专题14求二次函数解析式的九种类型（知识梳理与方法分类讲解）（浙教版）

专题1.4求二次函数解析式的九种类型（知识梳理与方法分类讲解）第一部分【方法归纳】【方法1】定义型；【方法2】开放型；【方法3】平移型；【方法4】一般式；【方法5】顶点式；【方法6】两根式；【方法7】折叠（对称）型；【方法8】旋转型；【方法9】数形结合型.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】定义型【例1】已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．【答案】m=3或m=﹣1；y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．试题分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，解得，m=3或m=﹣1；当m=3时，y=6x2+9；当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．【变式1】在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．解：设剩下部分的面积为y，则：y=x2+4（0＜x＜2），故选：C．【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积小正方形的面积得出是解题关键．【变式2】（2223九年级上·北京西城·期中）已知函数，若它是二次函数，则函数解析式为．【答案】【分析】由函数是二次函数，可得且，从而可得答案．解：∵函数是二次函数，∴且，当时，解得：，，综上：，∴函数解析式为，故答案为：．【点拨】本题考查的是二次函数的定义，一元二次方程的解法，掌握“二次函数的定义”是解本题的关键．【题型2】开放型【例2】（2324九年级上·河南新乡·期中）若二次函数的图象满足：①开口向上；②与y轴交于点，这个二次函数的解析式可以是．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查构造二次函数．根据开口向上，得到，与y轴交于点，得到，进行构造即可．解：设抛物线的解析式为，∵抛物线的开口向上，与y轴交于点，∴，，∴二次函数可以为：；故答案为：（答案不唯一）【变式1】（2223九年级上·河北保定·期中）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是请写出这个二次函数解析式的一般式：．【答案】【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，，据此可得；解：设函数解析式为，根据题意得，，二次函数解析式是：，故答案为：．【点拨】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式．【变式2】（2223九年级下·河南新乡·阶段练习）请写出一个二次函数解析式，要求满足如下条件：当时，随着的增大而增大；该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点．你写出的二次函数解析式为．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，根据当时，随着的增大而增大可知顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上，再由该二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点可知抛物线与轴的交点为，据此可得出结论，掌握二次函数的性质和平移是解题的关键．解：∵当时，随着的增大而增大，∴抛物线的顶点坐标在轴负半轴，抛物线开口向上，∵二次函数图象向上平移个单位长度后经过原点，∴抛物线与轴的交点为，∴符合条件的二次函数解析式可以为，故答案为：(答案不唯一)．【题型3】平移型【例3】已知二次函数y=2x2,怎样平移这个函数的图象,能使它经过(0,1)和(1,3)两点写出平移后的函数解析式.【答案】将二次函数y=2x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,能使它经过(0,1)和(1,3)两点；y=2x2+4x+1=2(x1)2+3.【分析】平移不改变二次函数的二次项系数，可设新函数解析式为y=2x2+bx+c，把题中的两个点代入即可．解：设平移后的解析式是y=2x2+bx+c,把(0,1),(1,3)代入,得解得b=4,c=1.所以平移后的函数解析式为y=2x2+4x+1=2(x1)2+3.因为原抛物线的顶点为(0,0),新抛物线的顶点为(1,3).所以将二次函数y=2x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,能使它经过(0,1)和(1,3)两点.【点拨】本题考查用待定系数法求函数解析式，平移不改变二次函数的二次项系数，设立适当形式的解析式是解题关键.【变式1】（2324九年级上·四川绵阳·期中）若将一个二次函数的图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么这个函数解析式为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了抛物线的平移．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求解．解：向下平移2个单位，再向左平移3个单位得．故选：D．【变式2】（2023·上海黄浦·一模）如果一个二次函数的图像的对称轴是轴，且这个图像经过平移后能与重合，那么这个二次函数的解析式可以是．（只要写出一个）【答案】【分析】先设原抛物线的解析式为，根据二次函数的图像平移性质知，据此写出符合要求的解析式即可．解∶先设原抛物线的解析式为，经过平移后能与抛物线重合，∴，∴这个二次函数的解析式可以是（答案不唯一）．【点拨】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．【题型4】一般式【例4】（2324九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式．【答案】【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可．解：将，，代入抛物线中得：，解方程组得：，∴抛物线的解析式为：．【变式1】（2324九年级下·浙江台州·开学考试）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格，由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（

）……12………………A． B． C．0 D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．假设三点，，在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．解：设二次函数解析式为y=ax假设三点，，在函数图象上，把，，代入函数解析式得：，解得，函数解析式为，当时，，当时，，故选：D．【变式2】（2324九年级上·北京海淀·期末）已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值：01201则该二次函数有（填“最小值”或“最大值”）．【答案】最大值【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的最值判断，设抛物线解析式为，根据题意，得，解得，根据解析式判断即可．解：，设抛物线解析式为，根据题意，得，解得，故解析式为，∵，∴抛物线有最大值，故答案为：最大值．【题型5】顶点式【例5】（2324八年级下·福建福州·期中）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，若点在该函数图象上，求的值．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式∶在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．设顶点式，然后把已知点的坐标代入求出，从而得到抛物线解析式，把代入函数解析式中求解即可．解∶设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线解析式为，把代入得，解得．【变式1】（2324八年级下·湖南长沙·单元测试）一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．首先确定的值，再利用顶点式即可解决问题．解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，，顶点为，抛物线解析式为．故选：C．【变式2】（2324九年级上·四川自贡·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标为，且图象过点，则此抛物线的解析式为．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设此抛物线的解析式为，然后把代入求出即可，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设此抛物线的解析式为，∵图象过点，∴，解得：，∴此抛物线的解析式为故答案为：【题型6】两根式【例6】（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式；【答案】【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据待定系数法求解析式方法即可求解，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．解：∵抛物线与轴交于，B4,0两点，∴可设抛物线的函数解析式为．

∵抛物线经过点，则，解得，

∴抛物线的函数解析式为．【变式1】（2324九年级上·江苏南通·期末）某同学在利用描点法画二次函数（）的图像时，先取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示：…01234……00…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的轴对称性是解题的关键．利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，利用交点式求出抛物线解析式，求出时的函数值，然后可判断D选项错误．解：∵和时，；和时，，∴抛物线的对称轴为直线，设抛物线解析式为，代入坐标，可得，∴解得，∴该抛物线解析式为，当时，，∴顶点坐标为，∴错误．故选：D．【变式2】（2324九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．根据抛物线的对称性求得与x轴另一个交点坐标，然后利用待定系数法即可求得．解：∵二次函数的图象与x轴交点坐标为，对称轴为，∴与x轴另一个交点坐标为，设二次函数的解析式为，把代入得，，解得，∴，∴其解析式为，故答案为：．【题型7】折叠（对称）型【例7】已知二次函数的图象过点A（1，0）且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式为．【答案】【分析】根据对称轴公式可以解出b的值，再将A点坐标代入原式即可解出答案．解：对称轴公式：

解得：b=﹣4将A（1,0）代入，得0=1－4＋c

解得：c=3∴二次函数的解析式为：【点拨】本题考查了二次函数的基本性质，熟记对称轴公式是解题关键．【变式1】（2223九年级上·天津宝坻·期中）将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可．解：根据题意，得翻折后抛物线的解析式的解析式为：．即．故选：D．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数．【变式2】（2223九年级上·江西上饶·阶段练习）把二次函数的图象沿轴折叠后得到的图象的解析式为．【答案】【分析】设是翻折后二次函数图象上的一点，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数可得是二次函数上一点，由此可得，即可得到答案．解：设是翻折后二次函数图象上的一点，∴是二次函数上一点，∴，∴，∴把二次函数的图象沿轴折叠后得到的图象的解析式为，故答案为：．【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，掌握关于x轴对称的点的坐标关系是解答关键．【题型8】旋转型【例8】（2324九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线经过点．(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；(2)当时，直接写出y的取值范围．(3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为．【答案】(1)，顶点坐标(2)(3)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．（1）把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；（2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解；（3）根据顶点旋转可直接得出答案．解：（1）把代入得：，解得，，抛物线的顶点坐标为；（2），抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，当时，的取值范围是．（3）抛物线，线绕其顶点旋转，得出．【变式1】（2223九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可．解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴将抛物线，绕原点旋转后顶点坐标变为，，∴旋转后的函数关系式为．故选：D．【点拨】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a的值．【变式2】二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将二次函数的图象绕点旋转180度得到图象为，当时，图象上点纵坐标的最小值为，则．【答案】5【分析】根据二次函数解析式可求出A、B两点坐标，设图象G的解析式为y=x2+bx+c，A点的对应点为A′，根据旋转的性质可求出点A′的坐标，把A′、B坐标代入可求出b、c的值，即可得图象G的解析式，可求出图象G的对称轴，根据二次函数的增减性即可得答案．解：∵二次函数y=x24x5的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），∴y=0时，x24x5=0，解得x1=1，x2=5，∴A（1，0），B（5，0），∵将二次函数y=x24x5的图象绕点B旋转180度得到图象为G，∴设图象G的解析式为y=x2+bx+c，A点的对应点为A′，∴点A′坐标为（11，0），把B、A′坐标代入y=x2+bx+c得：，解得：，∴图象G点解析式为y=x2+16x55=(x8)2+9，∴图象G的对称轴为直线x=8，∵1＜0，∴抛物线点开口向下，∵98＜86，∴当时，x=6为函数最小值，∴点C纵坐标y=36+9655=5，故答案为：5【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数点性质及二次函数图象的旋转，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，图象旋转后，抛物线的开口大小不变，即a不变；当a＞0时，图象上的点距离对称轴越近，函数值越小；当a＜0时，图象上的点距离对称轴越近，函数值越大；利用旋转点旋转得出A′坐标进而得到图象G的解析式是解题关键．【题型9】数形结合型【例9】

（2324九年级上·四川绵阳·期末）如图，经过的直线与抛物线交于B，C两点，且，则直线的解析式是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，根与系数的关系，解一元二次方程．设直线的解析式为，把代入求得，联立得，推出，由根与系数的关系得，，根据，求得，得到，解方程即可求解．解：设直线的解析式为，把代入得，∴，∴直线的解析式为，联立得，整理得，由根与系数的关系得，，∵，∴，即，∴，，整理得，解得或（舍去），∴，∴直线的解析式是，故选：D．【变式1】已知二次函数y＝2x2+bx+1，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是（）A．y＝﹣x2+1 B．y＝﹣2x2+1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣4x2+1【答案】B【分析】用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后消去b即可得到所求抛物线的解析式．解：∵y＝2x2+bx+1的顶点坐标是，设x＝，y＝，∴b＝﹣4x，∴y＝＝＝1﹣2x2．∴所求抛物线的解析式为：y＝1﹣2x2．故选：B．【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后再消去参数b是解题的关键．【变式2】（2324九年级上·河北邢台·阶段练习）已知抛物线（a为常数）.（1）当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为；（2）嘉嘉发现，在同一平面直角坐标系中，无论a为何值，该抛物线的顶点始终在一条抛物线C上，则抛物线C的函数解析式为.【答案】【分析】（1）根据对称轴为，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，结合，y随x的增大而增大，判定；（2）根据顶点坐标为，联立，消去a即可．解：（1）∵抛物线（a为常数），∴对称轴为，开口向下，对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵，y随x的增大而增大，∴；故答案为：；（2）∵抛物线∴顶点坐标为，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了抛物线的对称轴，顶点坐标，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为．

【答案】【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．解：点的坐标为，点的坐标为，，抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，设点的坐标为，则点的坐标为，，抛物线，解得，．【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【例2】（2020·山东威海·中考真题）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为．……【答案】【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(1，0)、(0，3)、(1，4)三个点代入函数关系式，得：解得：，∴函数的表达式为：．故答案为：．【点拨】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．2、拓展延伸【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在