人教A版高中数学选择性必修第一册第三章3.2.1第2课时双曲线及其标准方程的应用课件

第2课时双曲线及其标准方程的应用第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程整体感知[学习目标]

1．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算)2．双曲线在实际生活中的应用．(数学建模、数学运算)(教师用书)上节我们研究了双曲线的定义、标准方程．这节我们进一步研究利用双曲线的定义求轨迹方程、求最值及一些与双曲线有关的实际问题．[讨论交流]

问题1．双曲线的定义是什么？问题2．如何建立实际问题的双曲线模型？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1双曲线的实际生活应用【链接·教材例题】例2已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．[分析]

先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸声在以A，B为焦点的双曲线上，因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上．

【链接·教材例题】例4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图3.2-10(1))．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．

[典例讲评]

1．(源自北师大版教材)相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4s．已知当时的声速为340m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．[解]

设爆炸点为P，由已知，得|PA|－|PB|＝340×4＝1360(m)．因为|AB|＝2km＝2000m>1360m，|PA|>|PB|，所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上．

反思领悟

利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系．(2)求出双曲线的标准方程．(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．

[母题探究]1．若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积．

2．若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积．

反思领悟

在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|与|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|与|PF2|的关系式，从而求出|PF1|与|PF2|的值．但是，一般我们不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．

√

√

反思领悟

在求解与双曲线有关的长度问题时，注意定义的应用，在求距离的和时往往需要利用定义进行转化，注意最值取得的条件，往往在三点共线时取到．

√C

[由题知点C(1，4)，点B在圆C上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A′为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10．]应用迁移23题号411．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s(声速为340m/s)，则爆炸点所在曲线可能为(

)A．椭圆的一部分

B．双曲线的一支C．线段

D．圆√B

[设爆炸点为P，由声速为340m/s，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则|PA|－|PB|＝680；当680＜|AB|时，点P所在的轨迹为双曲线的一支；当680＝|AB|时，点P所在的轨迹为一条射线．故选B．]23题号41

√

23题号41

√23题号41

23题号414．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于________．

4

1．知识链：(1)双曲线的实际应用．(2)双曲线定义的应用．(3)利用双曲线的定义求最值．2．方法链：坐标法、转化法．3．警示牌：双曲线在实际生活的应用中，建模出错．

[提示]

|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c．课时分层作业(二十九)双曲线及其标准方程的应用题号135246879101112131415

√

题号135246879101112131415

√

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号3524687910111213141514．某农户在自家地块开起生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区：△ABC为鱼塘休闲区，矩形BCMN为果园种植区，以CM为直径的半圆为住宿区．现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB，AC送到矩形BCMN的果园种植区去，若AB＝CB＝2km，AC＝1km，该农户在矩形BCMN果园中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近，而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近，设这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为(

)A．圆

B．椭圆

C．抛物线

D．双曲线√题号352468791011121314151D

[由题意，从点A出发经C到界线上一点P，与从A点出发经B到P，所走的路程是一样的．即|AC|＋|PC|＝|AB|＋|PB|，所以|PC|－|PB|＝|AB|－|AC|．又由|AB|＝|CB|＝2km，|AC|＝1km，所以|PC|－|PB|＝1＜|CB|＝2．根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分．故选D．]题号352468791011121314151

√

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√√

题号352468791011121314151题号352468791011121314151

B

[在双曲线C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，记点F1(－5，0)，F2(5，0)，当|PQ|－|PR|取最大值时，P在双曲线C1的左支上，如图所示，所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10．故选B．]√题号35246879101112131415112．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为____________．

题号352468791011121314151

题号35246879101112131415113．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km处，C在B北偏西30°方向4km处，P为敌炮阵地．某时刻，在A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此经过4s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，若A地需炮击P地，则炮击的方向角为北偏东________．

30°题号352468791011121314151

题号352468791011121314151题号35246879101112131415114．某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100m，|BP|＝150m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．题号352468791011121314151[解]

如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设点M沿AP，BP到点P的路程相等，