人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-1第1课时数列的概念与简单表示法课件

第1课时数列的概念与简单表示法第四章数列4.1数列的概念整体感知[学习目标]

1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象)2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理)3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理)(教师用书)某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预计到第6年时，树木的分枝数是多少吗？年份123456分枝数11235？[讨论交流]

问题1．数列的概念是什么？问题2．什么是数列的通项公式？问题3．数列与函数之间有什么关系？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1数列的概念与分类探究问题1观察以下几列数：(1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2401，16807；(2)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2025，2025，…，2025；(3)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…；(4)－2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－2，4，－8，16，….你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？[提示]

共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(2)项数有限，(3)(4)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)项没有发生变化，(3)项呈现周期性的变化，(4)项的大小交替变化．[新知生成]1．数列的概念(1)一般地，我们把按照____________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的____．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第____项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第____项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用____表示．其中第1项也叫做______．(2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为________．确定的顺序项12an首项{an}2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数______的数列无穷数列项数______的数列有限无限分类标准名称含义按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都______它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都______它的前一项的数列常数列各项都______的数列周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起，有些项______它的前一项，有些项______它的前一项大于小于相等大于小于【教用·微提醒】

(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复．(2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母．(3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外．

(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(5)(2)(6)(1)(6)

(2)(3)(4)(5)

(1)(5)

(2)

(6)

[(1)是有穷数列且是递增数列；(2)是无穷、递减数列；(3)是无穷数列；(4)是无穷数列；(5)是递增数列且是无穷数列；(6)是有穷数列且是常数列．]反思领悟

数列的判定方法及其分类(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的．

(1)(3)(2)(4)(5)(6)(1)(3)(5)(2)(6)(1)(3)

(2)(4)(5)(6)

(1)(3)(5)

(2)

(6)

[根据数列的分类，容易得到，(1)(3)为有穷数列，(2)(4)(5)(6)为无穷数列，(1)(3)(5)为递增数列，(2)为递减数列，(6)为常数列．]探究2数列的通项公式探究问题2我们发现探究问题1中的(1)(2)(4)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？

[新知生成]如果数列{an}的第n项an与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f(n)．【教用·微提醒】

数列的通项公式可能有多个，也可能不存在．序号n

[母题探究]

(1)根据本例中的第(2)题，试写出前4项为3，33，333，3333的一个通项公式．(2)试写出前4项为0.9，0.99，0.999，0.9999的一个通项公式．

反思领悟

根据数列的前几项求其通项公式的方法(1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1调整．(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．

探究3数列与函数的关系探究问题3回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，并思考：数列可以用上面的方法表示吗？[提示]

可以．但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义．[新知生成]从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表：定义域_____________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式数列的通项公式值域自变量从1开始，按照________________________时，对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)________；(3)________正整数集N*从小到大的顺序依次取值列表法图象法

[解]

(1)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15.图象如图4.1－2(1)所示．(2)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，0，－1，0，1.图象如图4.1－2(2)所示．[典例讲评]

3．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N*)，画出它在x轴上方的图象，根据图象求出an的最大值，并在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝－2x2＋13x的图象，根据图象求出f(x)的最大值，并与an的最大值比较．若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？

【教用·备选题】已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．

√

探究4数列通项公式的应用【链接·教材例题】例3如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？分析：要判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2＋2n＝120.也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解．[解]

令n2＋2n＝120，解这个关于n的方程，得n＝－12(舍去)，或n＝10.所以，120是数列{an}的项，是第10项．[典例讲评]

4．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49是不是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是不是该数列的一项呢？(3)数列{an}中有多少个负数项？[思路引导]

(1)已知数列的通项公式，将n＝4，n＝6分别代入通项公式可求得a4和a6的值．(2)假设－49与68是数列中的项．建立n的方程，求出结果观察n是否为正整数即可．(3)令an＜0，解出n的范围，进而求n.

反思领悟

求项或判断某数是否为数列的项的方法(1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项．(2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．

√243题号1应用迁移√

C

[A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．]23题号14

√

23题号41√3．(多选)下面四个结论中正确的是(

)A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})到实数集上的函数B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点C．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8}D．对所有的n∈N*，都有an＋3＝an，则数列{an}是以3为周期的周期数列ABD

[{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，C项错误；ABD正确．故选ABD.]√√243题号1

201．知识链：(1)数列的概念与分类．(2)数列的通项公式．(3)数列与函数的关系．2．方法链：观察法、归纳法、联想转化法．3．警示牌：(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面．(2)不注意用(－1)n或(－1)n+1进行调节，不注意分子、分母间的联系．回顾本节知识，自主完成