江苏省南通市崇川区2023-2024学年八上期末数学试题（解析版）

~2024学年度第一学期期末学业质量监测试卷八年级数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键．【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形；故选：C．2.据科技日报报道，中国已实现离子注入装备纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示纳米是（）米A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：∵1纳米米，∴纳米米米故选：．3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂相乘法则、同底数幂相除法则、幂的乘方、积的乘方法则分别计算，再判断即可．本题主要考查了同底数相乘法则、同底数幂相除法则、幂的乘方、积的乘方的法则．、、、，熟练掌握法则是解题的关键．【详解】A、，故A选项错误；B、，故B选项错误；C、，故C选项错误；D、，故D选项正确．故选：D．4.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A.3，4，5 B.1，1，2 C.6，8，10 D.5，12，13【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A、∵，∴3，4，5能构成直角三角形，不符合题意．B、∵，∴1，1，2不能构成三角形，符合题意；C、∵，∴6，8，10能构成直角三角形，不符合题意；D、∵，∴5，12，13能构成直角三角形，不符合题意．故选：B．5.如图，点在线段上，，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握两个全等的三角形其对应角，对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质可得，，则可证，即可解答．【详解】解：，，，，，∴故选：D6.根据分式的基本性质，分式变形可得到下列结果中的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行变形是解此题的关键．根据分式的基本性质逐个判断即可．【详解】解：，故选：B．7.如图，在中，交于点，则的长是（）A.3 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，，再证明，得，，进而问题可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，，∴；故选A．8.如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，则的长为（）A1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得出，过点E做交于点D，得出，再由角平分线及全等三角形的判定证明，得，，设，结合勾股定理性质，通过列方程并求解，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴如图，过点E做交于点D，∴，∴，根据题意得：为的平分线，即，又∵，∴，∴，∴，设，∴，∵，∴，即∴故选：C．【点睛】本题考查了角平分线、勾股定理、全等三角形、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．9.已知满足，则的值是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将配方成，求出a，b，c的值，再代入计算即可求解．【详解】解：∵，∴，解得，∴，故选：B．10.如图，已知等边的边长为4，点分别在边上，．以为边向右作等边，则的最小值为（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识．作于点，作射线，由等边三角形的性质可证明，再由，，证明，推导出，进而证明，得，可知点在经过点且与垂直的直线上运动，作交的延长线于点，可证明点与点关于直线对称，则，由，得，根据勾股定理计算得到问题的答案．【详解】解：作于点，作射线，则，和都是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，点在经过点且与垂直的直线上运动，作交的延长线于点，则，，，，，点与点关于直线对称，，，，，，，，，的最小值为，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.若分式有意义，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．12.分解因式：2x2﹣8=_______【答案】2（x+2）（x﹣2）【解析】【分析】先提公因式，再运用平方差公式．【详解】2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．13.如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为15，则的周长是__________．【答案】9【解析】【分析】本题主要考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，然后结合题意求解即可．【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、，∴，∵，∴，∵的周长为15，∴，∴．故答案为：9．14.如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为__________．【答案】2【解析】【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理解题即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：，∴，故答案为：2．15.已知，则__________．【答案】##【解析】【分析】题目主要考查分式的化简求值，先进行化简，然后约分，利用取值范围即可得出结果，熟练掌握运算法则是解题关键．【详解】解：，∵，∴原式，故答案为：．16.若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_____．【答案】且【解析】【分析】本题考查了分式方程，先解分式方程，再根据方程的解为正数，得不等式，求解不等式即可，掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解决本题的关键．【详解】解：∵方程的解为正数，且且且故答案为：且．17.如图，中，于点平分，交与点于点，且交于点，若，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据，即可得出结果．【详解】解：如图，连接，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，即，解得：，故答案为：．18.已知实数满足，则的最大值与最小值的差等于__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了配方法的应用．先求得和的值，再求得和，解不等式组可求得，据此求解即可．【详解】解：由题意，设①，又②，①②得，，即；①②得，．，．．的最大值与最小值分别为12和．最大值与最小值的差等于．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算（1）；（2）．【答案】（1）21（2）【解析】【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能正确根据有理数的运算法则和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．（1）先根据有理数的乘法法则，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加法即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号，最后合并同类项即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．20.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则进行计算，化简后再代值计算即可．【详解】解：原式=，当时，原式=．【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化．解题的关键是掌握分式的混合运算法则，正确的计算．21.如图，在中，为的角平分线．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．（1）求证：≌；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．（1）由角平分线定义得出，由作图知由可证明；（2）由作图知：得出由等腰三角形的性质求出则可得出答案．【小问1详解】证明：∵是的角平分线，∴，由作图知：，在和中，∴．【小问2详解】∵为的角平分线，由作图知∴为的角平分线，．22.如图，在平面直角坐标系中，已知．（1）在图中作出关于轴对称的；（2）直接写出的坐标：__________，__________，__________；（3）在轴上求作一点，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】（1）见解析（2），，（3）见解析【解析】【分析】本题考查了作图轴对称变换，掌握几何图形都是由点构成，画一个图形的对称图时在于找特殊的点的对称点．（1）根据关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，找到，依次连接即可；（2）根据关于y轴对称的点，纵坐标不边，横坐标变为原来的相反数即可得到坐标．（3）找到A关于x轴的对称点，利用两点之间线段最短即可求解．【小问1详解】解：如图所示：即所求；【小问2详解】，，，故答案为：，，；【小问3详解】取点A关于x轴对称点，连接，与x轴交点即为点P，如图，此时的值最小．23.南通轨道交通2号线于2023年12月27日开通运营，南通地铁迎来“双线时代”．从2号线上甲站到乙站，小李由原来地面自驾车辆改为乘坐地铁，相关信息如下表：自驾车辆乘坐地铁路程/1512平均速度/若小李乘坐地铁比自驾车辆能节约15分钟，求小李乘坐地铁从甲站到乙站所用的时间是多少小时？【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式方程的应用，先根据题意列出关于的方程，求出的值，再求小李乘坐地铁从甲站到乙站所用的时间，找出等量关系，求出的值是解题的关键．【详解】解：由题意可得，解得：经检验，是原方程的解，(小时)，答：小李乘坐地铁从甲站到乙站所用的时间是小时．24.如图，中，，垂足为．（1）求证：；（2）点为边上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．【答案】（1）见解析（2）或或【解析】【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．（1）在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求，从而可知是直角三角形．（2）分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别求出的长即可．小问1详解】证明：，，，，又，，，，，，，．【小问2详解】解：分三种情况：①当时，，，；②当时，则：，，∴，∴，∴，∴是的中点，∴；③当时，；综上所述：的长为或或．25.阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”．（1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”；（2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”．①__________（用含的式子表示）；②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________；（3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值．【答案】（1）是，（2）①；②（3）c的值为4或16．【解析】【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键．（1）先计算，再求出结果即可；（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案；（3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可．【小问1详解】解：A与B是互为“关联分式”，理由如下：∵，∴．∴A与B是互为“关联分式”，“关联值”；【小问2详解】解：①∵，∴∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”，∴，∴；②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数，∴或，∴（舍去）；【小问3详解】，∵，∴原式，∴，即，∴，∴，∵a，b为整数，∴一定为5的约数，∴或或1或5，解得：或0或6或10，∴或4或10或6，∴或1，∴c的值为4或16．26.如图1，在和中，，且，作射线，交于点．（1）当点在线段上．①求证：；②判断与的位置关系，并说明理由；（2）和如图2放置时，请你直接判断（1）中①和②的结论是否仍然成立，并结合图1、图2计算：若，点A到的距离为2，求的长度；（3）如图3，点在边上，连接分别交于点，取中点，连接交于点，过点