临川一中实验学校2025届高三下学期联合考试数学试题含解析

临川一中实验学校2025届高三下学期联合考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列的前项和为，且，，则()A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第三象限C．的共轭复数 D．3．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为()A． B．0 C． D．4．已知平面向量，满足，，且，则（）A．3 B． C． D．55．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]6．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（）A． B． C． D．7．已知集合，，则（）A． B．C．或 D．8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺9．若向量，则（）A．30 B．31 C．32 D．3310．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为()A．5 B．6 C．7 D．911．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点()A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变12．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________.14．已知内角的对边分别为外接圆的面积为，则的面积为_________.15．若正实数x，y，满足x+2y=5，则x216．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=，求的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求边AC的长．18．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．19．（12分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.20．（12分）已知，求的最小值.21．（12分）已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，证明：对任意恒成立.22．（10分）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得.【详解】由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.2、D【解析】

利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为，，，所以的周期为4，故，故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共轭复数为，C错误；，D正确.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.3、D【解析】

运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【详解】解：由，所以，，，故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.5、B【解析】

作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，，，过与直线平行的直线斜率为－1，∴．故选：B．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．6、A【解析】

根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.【详解】五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，所有可能的分组共有种，甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，故甲和乙恰好在同一组的概率是.故选：A.【点睛】本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.7、D【解析】

首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：∵，解得∴，∴.故选：D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.8、A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：

沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，

则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，

则三棱柱的体积V1四棱锥的体积V2=13×1×3×2=2【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．9、C【解析】

先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.10、A【解析】

由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，从而得出的最大值.【详解】因为，则，即整理得，令，设，则，令,则，令，则，故在上单调递增，在上单调递减，则，因为，，由题可知：时，则，所以，所以，当无限接近时，满足条件，所以，所以要使得故当时，可有，故，即，所以：最大值为5.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.11、A【解析】

由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.【详解】由图可知，，又，，又，，，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.12、B【解析】

根据偶函数性质，可判断关系；由时，，求得导函数，并构造函数，由进而判断函数在时的单调性，即可比较大小.【详解】为定义在上的偶函数，所以所以;当时，，则，令则，当时，，则在时单调递增，因为，所以，即，则在时单调递增，而，所以，综上可知，即，故选：B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.【详解】如图，设，由，则，由可得，由，则，所以，得.故答案为：2【点睛】此题考查了抛物线的性质，属于中档题.14、【解析】

由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角，从而有，于是可得三角形边长，可得面积．【详解】设外接圆半径为，则，由正弦定理，得，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．15、8【解析】

分析：将题中的式子进行整理，将x+1当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.详解：x2-3x+1+2点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果.16、【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时.因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为：.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.（Ⅱ）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.【详解】（Ⅰ），所以所以；（Ⅱ），所以，所以，，所以，所以边．【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.18、（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为．（2）直线的参数方程为（为参数），代入化简得：，设两点所对应的参数分别为，则，．19、(1)；(2)．【解析】

(1)由角的度数成等差数列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2)由正弦定理，得.由，得.所以当，即时，.【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．20、【解析】

讨论和的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值【详解】当时，，它在上是减函数故函数的最小值为当时，函数的图象思维对称轴方程为当时，，函数的最小值为当时，，函数的最小值为当时，，函数的最小值为综上，【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。21、（1）（2）见解析【解析】

（1）因为，可得，即可求得答案；（2）要证对任意恒成立，即证对任意恒成立.设，，当时，，即可求得答案.【详解】（1），，，函数在处的切线方程为.（2）要证对任意恒成立.即证对任意恒成立.设，，当时，，，令，解得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.，，，当时，对任意恒成立，即当时，对任意恒成立.【点睛】本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.22、（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用题中条件先得出