2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2.2两角和与差的正切公式课时作业含解析新人教A版必修4

课时作业26两角和与差的正切公式——基础巩固类——一、选择题1．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，则tan(α－β)等于(A)A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．3 D．－3解析：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq\f(1,3).2.eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)的值为(B)A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．2解析：eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.3．设sinα＝eq\f(3,5)，(eq\f(π,2)<α<π)，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为(C)A．－eq\f(2,7) B．－eq\f(2,5)C．－eq\f(2,11) D．－eq\f(11,2)解析：∵sinα＝eq\f(3,5)，(eq\f(π,2)<α<π)，∴tanα＝－eq\f(3,4).∵tan(π－β)＝eq\f(1,2)，∴tanβ＝－eq\f(1,2).∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(2,11).4．若α＋β＝eq\f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为(D)A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2解析：∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝taneq\f(3π,4)(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1，∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.5．已知tanα＝eq\f(1,2)，tan(α－β)＝－eq\f(2,5)，那么tan(β－2α)的值为(B)A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(1,12)C．－eq\f(9,8) D．eq\f(9,8)解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－eq\f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝－eq\f(\f(1,2)－\f(2,5),1＋\f(1,2)×\f(2,5))＝－eq\f(1,12).6．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为(B)A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)解析：sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，则cosα＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(1,2)；所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.又α＋β∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，故α＋β＝eq\f(3π,4).二、填空题7.eq\f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝－eq\f(\r(3),3).解析：eq\f(1＋tan12°tan72°,tan12°－tan72°)＝－eq\f(1,tan72°－12°)＝－eq\f(\r(3),3).8．已知△ABC中，eq\r(3)tanAtanB－tanA－tanB＝eq\r(3)，则C＝eq\f(π,3).解析：依题意eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\r(3)，即tan(A＋B)＝－eq\r(3)，又0<A＋B<π，所以A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝π－A－B＝eq\f(π,3).9．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.解析：留意到10°＋20°＋60°＝90°，∴eq\f(1,\r(3))＝tan30°＝tan(10°＋20°)＝eq\f(tan10°＋tan20°,1－tan10°tan20°)，即1－tan10°tan20°＝eq\r(3)(tan20°＋tan10°)，∵tan60°＝eq\r(3)，∴tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1.三、解答题10．已知α，β均为锐角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，求tan(α＋β)的值．解：tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，因为α，β均为锐角，所以－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－α<eq\f(π,4)，0<β<eq\f(π,2)，又y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是单调函数，所以β＝eq\f(π,4)－α，即α＋β＝eq\f(π,4)，所以tan(α＋β)＝1.11．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，求2α－β的值．解：∵tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7).∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7))),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7))))＝eq\f(1,3)<1.∵α∈(0，π)，∴0<α<eq\f(π,4)，0<2α<eq\f(π,2).又tanβ＝－eq\f(1,7)<0，β∈(0，π)，∴eq\f(π,2)<β<π，∴－π<－β<－eq\f(π,2)，∴－π<2α－β<0.又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝eq\f(tanα－β＋tanα,1－tanα－βtanα)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).——实力提升类——12．在△ABC中，有0<tanA·tanB<1，那么tanC的值(B)A．恒大于0 B．恒小于0C．可能为0 D．可正可负解析：因为0<eq\f(sinAsinB,cosAcosB)<1，且A，B，C为△ABC的内角，所以cosAcosB－sinAsinB>0，即cos(A＋B)>0，所以cosC<0，所以C为钝角，所以tanC<0.故选B．13．设向量a＝(2tanα，tanβ)，向量b＝(4，－3)，且a＋b＝0，则tan(α＋β)等于(A)A．eq\f(1,7) B．－eq\f(1,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(1,7)解析：由题意可得a＋b＝(2tanα＋4，tanβ－3)＝0，∴tanα＝－2，tanβ＝3.∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－2＋3,1－－2×3)＝eq\f(1,7).选A．14．已知tan2α＝eq\f(1,4)，tan(β－α)＝eq\f(2,5)，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为－eq\f(1,12).解析：依题意，知tanα＝eq\f(1,2)，tan(β－α)＝eq\f(2,5)，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq\f(tanβ－α－tanα,1＋tanβ－αtanα)＝eq\f(\f(2,5)－\f(1,2),1＋\f(2,5)×\f(1,2))＝－eq\f(1,12).15．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq\f(2π,3)，(2)taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝eq\f(2π,3)，(2)taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)同时成立．由(1)得eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3)，所以tan(eq\f(α,2)＋β)＝eq\f(tan\f(α,2)＋tanβ,1－tan\f(α,2)tanβ)＝eq\r(3).又taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)，所以taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3)，因此taneq\f(α,2)，tanβ可以看成是方程x