，则/二()

A3+Q^3+5「>/3+5「3+、5

3322

【答案】D

【分析】

先求得直线八版+。-历=0,由/与圆/+产=。2相切，利用圆心到直线的距离等于半径，化简得出方程

°4一3〃2c2+/=0,结合离心率的定义，得至1」《2-§2=；，即可求解.

【详解】

不妨设直线/右焦点尸9,0),则直线/的方程为±+5=1,即取+cy-儿=0,

cb

由直线/与圆/+产=疗相切，且62=。2一”2,

可得=a，整理得从C?=。2(/+。2),Bp(c2-a2)c2=a2(2c2-a2),

°J：b;2+c¥2

即cJ3a2c2+/=0,可得再一3(£)2+1=0,即(/凸2二:，

aa24

解得/=三且或/=三比，因为e>i,可得《2>1,所以/=止叵.故选：D.

222

【题型三】补连另一焦点利用定义

【典例分析】

已知椭圆C4+工=1(。>6>0)的左，右焦点用工，过原点的宜线/与椭圆。相交于M,N两点.其中

(Tb-

M在第一象限.|MN|=^E］，篇之亭，则椭圆。的离心率的取值范围为()

A.(0,孕

B.(0,A76-2]

D.(旦&1]

C.(0,^-IJ

【答案】D

【分析】：由题设易知四边形6为矩形，可得玛|+2/=0,结合已知条件有

a>\MF2^(^-\)a即可求椭圆。的离心率的取值范围

△=〃2_劝2>0

【详解】：由椭圆的对称性知：IN用=|知人|,而|M玛|+|“用=肛

又|M/V|=|耳同，即四边形加不死为矩形，

所以IMKF+IM用2=82,则2|〃玛|2_4°|屿|+442=”且“在第一象限,整理得

2

\MF2f-2a\MF2\+2b=Qf△=/一切>。

所以F=。7as，又需=需=罂露4即恰(g)a,

…।\MF,\=a-yla2-2h2>(yf3-\)a加1,er

综上，｛「丫",整理得上</二J-2石，

a2>2a2-2c22a2

所以且vewG-l.故选：D.

2

【变式演练】

1.椭圆C:4+g=l(a>b>0)的左右焦点分别为九尸2,直线/：丁=丘与C交于48两点，若区O|=』A8|,

GD2

/BN%=6,当时，c的离心率的最小值为()

」26_

A.6一1B.立C.在D.V5-1

23

【答案】D

【分析】：结合题干条件得到巴人表达出优H=2c-cos。，优回=2c-sin。，利用椭圆定义得到关

系，结合6的范围求出离心率的最小值.

【详解】：连接做，由题知点/、8关于原点对称，|前|=|%|,|/\即=2|04=2°,F2A1F2Bt则

任d=2ccos6,内M=2csin。,又|河川+比同=|%4|+|耳4|=2a,即2c•cos6+2csin6=2a,

e=2sinJosJ后小+：)’由我七目得7M'+扑普告斗所以.=6-1,D

正确.

B

22

2.设椭圆C:]+春"=叱"。）的右焦点为尸，椭圆C上的两点A,8关于原点对你，且满足=

\FB\<\FA\<43\FB\f则椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.惇B.惇g]C.[V3-U）工[注

-zLJL

【答案】B

【分析工设椭圆的左焦点尸'，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圜的定义和勾股定理化简得到

-=再根据|阳引用4阴阳，得到竺的范围，然后利用对勾函数的值域得到4的范围，然后由

nmbna~

e=—=求解.

a\a~

【详解】：如图所示：

设椭圆的左焦点尸、由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，

又FAFB=G，即E4_L阳，所以四边形A产B广为矩形，阴=忻曰=勿,

设|4尸[=〃，|"|=小，在直角“尸中，m+〃=2n,m2+n2=4c2,

zncUmmn2c2人机.12c2

得mn=2b2，所以一+一=——»令一=t,得f+-二——,

nmb~ntb~

X|F^<|M|<73|Ffi|,得：=所以/+；=看£2,羊,

所以1,挛,即4所以《£[〈,4-26

b~5a~2a~2

所以椭圆C的离心率的取值范围为6=一€,75-1,故选：B

3.设椭圆C:4+W=l（。＞6＞0）的左焦点为EO为坐标原点.过点尸且斜率为;的直线与C的一个交

a"b~-

点为0（点0在x轴上方），且|。耳二|。。，则C的离心率为（）

A.也B.1C.也D.在

2333

【答案】D

【分析】：连接。和右焦点尸'，可知1001=31尸尸），可得口尸。尸'=90。，由七股=3得2相=-2,写出两直

线方程，联立可得。点坐标，0点坐标代入椭圆标准方程可得。、6、。关系.

【详解工设椭圆右焦点为f，连接0F',

n\OF\=\O^[,\OF\=\OF'\,U\OQ\=^\FF\t□□尸09=90。，□%=；，根=-2,做过网一小。),

y=-(x4-c)

F'。过F(c,0),则F0尸g(Hc),FQ：y=-2(x-c)t由,2(/nQ

y=-2(x-c)

匚0在椭圆上，口（5）,[5）「又c2=/一/，解得

'，+,=1«­9

a~b~

匚离心率kJ1一与=/1一1=（.故选：D.

【题型四】余弦定理1：基础型

【典例分析】

已知双曲线[-2=1（。＞°泊＞0）的左、右焦点分别为尸-5，点A是双曲线渐近线上一点，且A61A。（其

中。为坐标原点），AK交双曲线于点氏且|阴二忸用，则双曲线的离心率为（）

A叵B.叵C.V2D.G

44

【答案】C

【分析】：根据双曲线的定义和余弦定理建立关于。，瓦C的方程，从而可得双曲线的离心率.

【详解】：根据双曲线的对称性，不妨设点A在第二象限，设6(-0),因为A。，点K到直线法+缈=0

\—bc\

的距离d=/

\lb+a

所以|A国"，因为|4O|=c,所以cos/AEO=g因为|A@=忸用，所以忸用=；|AK|=g,

由双曲线的定义可知忸用=忸耳|+2a=2a+，在△防居中，由余弦定理可得

-4c2_国+耳

cos^AEO=-=------J——纥,整理得6=。，所以。=缶，即离心率e=£=应.故选：C.

ccbca

2x—x2c

2

【变式演练】

1.已知双曲线C：5-.=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为小尸2,点A在C的右支上，电与c交于点

B,若丽•丽=0,且怩司=|鸟耳，则C的离心率为()

A.\f2B.>/3C.>/6D.

【答案】B

【分析】：由题设知口人8人为等腰直角三角形，即®6=?、\AB\=yf2\F2A\=yf2\F2B\,结合双曲线的

定义求IEA|、在口人月人中应用余弦定理，构造齐次方程，求离心率即可.

【详解】：由％4书8=0且归仆］哂知：口4环为等腰直角三角形且ZBAF2=^t即

\AB\=y/2\F2A\=42\F2B\,

IF}A\-\F2A\=2a

n\\F2B\-\FiB\=2a,

|AB|=|£A|-1£0

Q\AB\=4a,故1gAi=|63|=2缶，则|用4|=2(血+1)〃，

而在UA£鸟中，|甲肝■玛AF+I1川2一2|八A||K4|cos®E，

□4c2=8a2+4(3+2y/2)a2-8(>/2+l)a2,则/=3/,故e=£=有.

a

故选：B.

2.设点6，尸2分别为双曲线C:‘亲一Ka〉。,。〉。)的左右焦点.点A,A分别在双曲线C的左，右支上，若

AB=5F.A,AF^=ABAF2,且,尼卜卜耳，则双曲线C的离心率为(

A,适B,运D

55-7

【答案】B

【分析】：由AM=A8・A6及数量积的运算律可得KB_LA/<,设限卜加，则网=5/〃，［8耳|=6〃?，利

2

用双曲线的定义及直角三角形可求得加=。（机不合题意舍去），然后求出8SN8NM,再用余弦定理

得出G，C关系求得离心率.

uuuin皿|UUD|iuu®)

【详解工A8=56A,.••04,8共线，且网=5用|,

uuir：muuinrLOTumriwuuu'2uuiruuir

AF2=ABAF2=(AF2+F2B)AF2=AF2+F?BAF?.

F2BAF^=O,则玛Q_LAK，故有+

|A7s|-/H=2tz

设限卜机，则卜司=5m,附卜6〃?，由双曲线的定义可得，6m-|B7%|=2a

|A7S|2+|B7S|2=25/M2

2

□(m+2a)2+(6m-2a)2=25m2,整理得(加-a)(3m一陵)=0,解得：m=a^m=-a

若m=L,则,司,用=2%不满足,国〈,耳，舍去;

3

若m=a,卜司=3°<卜凡卜4%符合题意，则［防］=6%=5a,

BF、

此时8S/ABKL|^=|,在小即中，忻引=团网明2阁叫.此际/4叫,

217

c=­a2

5

3.设双曲线C?下y=l（a>6>0）的左、右焦点分别为K，尸2,过片的直线/与双曲线左右两支交于M,

N两点，以MN为直径的圆过鸟，且MN，=2MF?MN,则双曲线。的离心率为（)

A.0B.73C.2D.>/5

【答案】B

【分析】：由题意可得口仞\户2为等腰直角三角形，设|MB|=|N3|=，〃，则|"N=拒〃?，运用双曲线的定义,

求得|MN|=4〃，可得加,再由勾股定理可得。，。的关系，即可得到所求离心率.

2

【详解】：因为MN?=2MF2•MN即MN=?\MF2\■|A/7V|COS/NMF1所以=2|M周.COSNNMF?

在三角形MN居中,有余弦定理可得：COSZWFL""；黑低Ng所以W此=斗加闾-切；凿定圾2

MU=Ng即=因为以"N为直径的圆经过右焦点尸2,所以MF；・NF2=0,又

可得」MAE?为等腰直角三角形，设|“两=|义用|=小，则附2=及加，

由|M产2|・M尸/|=2mIWI-\NF2\=2a,两式相加可得|NB|・附产/|=附2=4〃，

即有卅=2近m在直角三角形尸2中可得4c2=4^+（2a+2&q-2a）2,

【题型五】余弦定理2：勾股定理用两次

【典例分析】

如图，0是坐标原点，P是双曲线E：W-《=l（a>0,力>0）右支上的一点，尸是E的右焦点，延长PO,PF

a~b-

分别交E于。，R两点，已知。e网，且IQ尸1=2|依|,则E的离心率为（)

A.姮B.姮C・叵D.叵

4343

【答案】B

【分析】：令双曲线上的左焦点为F,连线即得。PFQU,设|尸用二根，借助双曲线定义及直角△kPR用。

表示出|尸尸|,IPF'I,再借助Rf-尸丁尸即可得解.

【详解】：如图，令双曲线£的左焦点为门，连接PF,QF',RF',

由对称性可知，点。是线段PQ中点，则四边形PFQF'是平行四边形，而。尸一成，于是有PR29是矩形,

设恒氏|=m，则|PF'l=|FQb2m,\PF\=2m-2a,|RFf\=m+2a,\PR|=3m-2a,

4ZJ

在RteFPR中,（2m）2+（3/n-2a）2=（m+2a）2,解得加二7或加=0（舍去），

从而罚P户|=^,|P尸吟，RMPF中,得）+管［=h2,整理得。=（=半，

所以双曲线E的离心率为用故选：B

【变式演练】

1.已知双曲线C:*■-方=1（。＞0力〉0）的左右焦点分别为耳，K，过匕的宜线交双曲线c的左支于p,Q

两点，若P/（二尸鸟刈勺且力。入的周长为12。，则双曲线。的离心率为（）

A.孚B.73C.石D.20

【答案】A

【分析】：根据条件求得|?同=3%口|?制=〃，在RlZ\PK巴中，由勾股定理可得关于的等式，进而可

求得离心率.

【详解】：由双曲线定义知归国-归周二|。段一|仍|二2,

则|尸产|=|尸周一2%|Q凰二|Q闾一2%所以|叫=归耳+|0£|=|%|+|然|一3,

"PQ。的周长为伊丹+lQ周+|闻=2（|尸闯十|Q6|）-4a=12a,口|尸段+|0闾=即，|闻=4«,

由PF；=PF^QF?nPF2•（PF?—QF?）=0=PF?•PQ=0nPF2上PQ,

所以/6PQ=90。，故仍用2+收2=|QE「，Q\QF2\-\PF2\=2afn\PF2\=3a,\QF2\=5af用=%

在RlZXPK6中，a2+（3a）2=（2c『，故-£=®.故选：A.

2.已知〃是双曲线》小1的左焦点，圆。+与双曲线在第一象限的交点为尸，若尸尸的中

点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）

A.6B.2C.石D.咚

【答案】A

【分析】：根据双曲线的几何性质和平面匚何性质，建立关于。力，。的方程，从而可求得双曲线的离心率得选

项.

【详解工由题意可设右焦点为Z，因为/+6=1,且圆。：/+），2=/+6，所以点尸在以焦距为直径的

圆上，则/爪耳=90°,

设防的中点为点M,则M。为"片的中位线，所以MO//PG则"MO=90。，又点M在渐近线上，

bFM

所以ianNMOF=-=）,且nvr+MO=OF?,则尸”=〃，〃。=4,所以尸6=2知。=24,所以尸尸=4。，

aMO

则在以/W中，可得，PF；+PF2=FF^,即4/+16/=牝2,解得修=5,所以e=右，

故选：A.

22

3.已知耳,尸2是双曲线C：=I（a>0/>（））的左，右焦点，过点匕倾斜角为30。的直线与双曲线的

/b2

左，右两支分别交于点A,B.若|月用=忸用，则双曲线C的离心率为（）

A.0B.73C.2D.75

【答案】A

【分析】：设|4用二八据双曲线的定义可用，表示|A闾，忸闾，作■/_LAB=",构造直角三角形可计算得

，，并用勾股定理列出了（限）2一/二（2”，进而可求外

【详解】：设|A”卜f,则|A引=f+2a=忸用，从而忸用=f+4%进而|刚=4a.过上作5H_LA5=",则

|A”|=2a.如图:在RtAFF2H中，内”|=2csin300=c.忻M=2CCOS®=GC=|A闾;

在RtZMK”中，(V3C)2-C2=(2«)2,即2c2=4/,所以e=JL故选：A

【题型六】余弦定理3:余弦定理月两次

【典例分析】

已知6,8分别是双曲线的左、右焦点，点尸在双曲线右支上且不与顶点重合，过F?作

a~b~

N6尸外的角平分线的垂线，垂足为A.若忻4|=j5A,则该双曲线离心率的取值范围为（）

A.(1,@

C.(72,73)

【答案】B

根据题中的条件求出|可|=*根据三角形两边之和大于第三边得到1<«<白，再根据NOA6得到

>6,即可求出离心率的取值范围.

【详解】：解：如图所示:小E是双曲线「多=叱。力>。）的左右

焦点，延长名人交";于点Q,丛是〃2鸟的角平分线，..•卢。二|尸周，又•,•点产在双曲线上，

.•.归耳卜归闾=2,|?制一|闻=|阴|=2,又丫。是的丁玛中点,A是鸟。的中点,

.•.0A是△/玛Q的中位线，.•.|QE|=2=2|0A|,即侬=%

在△耳。4中，|。4|=〃，忻川=国,|0£|二c,由三角形两边之和大于第三边得：a+c>也b,

两边平方得：（。+蛾>5户，即/+°2+2时>5（/一叫，两边同除以片并化简得：2e2-e-3<0,

33

解得：-l<e<-,又Qe>l,.rvev/,在△£0A中，由余弦定理可知,

|M1+|时5从+c2_/

cosNA60=

2|川讣旧0|一2瓜

在―吗需产弋―即5从+<2—/56+4。2TA闾2

2、瓦。44be

又:护=才一/,解得：|A^|2=7«2-3C2,又「NOAE〉］,

.•.|0川2+m周2<|012,即/+742—3c2<。2,，e>&,综上所述：.故选：B.

【变式演练】

1.设分别是椭圆C的左，右焦点，过点尸।的直线交椭圆。于M，N两点，若M£=3£N,且

4

cosZA/W=-,则椭圆C的离心率为（）

A.也B.3C.旦D.如

2323

【答案】A

【分析】根据题意，设,/卜2化>0）,则|A闾=2所女，|A//*|=3A,\MF2\=2a-3kt由cosNMNE二：

利用余弦定理，可得。=32,在..N£K中，利用余弦定理，即可求椭圆。的离心率.

【详解】：由题意，如图：

设忻止电＞0）,因丽=34则防|=34，|MN|二4k

由椭圆的定义知，|叫|=勿-k,|M段二加一33

在-MN鸟中，由余弦定理得：|ME「=|MN『+|NE「-2|MN||NK|COSNMNK，

即（2〃-3攵）2=（44+（加一4一2（软）•（方一2）］,整理得a=3A,

在-NKK中，由余弦定理得：忻用2=|N用2+W周2—2pVZ|WK|8sNENK，

即（2婚=公+（勿-攵）2-2匕（2ad）［,即4c2=183,即2c?=9/=/,

所以，椭圆C的离心率为e=£=巫.故选：A.

a2

2.已知梯形/8CO满足48口。。，□历1。=45。，以4,。为焦点的双曲线「经过8,C两点.若CD=7AB,

则双曲线〃的离心率为（）

A逑B.空C.毡D.三五

4444

【答窠】A

【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得〃，。之间的关系即可得到结论.

【详解】：如图：连接力C,BD,设双曲线的焦距4O=2c,实轴长为2m

则BD-AB=AC-CD=2a,

设48=如则CD=7m,BD=2a+m,AC=2a+7mt08力0=45°,ADC=\35°f

在「力8。中，由余弦定理及题设可得：(2a+m)2=/+4,-2夜机，

在U4CZ)中，由余弦定理及题设可得：(加+7〃?)2=49〃?2+4<7414夜

整理得：>/2(c2-a2)=m(JJa+c),拉(er-a2)=lm(JJa-c),

两式相结合得：0a+c=7(应。-c),故6应。=8。，

□双曲线厂的离心率为e=£=逑.故选：A.

a4

3..已知椭圆的两个焦点分别是心匕过人的直线交椭圆于尸’。两点，若匹卜田国

且2|期|=3|。制，则椭圆的离心率为().

【答案】C

【分析】根据所给关系式利用椭圆的定义用。、c表示出边仍用、归印、|。用、|。用，在△H记、\。/的中

利用余弦定理求出cosNPKK、cosNQK^,再根据两角互补列出关系式即可求得离心率.

【详解】：由题意作出草图，如下图所示，

由椭圆的定义可知|。娟+|。勾=%|尸6|+也|=%|£段=勿,

・・・|P同=忻用，.qp玛|=2c,则|P用=2(a—c),

2附|=3|。用，...|。用=：归用，，|。制="F，则研=驾竺，

_附「+优片「卡国2」-C

在△尸大鸟中由余弦定理可得COS/PE居

2|小优耳|2c

|2耳(+向周2一］。周2」-3c

在“必中有余弦定理可得cos/Q66=

2|。用玛币4c

/尸耳居+/。耳£=180°,.■.cosZPF.F^-cos^QF^,.-.£z£=_£z2£

2c4c

c33

化简得3a=5c,.・.e='==.所以椭圆的离心率为=.故选：C

a55

【题型七】中点型

【典例分析】

已知椭圆C:二+4=1（〃＞。＞0）的左焦点为尸，过尸作倾斜角为60的直线与椭圆C交于A8两点，M为

a~b

线段48的中点，若|。尸|=3忻M|（。为坐标原点），则椭圆C的离心率是（）

A.|B.叵C.且D.-

2524

【答案】B

【分析工依据题给条件得到关于。，。的关系式，即可求得椭圆。的离心率.

【详解】：设A（5,y）,B（"为），”（如%），AB在椭圆上,

所以耳+西=1,与+耳=1,两式相减，

iTb~a~b~

俎（百+马）（再-/）.（y+%）（芦-力）_八

倚?+P-°'

由直线48的倾斜角为60,可知上二上二石，所以乌+辱=0：

再-Wa~b~

设尸（-c,0）（c=J。？一6二9,|FA1|=l|OF|=|c,

（SC、_53

所以M一C,所以一6c+6，n«

、7ab

所以为2=56,即2/=5。2,所以e=£=a.

a5

故选：B.

【变式演练】

22

1.已知。为坐标原点，双曲线C:*■-方=1（。＞0力＞0）的右焦点为尸（。,0）,直线x=c与双曲线。的渐近线

交于4、8两点，其中〃为线段03的中点.。、4、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（）

A.空B.72C.6D.2

3

【答案】A

【分析】：根据题意得到户（。,0）,《吟｝8卜'一第，陪，一并，再根据。、小尸、河四点共圆，

可知四边形04所为等腰梯形，利用|QM|=|AF|,求得m6关系即可.

【详解】：由题意得：F（c,O）,A（4）4，-引，

因为“为线段08的中点，•.・加6，-&|又尸为”的中点，.•.M///OA,即四边形0AA/为梯形，

又0、4EM四点共圆，即四边形。AA2为圆内接四边形，而圆内接四边形的对角互补，可知四边形。4”尸

为等腰梯形，・•.|OM|=|AF|,即梅彳豕考，整理得/=3氏所以6=]/+图=苧,故

选：A

2.已知双曲线C:54=l（a>（U>0）的左右焦点分别为片，尸2,过K的直线/交双曲线的右支于A,8两点.

点M为线段的中点，且A£=AB.若cos&Z8=；,则双曲线C的离心率是（）

A.2B.石C.与D.6

【答案】A

【分析】：设|A用=〃z,根据双曲线的定义得出相=8〃，从而求出田口=4〃,住耳=2〃，在△出例中利用余

弦定理以及离心率的定义即可求解.

【详解】：点M为线段8周的中点，且A£=A8,则

设网二m,则1ABi=阳,

又-AMF]为直角三角形,.cosNAKB=；,即cos/A6M=；,

.•.旧朋|=；阳，怩机，由双曲线的定义可得MEHA周二2%

忸国-忸同=2,曲|+忸制一|的=4,耳用=而,内耳=2,

又cosN^BA；=CQSNA36=85乙4耳笈=；,在△/?"心中，由余弦定理可得

+\BF^-\FF^_4t72+16g2-4c2_1

}2.,"二名?，.,.离心率e=£=2.故选：A

2|明丽|--2x24x4。--4a

3.己知小巴分别是椭圆。:》•"小。）的左、右焦点.若椭圆。上存在点P,使得线段W的垂

直平分线恰好经过焦点尸2,则椭圆C的离心率的取值范围是（）

B

A.即-[?T]C加D.（0,1

【答案】C

【分析】：根据中垂直的性质可得|「段=|6闾=勿，根据a—cK|尸国V4+C歹怀等式，结合离心率公式以及

椭圆离心率ew（0,l）即可得解.

【详解】：如图：因为线段用的垂直平分线恰好经过焦点鸟，所以|P周二|耳周二",

当点P位于椭圆的左顶点时，归图最大为a+c；

当点P位于椭圆的右顶点时，|尸段最小为"C；

所以a-cW|帆|=2rWa+c,可得c<〃<3c,所以e=?c

【题型八】多曲线交点1：和抛物线

【典例分析】

已知点A是抛物线/=4），的对称轴与准线的交点，点尸为抛物线的焦点，点尸在抛物线上且满足

\P^=m\PF\t若由取最大值时，点尸恰好在以A尸为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为

A.73+1B.V2+1C.好里D.也包

22

【答案】B

【详解】：过P作准线的垂线，垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,

1|P7V|

□|PA|=m|PBLniPAHnlPNI□—=7—,

mIPA\

设PA的倾斜角为a,则sina=',

m

当m取得最大值时，sina最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x?-4kx+4=0,

□O=16k2-16=0,Dk=±l,DP(2,1),

2

匚双曲线的实轴长为PA・PB=2（>/2-1口双曲线的离心率为］&_］）=垃+1・

【变式演练】

\PFf\

1.已知点尸为抛物线C：V=4x的焦点，点F（-LO）,若点P为抛物线C上的动点，当谒取得最大值时，

点P恰好在以F,F为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（）

A.!B.变C.>/5-1D.J2-1

22

【答案】D

尸尸|尸尸'|

【分析】：过点尸引抛物线准线的垂线，交准线于。，根据抛物线的定义可I知'母I=匕3,记

NDPF=/PFF=a,根据题意，当cosa最小，即直线PF与抛物线相切时满足题意，进而解出此时夕的

坐标，解得答