人教A版高中数学选择性必修第二册第五章5-3-2第1课时函数的极值课件

第1课时函数的极值第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值整体感知[学习目标]

1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象)2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算)3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算)4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算)(教师用书)“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．

[讨论交流]

问题1．极大值、极小值的概念是什么？问题2．函数的极大值点、极小值点是什么？问题3．如何求函数的极值？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1函数极值的概念探究问题1如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？[提示]

在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷．探究问题2你能从函数与导数角度描述一下探究问题1中在各个山峰、山谷附近的特点吗？[提示]

以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)＞0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)＜0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.[新知生成]极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_______________，右侧_______________，则把a叫做函数y＝f(x)的__________，f(a)叫做函数y＝f(x)的________．f′(x)＜0f′(x)＞0极小值点极小值(2)极大值点与极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_______________，右侧_______________，则把b叫做函数y＝f(x)的__________，f(b)叫做函数y＝f(x)的________．(3)极大值点、极小值点统称为________，极大值和极小值统称为______．f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值极值点极值【教用·微提醒】

1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数．2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点．[典例讲评]

1．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

③⑤

反思领悟

关于函数极值的概念的理解(1)可导函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x＝x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数，即在某区间上单调递增或单调递减的函数没有极值．[学以致用]

1．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4√A

[由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个“穿过”x轴的交点的横坐标分别为c，d，其中c＜d，可知在(a，c)，(d，b)上，f′(x)≥0，所以此时函数f(x)在(a，c)，(d，b)上单调递增，在(c，d)上，f′(x)＜0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，所以x＝d时，函数取得极小值．则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.]

表5.3-2x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减单调递增

[解]

(1)f′(x)＝x2－2x－3，x∈R，令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：

x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减极小值－6单调递增

x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值3单调递增∴当x＝1时，f(x)有极小值，且f(x)极小值＝3，无极大值．发现规律

求可导函数f(x)极值的步骤(1)定义域：求函数的________．(2)求导：求函数的________________．(3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0____________，即导函数f′(x)的零点．(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内．(5)结论：若导数f′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f(x)在x＝x0处取得________；若左负右正，则函数f(x)取得________．定义域导数f′(x)全部的根x0极大值极小值

[解]

由题意可得f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．解方程f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2.解不等式f′(x)>0，可得x<－2或x>2，此时f(x)单调递增．解不等式f′(x)<0，可得－2<x<2，此时f(x)单调递减．因此，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而且f′(－2)＝f′(2)＝0.

√√

当a＝3时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)，令f′(x)＞0，得x＜1或x＞3；令f′(x)＜0，得1＜x＜3，则f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，f(x)在

x＝1处取得极大值，不符合题意．故选A.(2)已知f(x)＝(x－2)ex，可得f′(x)＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝1，所以函数f(x)的极值点为x＝1.又g(x)＝xlnx＋ax，可得g′(x)＝lnx＋a＋1，若函数f(x)与g(x)有相同的极值点，此时g′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，经检验a＝－1符合题意．故选A.]反思领悟

已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．[学以致用]

3．已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极大值，则m的值为(

)A．1 B．2C．3 D．1或3√

243题号1应用迁移√

23题号142．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)(

)A．既有极小值，也有极大值B．有极小值，但无极大值C．有极大值，但无极小值D．既无极小值，也无极大值√B

[由图象可知x＜a时，f′(x)＜0，函数单调递减，x＞a时，f′(x)＞0，函数单调递增，所以x＝a是函数的极小值点．故选B.]23题号41√3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极值－2，则a，b的值分别为(

)A．1，－3 B．1，3C．－1，3 D．－1，－3

243题号14．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的极大值为________．

－11．知识链：(1)函数极值的概念．(2)函数极值的判定及求法．(3)函数极值的应用．2．方法链：方程思想、分类讨论．3．警示牌：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．函数极值的求解依据与步骤是什么？[提示]

一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：①求出函数的定义域及导数f′(x)；②解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；③用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；④由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；如果