高考数学总复习专题44 圆锥曲线中的探索性问题通关新课标试卷

专题04圆锥曲线中的探索性问题通关

第一类椭圆中的探索性问题新课标-试卷

1.已知椭圆A：亍+1=1的右焦点为F,过点F且斜率为k的直线与椭圆A交于A（xi,yi）、B（X2，y2）

两点（点A在x轴上方），点A关于坐标原点的对称点为P,直线PA、PB分别交直线1：x=4于M、N两点,

记M、N两点的纵坐标分别为yM、yN.

（I）求直线PB的斜率（用k表示）；

（2）求点M、N的纵坐标yM、yN（用xi，yi表示），并判断yMyN是否为定值？若是，请求出该定值；若

【解析】试题分析：设直线AB方程为歹=无（工-1）,联立方程，利用根与系数的关系得甬+土，不巧,

表示旌=心=迫上"=_2_即可；（2）设直线尸4的方程为旷=&工，表示出

再+巧再+巧4k

加,力，整理化简即可.

试题-新课标试卷解析：

（1）设直线AB方程为y=攵（工一1）,

y=k（x-｝）

联立｛f9，消去y,得（4/+3）f_8尸X+442—12=0,

----1----=1

43

_弘2

石+%

二+

因为A（x，yJ、8(%,%)，且｛-43

4r-12

止+3

又尸(-％f),所以kPB=0=s+g)—

%+&x^+x24k

(2)又直线24的方程为y=贝打上=空，

甬甬

由题意可知，k=3,直线PB的方程为y+y1=-乂,"”(x+xl),

再一14M

2-

加以厂_3(-7)(4+再)4)_3」+4卢+97123

再甬甬

综上，乘积力f加为定值-9.

2.已知椭圆c：l+rTSAb〉。)的离心率为孝，且椭圆。过点I过点(1,0)做两条

相互垂直的直线4、，2分别与椭圆。交于尸、Q、历、N四点.

(I)求椭圆C的标准方程：

(II)若砺=的，PT=TQ,探究：直线ST是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明

理由.

【答案】(1)—+^-=1(2)-,0

4213)

【解析】试题-新课标试卷分析：(I)由已知，可建立关于椭圆三个参数4,0,C的方程组进行求解，由离心

率可得£=立,又点(石,一变］在椭圆上，可得之+—!=1,结合/=从+。2,从而问题新课标.试

a2{2Ja22b2

卷可得解.

(ii)由题意，可对直线《4的斜率分“不存在与o”和“都存在且占/2=-「两种情况进行分类讨论，先对

后一种情况探究，则可设两直线的方程分别为4：y=2(犬一1),/2:y=--(x-l),逐个联立椭圆方程，

k

(2、

分别计算MN,PQ的中点S,T的坐标，从而求出直线ST的方程，并求得其定点为一,0,再对前一种情

(3)

况进行验证即可.

31।

L万"1"2

试题-新课标试卷解析：（I）由题意知，｛。2=/+,2,解得｛〃=&

£_V2C=V2

~a~^l

22

故椭圆C的方程为土+匕=1.

42

（II）.・.市=而，亘=而，"S、T分别为MV、尸。的中点.

当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线乙的方程为旷=上（％-1）,

则直线4的方程为丁=一:（》一1）,尸（不凶），。（孙必），”（孙乃），MAH），

K

22

xy

联立｛彳+爹=，得（2好+1）/—4好工+2好一4=0,・..A=24M+16>0,

v=/c（x-l）

飞+电=离7'PQ中点7的坐标为（黑F温〉

同理，皿中点S的坐标为（3,曰）...%=/、，

-3k(2k2)

:.直线ST的方程为y+「一

2《+1

-3k(2、・•・直线sr过定点（,,0

即y=--------x—

2(%~—1)，3,

当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST的方程为y=0,也过点

综上所述，直线ST过定点（!■,（）

3.如弱，A8是椭圆C:5+y2=i长轴的两个端点，M,N是椭圆上与A,B均不重合的相异两点，设

直线AM,BN,AN的斜率分别是41,玲，&•

(1)求k2M3的值;

（2）若直线MN过点苧求证:

⑶设直线MN与x轴的交点为。,0）”为常数且，工0）,试探究直线4W与直线BN的交点。是否落在某

【解析】试题分析：（D由椭圆方程可知点43两点的坐标，可设点N的坐标（设而不求"根据斜率的

计算公式列出玲,用的表达式，又点N在椭圆上，联立椭圆方程，从而可问题可得解；（2）由题意可联立直

线MM工=%+三与椭圆方程，消去x,根据韦达定理，求得点M,N的纵坐标川+必,川.内与参数加

的关系式，再分别算出斜率左，内，进行运算化简，从而问题可得证.

（3）同（2）法，由点M,N的纵坐标，求出直线A",8N的方程，联立两直线方程，求出其交点0的横

22

坐标/=:与点M,N的坐标无关，从而可判断交点。落在定直线x=:上，从而问题新课标试卷可得解.

试题■•新课标试卷解析：⑴设Mx。,%），由于小一&,0）,8（四,0卜

所以&2•%

因为N（M，%）在椭圆。匕于是£+y；=l,即片-2=-2y,

所以e•匕

历-4--

⑵设直线=+,A/(^,yI),7V(x2,y2)»由{'一州

2X2+*2/=2

得(加+2))/+yfimy--=0,

41m3

于是Ji+必蔗7?%必=-2(川+2]

y%

X+\/2X)+>/22〃心|+%)+|

my%+-2

3

3

2M+2)

2_£

~6

23m9--TH2-3m2+—(nV+2\

-m~♦—7—；---r———m—=-----卜—7

2(/W2+2)2机2+2222、

（3）由于直线MV与x轴的交点为&0"于是MV:x=冲+乙

联立直线MN:x=吁呜椭图C：y+y2=l的方程，可得

（m2+2）y2+2加a+产-2=0,

_曰2mt产-2

于工"+乃=一门‘凶』

w:+2

因为直线:y=(x+0),直线BN:y=」7T(x—0),

玉+42、巧一42、

两式相除，可知

x+>/2_Xj+>/2y2_my}+t+y[ly2物%+(/+匈%

x-yj2x2—y/2弘my2+t—y/2y(rnyxy2+—\f2^y1

族品+（'+血卜患一凶）「加（，+&）2-（，+&）（疝+小

+产-2）+（…⑹（苏+2）,

_t+s/2-机(，+码_仆正

t-42+++2)yJl-t

于是川=2,所以x=£,即直线AM与直线8V的交点。落在定直线x=±上.

tt

12

4.己知点A(a,O),B(O,b)分别是椭圆C:—+上=1(a>b>0)的长轴端点、短轴端点，O为坐标原点，若

a2b2

AB-AO=16»|0A+0B|=2^.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如果斜率为勺的直线|交椭圆C于不同的两点E,F(都不同于点A,B),线段EF的中点为M,设线段0M的垂

线的斜率为卜2,试探求勺与kz之间的数量关系.

22

【答案】

(1)L+y_=1；(2)k2=4kv

164

【解析】试题-新课标试卷分析：(1)由AB-A6=16,利用平面向量数量积公式可得|应)f=16.

所以a?=16，由|0X+0B|=2小两边平方结合oXoB=0可得a?+b2,求出a,b的值，从而可得结果；(2)直

y=k1x+c/

线I的方程为丫=勺+(:,联立卜y2_消去y整理，得(1+4匕、2+81(遮+牝2-16=0,根据韦达定理结合中

(164-

点坐标公式，可得线段EF的中点坐标，利用斜率公式化简可得k2=4k-

试题解析；<1)因为AB-AO=16,所以AB|AOCOS^OAB=(ABcos^OAB)•AO|=\M\'|AO|=|AO2=16.

所以a?=16.

因为|0入+0B|=2,所以|O入+OB2=OA?+20A-OB+0B|2=0A2+|0B|2=a2+b2=42+b2=(2厨・

所以b?=4.所以所求椭图C的方程为'J：1

164

(2)设直线1的方程为丫=1<产+€：(勺，C为常数).

①当k]=。时，直线I的方程为y=c,此时线段EF的中点为M在y轴上，所以线段0M的垂线厂的斜率为0,即k?=0；

22

②当kj00寸，联立xy消去Y整理，得(1♦4k卅♦8k1cx+4c-16-0.

—.一

164

x.+x,y.+y,

设点6仅1，1）,，僧92）,线段EF的中点”（外丫。），则x0=--，*=------

8kle4cLi64k]C

由韦达定理，得XJX?---------^2S-------------7,所以Xo=---------

1+4k；l+4kj1+4k：

,8kle、-8kJ+2c+8kjC2c

s

所以丫1+y2k[X]+c+kp?+c=k](X[+x2)^2c=kjI---------;|♦2c---------------：-----------

\l+4kjl+4k：l+4k：

所以f

y0"4k：i

所以直线OM的斜率为l<3=—=———=--.

xo4kle4kl

百

1

所以线段OM的垂线的斜率为k2=-j=4k：.故勺与Ie?之间的关系是k2=4k]

k3

综上，勺与Ie?之间的关系是k2=4k].

5.已知椭圆C:9f+>2=机2（加>0）,直线/不过原点0且不平行于坐标轴，/与。有两

个交点A、B,线段A8的中点为M.

（1）若加=3,点K在椭圆。上，及、工分别为椭圆的两个焦点，求丽•秋的范围：

（2）证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；

（3）若/过点（最,机），射线OM与。交于点尸，四边形OA尸8能否为平行四边形？

若能，求此时/的斜率：若不能，说明理由.

【答案】（1）（2）见解析（3）当/的斜率为4-J7或4+近时，四边形OAP8为平行四边形

【解析】试题-新课标试卷分析：（1）将m=3代入，求出焦点坐标，设K（x,y）,给出麻•祠的表达式,

消元求出范围

⑵联立直线方程和椭圆方程化简得到（炉+9卜?+2妨丹/一4二。，求出方,用的值，求出对应的

直线斜率即可得到结论

（3）四边形04PB为平行四边形，当且仅当线段A8与线段O尸互相平分，即2%=勺，建立方程关系

.mk2

mK-m2k2

43即可得到结论

F+99^+81

解析：（D椭圆。：9/+丁=9,两个焦点招（0,2点卜玛（0,-2点），设K（x,y）

所以瓦屋=（r,27y（-EArZ+j，』

由于9/+丁=9,所以丁=9-9寸，瓯.国=寸+（9—9/）-8=-8/+1

由椭圆性质可知TWxSl,所以斯.瓯w[-7』

（2）设直线/:y=丘+b"工0,女工0）,4（X,y）,现%,%），〃&，%），

所以小马为方程9/+（丘+〃）2=病的两根，化简得（F+9）d+2鲂x+〃—病=0,

X]+xkbk2b9b

所以％2y=H+Z?=-+b=

2F+900F+9F+9

kOM=A=_2,所以直线OM的斜率与/的斜率的乘积等于一9为定值.

/k

（3）•.•直线/过点，/不过原点且与C有两个交点的充要条件是人＞0,女力3.

mk

设尸（%，%）设直线/：y=+m（〃7¥0,2工0）,BPy=kx--^-+m.

Fh（2）的结论可知OM:y=-2-代入椭圆方程9%2+,2=m2得片=/片

k9k+81

由（2）的过程得中点M

若四边形。4P8为平行四边形，那么M也是0P的中点，所以2%=品,

（,成2）2

mk-----------212

得4-1-=7，解得k=4土近

k2+99A2+81

所以当/的斜率为4-/或4+J7时，四边形OAP8为平行四边形.

1

6.已知动点P与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为一，点P的轨迹为曲线C,过点E(1,O)的直线交曲线C于M,

4

N两点.

(1)求曲线C的方程；

勺

(2)若直线MA,NB的斜率分别为勺，k2,试判断一是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.

k2

2

x勺1

【答案】⑴—+y2=l(x*±2)⑵一=一

3

4k2

1

【解析】试题-新课标试卷分析：3)第(1)问，利用动点P与A(-2,0),B(2Q)两点连线的斜率之积为--求

4

31

出曲线C的方程.(2)第(2)间，先设直线MB的斜率为1<3,利用韦达定理计算出1(2-1<3=7,再利用勺・1(3=工

勺

计算出一的值.

k2

试题解析：(1)设点P(x，y)(xw±2),由题知，—-----

x+2x-24

整理，得曲线C:'“2=1"珏2),即为所求.

4

(2)由题意，知直线MN的斜率不为0,故可设MN：x=my+l,M(x1,y1),N%%)，

设直线MB的斜率为1<3，由题知,A(-2,0),B(2,0),

2m

,x=my+1丫1+丫2=^—

由/消去x,得（m?+4）『+2my-3=0，所以m

丫1“2=-——

m+4

丫也3

所以Ie?,k3=

m2yly2_m（YifV）+1

仅1-2）（X2-2）24

V11ki1

又因为点M在椭圆上，所以=-----所以一=-,为定值.

1

3444k23

7.己知椭圆G:）■+£■=1（。>b>0）过点当）和点8（°,T）.

（I）求椭圆G的方程；

（II）设直线y=x+〃z与椭圆G相交于不同的两点M,N,是否存在实数加，使得忸M=|8N]?若存

在，求出实数加;若不存在，请说明理由.

*2

【答案】（1）y+/=l（2）不存在

【解析】试题-新课标试卷分析：（1）由已知求得人，把点的坐标代入椭圆方程求得。的值，进而得到椭圆G

的方程；（2）假设存在实数机满足题设，联立直线方程与椭圆方程，由判别式大于0求得阳的范围，再由

根与系数的关系求得MN的中点P的坐标，进一步求得结合忸可得3PJ_MN,由斜率

的关系列式求得加的值，检验即可得到结论

解析：（I）椭圆6千+5=19>6>0）过点布韦和点5（0「1）,

所以6=1,由4+匚==1,解得『=3,

a1

2

所以椭图G:专+产=1；

（II）假设存在实数用满足题设，

y=x+m

由｛/2।得4x2+6wi¥+3（阳2-1）=0,

—4-V=1

3

因为直线与椭圆有两个交点，

所以八二36>一48（/»2-1）>0,即〃/<4,

设的中点为尸(9/),环“分别为点MN的横坐标，则〜=也产=一?，

从而%=〜+加=：，

所以4*=匕二=一空，

Xp3m

因为图4=忸的，

所以KPLMN,

所以^BP'左加=—1，而^1£V=1,

所以-『=一1,即加=2,与“？<4矛盾，

3m

因此，不存在这样的实数加，使得忸M二|BA1.

8.已知点P是椭圆C:[+方=l(a>b>0)上一点，尸到椭圆C的两个焦点耳，鸟的距离之和为2百，

“|=2&.

(I)求椭圆。的方程和离心率；

(II)设直线>=h+2交椭圆于M,N两点，是否存在实数2,使以MN为直径的圆过点尸(—1,0),若

存在，求女的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(I)椭圆的方程为三十丁=1,离心率为^二逅；(II)

336

【解析】试题-新课标试卷分析：(I)根据椭圆的定义可得2。=2道,2。=2返，求出。即可求出椭圆方

程及离心率；(II)将条件以MN为直径的圆过点尸(一1,0)转化为两♦而二0,设出直线的方程将直线

方程与椭圆方程联立，利用向量垂直的充要条件列出等式，求出直线的斜率.

试题-新课标试卷解析•：(I)依题意可知：2a=2瓜2c=2近

所以a=>A,c=V2,Z?2=/—c,2=i

所以椭圆的方程为三+V=i,离心率为0=£=业.

3a3

（n）设”（4（孙力）

x22

由｛G“一消去y知，（3标+1）/+12辰+9=0

y=kx+2

12k

巧+巧=一^71

则｛A>0

9

xx,=--——

3H

若以MN为直径的图过点?（一L0）,则NMEV=90°,即两-两=0

而EV=（再+1,M）,网=（吃+1/2）,且弘=3+2,%=七+2

所以£W-EV=（再+1）（毛+1）+以乃=再巧+（演+W）+1+（必+2）（也+2）=

（好+1）书+（2左+1）（再+电）+5=（左，+1做至g+（2左+>^^+5=0

解得：k=!此时A>0符合题意.综上，左的值为：.

66

9.已知点4（0,-1）,8（0,1）,尸为椭圆C：5+y2=i上异于点A,B的任意一点.

（I）求证：直线PA、PB的斜率之积为一！.；

2

（II）是否存在过点Q（—2,0）的直线/与椭圆。交于不同的两点M、N,使得忸M二|BN|?若存在，求

出直线/的方程：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）y=0

【解析】试题-新课标试卷分析：（I）设尸（x,y），并用其坐标表示斜率，通过斜率之枳，结合点在椭

圆上，化简可得直线PA、尸8的斜率之积为-L.

2

（II）设点（孙必），取M7的中点H,则〃（甘工入产），则||BW卜忸M可转化为

2k「I

l±2ki_k=-T,联立直线与椭圆，结合韦达定理建立关于斜率k的方程，求解即可.

-4k

1+2&2

2

试题解析：⑴设点尸（3），（"0）,则'+/=],即/=]（

（1--1-1

.匕h_y-ly+l_y2-l_2J__1

^PA'^PB-----------...厂-------2—-7

xxxx2

故得证.

（II）假设存在直线/满足题意.

显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆。不相交.

①当直线/的斜率时，设直线/为：y=%（x+2）

2

X2_

联立，万'=，化简得：（1+2炉*+8炉工+8公_2=0

y=k（x^2）

由A=（8公丫一40+2^）（8^-2）>0,解得-与<k〈与（k于0）

-8女2

X)+x

21+2公

设点A/（X|,必）,乂（修，必），则｛

88一2

中21+2女2

一84+饮=3

M+乃="（』+占）+4〃=〃

1+2公1+2〃2

A±2k_i

%+占y+%

取MV的中点〃，则”，则—2小・一1

2'2

芭+x2

2

飞一

即~•k=-l,化简得242+24+1=0,无实数解，故舍去.

l+2k2

②当A=0时，M,N为椭圆。的左右顶点，显然满足18Ml=|6N|,此时直线/的方程为y=0.

综上可知，存在直线/满足题意，此时直线/的方程为y=0.

10.已知椭圆c：，+左=1（。>8>0）的离心率6=*，且椭圆C与圆。+y2=g的4个交点恰为

一个正方形的4个顶点.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）已知点A为椭圆C的下顶点，为椭圆C上与A不重合的两点，若直线AO与直线AE的斜率

之和为〃2,试判断是否存在定点G,使得直线。E恒过点G,若存在，求出点G的坐标；若不存在，请

说明理由.

2

【答窠】（1）y+y2=l（2）存在定点使得直线DE恒过点G

【解析】试题-新课标试卷分析：（1）第（1）问，直接根据已知条件得到关于a,b的一个方程组，再解方

程组即可.（2）第（2）问，对直线DE的斜率分两种情况讨论.每一种情况都要先根据已知条件求直线

DE的方程，再判断其方程是否过定点.

试题解析：

（1）因为椭圆。的离心率

所以一人=2,即/二»2，

a2

因为椭圆。与图。的4个交点:恰为一个正方形的4个顶点，

所以直线y=x与图。的一个交点（孚，孚］在椭圆C上，所以白■+磊=1，

/=a2=2J

由｛22,解得｛「一，，所以椭图。的标准方程为三+F=1.

h旷1g2

⑵由（1）知4（0,-1）,

当直线DE的斜率存在时，设直线DE的方程为y=kx+t（t工±1）,

2

代入=1得，（1+222）x2+4%仪+2/-2=0,

所以A=16k2t2-4（1+2公）（2产_2）＞0，即，一2二v1.

4kl2t2-2

设D（%,y）,E（9,%），则%+£=-，中2=T—^2，

1I乙Kir乙K

因为直线AD与直线AE的斜率之和为/,

所以为+匕=.++应+11=2k」"1八1+%）=2»（〜；＞4分=足=2,

再巧七巧毛七2t-2

整理得，=1一无，所以直线0E的方程为尸去+。=去+1-左=上（工一1）+1,

显然直线y=k（x-l）+l经过定点（U）.

当直线的斜率不存在时，设直线皿的方程为工="，

因为直线功与直线屋的斜率之和为/，设。（见冷，则E（肛f）,

所以无M+如=史工+/~~^=2=『=2,解得加=1,

mmm

此时直线DE的方程为x=l,显然直线x=1经过定点（1,1）.

综上，存在定点G（l,l）,使得直线恒过点G.

2

11.已知椭圆C:土+y2=1,如图所示点Aa，x）,B（x”必）,尸（工3，必）为椭圆上任意三点.

4~

（1）若况+砺+/=0,是否存在实数4,使得代数式玉起+丸,必为定值.若存在，求出实数几和

项出+4必当的值；若不存在，说明理由.

（II）若丽•砺二0,求三角形048面积的最大值；

（M）满足（II）,且在三角形043面积取得最大值的前提下，若线段P4,PB与椭圆长轴和短轴交于点

E,F（瓦/不是椭圆的顶点）.判断四边形的面积是否为定值.若是，求出定值；若不是，说明理

由.

【答案】（1）2=4.%9+4必必=-2（2）1（3）2

【解析】试题•新课标试卷分析：（1）将坐标代入椭圆方程，根据砺+砺+丽=0,消去不,必得

而々+4%%=-2（2）由西•丽二°，得%/+乂％=°，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及

弦长公式求AB,根据点到直线距离公式求三角形高，再代入三角形面积公式，最后根据基本不等式求最值,

（3）先求E,F坐标，再根据四边形面积公式求面积，计算结果为定值即可.

寸=1

试题解析：（I）由于｛竽+>j=i,且｛七=一;玉+工!）

4为=一（凶+%）

号+H，=1

故，存在实数4=4使得=-2.

（II）当直线A3斜率不存在时，可设为x二机；

x=m

联立方程组｛炉,得若）•防=0：

—+y=1

4

由西•砺=0,得根2一（1一号）=o,即加=±，逐，SAOAB=［；

当直线AB斜率存在时,可设为y=履+m；

y=kx+tn

联立方程组｛f,得(4/+1*+8叱+(4/-4)=0；

—+y2=l

4

8km4(/n2-l)

4^+1

rhOA-OB=0,得玉超+%%=0,

即+―kmx(——§吵)+/=0,57n2=4(^2+1)

4H+14《+1

S^OAB=^\AB\xd=^116k斗+17/+i4I।9k2

、16/+8r+15V+16^4+8^2+l

等号成立时，k4=—,即女=±』.

162

所以4048的最大值为1.

(HI)S’OAB取得最大值时，k=±：此时直线AB与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个

2

端点；

不妨取N(2,0),8(0,1),若线段PA.PB与椭圆长轴和短轴交于点E：F(瓦尸不是椭圆与坐标轴的交

点).

此时点尸定在第三象限，即电<。/3<0；

直线"的方程为y=°1Q-2),令x=0,得E(0「二三)

再一2巧一2

同理，得产(-上：0)

>3-1

四边形AB稗的面枳为:

12.如图，已知圆E:(x+Gy+y2=i6,点/(G,0),P是圆E上任意一点，线段P厂的垂直平分线和

半径PE相交于Q.

(1)求动点Q的轨迹r的方程；

(2)已知A3,C是轨迹「的三个动点，点A在一象限，8与A关于原点对称，K|C4|=|CB|,问AA3C的

面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线A8的方程；若不存在，请说明理由.

y.2O

【答案】(1)—+/=1；(2)-,y=x.

45

【解析】试题-新课标试卷分析：(1)连接Q尸，根据题意，\QP\=\QF\,则|Q目+依川=

|QEj-|QP|=4>26，可得动点Q的轨迹「是以瓦尸为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出动点Q的轨

迹「的方程；(2)设直线A3的方程为?="，与椭圆方程联立，求出A的坐标，同理可得点。的坐标，

进而表示出AA3C的面积，利用基本不等式，即可得出结论.

试题解析：(1);。在线段P尸的垂直平分线上，，应「户即，得四+|0尸|=；2E|+|QP|=|理|=4,

又冏=2力<4,的轨迹是以二尸为焦点，长轴长为4的椭圆，.\T:—+^=1.

4

(2)由点/在第一象限，3与.4关于原点对称，设直线•始的方程为J=H(AO),

•・・|ai=3l,1.c在•州的垂直平分线上，

「•直线。。的方程为y=-5x.

产筋/7+T,

£2=（1+4靖扑4,|朗=2@|=2^?讨=4%获有,‘同理可得

4+尸=1

A/Z±l_1...「、/3+1匚4（：+1）

型1%1=4\/（4d+1）（7+4）=｛（4,+1）（4）'

2\jN+^=2\AB\义刈+

------------------------4妙+l+d+45(妙+1)

当且仅当Z=1时取等号

7(娑+1)(7+4)<9=-

Q

综上，当直线AB的方程为y=x时，△ABC的面积有最小值].

22

13.已知椭圆C：^+^=1(a>b>0)的左右焦点分别为F],F?且F?关于直线x-y+a=O的对称点M在直线

ab

3x+2y=。上.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若C的长轴长为4且斜率为三的直线I交椭圆于A,B两点，问是否存在定点P,使得PA,PB的斜率之和为

2

定值？若存在，求出所有满足条件的P点竺标；若不存在，说明理由.

133

【答案】(1)-；(2)满足条件的定点P是存在的，坐标为(-1,--)及(1,-)

222

【解析】试题-新课标试卷分析：(1)依题知F4c,0),根据对称求出点M,根据点在直线上，可得离心

221

率；(2)由(1)可得椭圆方程为二十1=1，设设直线I方程为y=-x+t,联立方程，根据根与系数的关系可

432

3

-ny2-n(n--m)t+2mn-3

得x「X2=-t,xx=t-3,设P(m,n),可得kpA+kpp=--------+--------2,化简整理即可.

X]・mx-m

2t2+mt+m2-3

试题解析：

%yn/xA=-a

(1)依题知设M3，y0),则----="Xfi-------------+a=0,解得,即M(・a,a+c)

x0-c22M=a+c

.M在直线3x+2y=0上，.'・•3a+2(a+c)=0,a=2c,.'.e=-=-

a2

C1Oh222

(2)由⑴及题设得：一=-且竺=3，：♦a=2,b=M・•・椭圆方程为上十二1

a2a43

设直线I方程为y=：x+t,代入椭圆方程消去丫整理得/小"・3=0.依题A>0,即八4

设A（X],yj,B%,y）则X「x2=・t,X]Xz=d・3

如果存在P（m,n）使得kpA*J为定值，那么1+[的取值将与t无关

33

y-ny2-n(n--m)t+2mn-3(n--m)t♦2mn-3

2，令2

--------------------------------------------------sM

tX+mAt+m2-3、「t+m•t+m2-3•

贝IJMJ+（rr»M+-m-n）t♦m2M-3M-2mn+3=0为关于t（『<4）的恒等式

M~0z（n=1,m=-1

・•.解得Y或0一

2mn=312'2

综上可知，满足条件的定点P是存在的，坐