角（原卷版）2024-2025学年七年级数学上学期复习讲义（人教版）

20242025学年七年级数学上学期同步复习讲义（人教版）角教学目标1．掌握角度制及角度的换算方法，了解角平分线、互余、互补的概念，掌握有关角平分线、互余、互补的求角度问题；2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想；3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。教学重难点重点：角的换算、方位角、角平分线、互余、互补的求角度问题；难点：钟表上有关夹角问题及运算，运用补角和余角的性质解决实际问题。教学内容角角知识点二：角的度量1、角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.2、角的表示方法：一是用三个大写英文字母表示；二是用角的顶点的一个大写英文字母表示；三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.3、角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同；②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行；③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一乘60。4、角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°知识点三：角的比较与运算1、角的比较方法:①度量法；②叠合法.2、角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.知识点四：角的互余、互补关系1、余角、补角（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）结论:同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.要点诠释：①余角（或补角）是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）.②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.知识点四：方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的，所以在应用中：一要确定其始边是正北还是正南；二要确定其旋转方向是向东还是向西；三要确定旋转角度的大小。（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向。（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛。【考点1：角的概念与表示方法】【例1】在下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（

）A． B． C． D．【变式训练】1、如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠α与∠COB是同一个角 C．∠AOC可以用∠O来表示 D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC2、下列说法中，正确的有个①小于90°的角是锐角；②等于90°的角是直角；③大于90°的角是钝角；④平角等于180°；⑤周角等于360°．3、如图所示，回答下列问题：（1）写出能用一个字母表示的角：________________；（2）写出以点B为顶点的角________________；（3）图中共有______________个小于平角的角．【考点2：角的个数问题】【例2】如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（）A．190 B．380 C．231 D．462【变式训练】1、如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（）A．10个 B．18个 C．45个 D．55个2、归纳与猜想：（1）观察上图填空：图1中有个角；图2中有个角；图3中有个角；（2）根据（1）题猜想：在一个角内引n−2条射线可组成个角．

【考点3：角的单位与角度制】【例31】把7.26°用度、分、秒表示正确的是（）A．7°2'12″ B．7°2'6【例32】用度表示49°31′21″＝．【变式训练】1、30.12°＝°′″；100°12′36″＝°．2、（1）26.25°=°′；（2）57°27'=【考点4：角的四则运算】【例4】计算：（1）180°−46°42'（2）28°36'（3）50°24'（4）49°28'5【变式训练】1、计算：（1）45°10′﹣21°35′20′′；（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；（3）42°16′+18°23′×2．2、计算：（1）90°﹣36°12′15″；（2）32°17′53″+42°42′7″；（3）53°÷8．3、计算72°34′÷2+18°33′×4＝．【考点5：钟表问题】【例5】上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（）A．75° B．80° C．70° D．67.5°【变式训练】1、小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为度．2、下午3：40，时针和分针的夹角是（）A．130° B．135° C．140° D．145°3、时钟在7时50分时，时针和分针的夹角为度．4、从8：13分到8：37分，时钟的分针转过的角度是（

）A．148° B．144° C．136° D．108°5、某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（）A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟【考点6：方位角】【例6】如图，在O点的观测站测得渔船A位于东北方向，渔船B位于南偏西30°方向，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船C恰好位于∠AOB的平分线上，则渔船C相对观测站O的方向为（）A．南偏东52.5° B．南偏东37.5° C．南偏东53.5° D．南偏东82.5°【变式训练】1、如图，B地在A地的（）A．北偏东60°，相距200m处 B．北偏西60°，相距200m处 C．南偏西60°，相距200m处 D．北偏东30°，相距200m处2、如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝°．【考点7：利用角平分线的定义求角度】【例7】如图，点O在直线AB上，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝30°，求∠EOB的大小．【变式训练】1、O是直线AE上一点，∠BOD＝90°，OC平分∠BOE，∠COD＝25°．（1）求∠COE的度数；（2）求∠AOD的度数．2、如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON＝150°，∠BOC＝120°．（1）求∠MON的度数；（2）求∠DOM的度数．3、已知，如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）若∠AOB＝130°，则∠COE是多少度？（2）若∠COE＝65°，∠COD＝20°，则∠BOE是多少度？4、如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°①求∠BOD的度数；②OE是∠BOC的平分线吗？为什么？【考点8：设未知数求角度】【例81】如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠BOE＝3∠COE，∠DOE＝81°，求∠BOE，∠AOD的度数．【例82】如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数．【变式训练】1、如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠COE＝2∠EOB，∠DOE＝70°，求∠EOC．2、如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．【考点9：余角、补角的性质】【例91】若∠α与∠β互余，且∠α＝3∠β，则∠β＝（）A．22°30' B．22°50' C．25° D．45°【例92】已知∠α＝25°30'，则它的补角为（）A．25°30′ B．64°30' C．164°30' D．154°30′【变式训练】1、已知∠α＝60°36′，则∠α的余角是．（用度表示）2、如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、已知一个角的补角是115°，则这个角是度．【考点10：利用补角和余角计算求值】【例10】若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度？【变式训练】1、若一个角的补角加上20°后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°2、若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°3、已知一个角的余角比它的补角的还少5°，求这个角．【考点11：补角、余角和角平分线综合运算】【例11】如图，∠AOC和∠AOB分别是∠AOD的余角和补角，且OD是∠BOC的平分线．求∠AOD的度数．【变式训练】1、如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度数；（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度数．2、如图，已知O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）求∠BOC，∠DOE的度数；（2）写出∠BOE的余角．3、如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．（1）求∠AOB的度数；（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度数．4、将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为；（2）若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为；（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．【考点12：角的综合问题】【例12】如图所示，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如果∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数；（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β（α，β均为锐角，α＞β），其他条件不变，求∠MON的度数（用含α，β的式子表示）；（3）从（1）（2）的结果中，你发现了什么规律？【变式训练】1、如图1，∠AOB＝120°，射线OP以1°/秒的速度从OA出发，射线OQ以2