人教A版高中数学选择性必修第一册第二章2.5.2圆与圆的位置关系课件

2.5.2圆与圆的位置关系第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系整体感知[学习目标]

1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象)2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算)3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)(教师用书)日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．[讨论交流]

问题1．圆与圆之间有怎样的位置关系，如何判定？问题2．圆与圆相交时，半径、公共弦、圆心距之间有怎样的数量关系？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1两圆位置关系的判断探究问题观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？(1)圆与圆之间有几种位置关系？(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？[提示]

(1)5种．(2)可以，借助圆的方程可以通过代数法和几何法两种途径．[新知生成]1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系__________________|r1－r2|<d<________________________d>r1＋r2d＝r1＋r2r1＋r2d<|r1－r2|d＝|r1－r2|

方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数_个_个_个两圆的位置关系________或________或____210相交外切内切外离内含【教用·微提醒】

(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．(3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线．【链接·教材例题】例5已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．[分析]

思路1：圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和r1＋r2或两半径的差的绝对值|r1－r2|的大小关系，判断两圆的位置关系．

[典例讲评]

1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？

(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．发现规律

试总结判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围的步骤．[提示]

(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径．(2)计算两圆圆心的距离d．(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．[学以致用]

1．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是(

)A．相交

B．外离

C．外切

D．内含B

[法一：画出两圆，如图所示，由图可直观得出两圆外离．

√

探究2相交弦及圆系方程问题[典例讲评]

2．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．

[母题探究]

1．本例条件不变，求两圆公共弦所在直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝25所截得的弦长．

2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．

反思领悟

1．两圆的公共弦问题(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．2．过两圆的交点的圆的方程已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．

√√

探究3圆与圆的综合问题[典例讲评]

3．求圆C1：(x＋1)2＋(y＋3)2＝1与C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝9的公切线的方程．

反思领悟

1．处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切和外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．2．合理运用代数法与几何法处理直线与圆、圆与圆的问题，建立模型，利用方程思想或数形结合思想求解．[学以致用]

4．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6y＋5＝0的公切线有(

)A．1条

B．2条

C．3条

D．4条C

[由圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6y＋5＝0，可得圆C2的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为(0，3)，半径为2．圆C1与圆C2的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，所以圆C1与圆C2外切，故圆C1与圆C2的公切线有3条．故选C．]√5．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是_______________________________________．

(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36

[分析]

我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．

应用迁移23题号411．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系为(

)A．相交

B．外切

C．内切

D．内含√

23题号412．圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为(

)A．4x－1＝0

B．4y－1＝0C．x＋y－1＝0

D．x－y－1＝0√A

[两圆方程相减，消去二次项得4x－1＝0，此即两圆公共弦所在直线的方程．]23题号413．若圆C1：x2＋y2－2x－m＝0与圆C2：x2＋y2＋4y＋m＝0恰有2条公切线，则m的取值范围为(

)A．(0，4)

B．(－1，4)

C．(－1，0)

D．[0，4)√

23题号414．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为_________________________．

x2＋y2－3x＋y－1＝01．知识链：(1)两圆的位置关系．(2)两圆的公共弦．(3)圆系方程．(4)圆与圆的综合问题．2．方法链：几何法、代数法、待定系数法．3．警示牌：易混淆内切和外切．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．判断两圆的位置关系有哪些方法？[提示]

(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．2．两圆相切时，圆心距和两圆半径有怎样的关系？[提示]

圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，两圆外切时，|O1O2|＝r1＋r2；两圆内切时，|O1O2|＝|r1－r2|．3．两圆相交时，如何求两圆的公共弦长？[提示]

求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．课时分层作业(二十四)圆与圆的位置关系题号135246879101112131415一、选择题1．圆x2＋2x＋y2＋8y－8＝0和圆x2－4x＋y2－4y－2＝0的位置关系是(

)A．相交

B．相切

C．相离

D．内含√

题号135246879101112131415题号135246879101112131415

√

题号352468791011121314151

√√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．已知圆C1：(x－a)2＋y2＝36与圆C2：x2＋(y－b)2＝4只有一条公切线，则a2＋b2＝________．

16

题号3524687910111213141517．已知圆C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋y2＝3交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为60°，则|AB|＝________．

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√√√BCD

[对于A，由点(1，1)在圆C1的内部，得1＋1＋2m－10＋m2＜0，解得－4＜m＜2，故A错误；对于B，若m＝2，则圆C1：x2＋y2＋4x－10y＋4＝0，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4x－14y＋9＝0，故B正确；对于C，圆C1的标准方程为(x＋m)2＋(y－5)2＝25，圆心为C1(－m，5)，半径r1＝5，圆C2的标准方程为x2＋(y＋2)2＝9，圆心为C2(0，－2)，半径r2＝3，题号352468791011121314151

题号352468791011121314151题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号35246879101112131415112．若圆C1：x2＋y2－2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－2mx＝0(m＞0)的公共弦长为2，则m的值为_______