2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.2导数的运算法则作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE第三章3.23.2.2A级基础巩固一、选择题1．曲线运动方程为s＝eq\f(1－t,t2)＋2t2，则t＝2时的速度为(B)A．4 B．8C．10 D．12[解析]s′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,t2)))′＋(2t2)′＝eq\f(t－2,t3)＋4t，∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝eq\f(2－2,8)＋8＝8.2．函数y＝x·lnx的导数是(C)A．y′＝x B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx＋1 D．y′＝lnx＋x[解析]y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1.3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(D)A．eq\f(19,3) B．eq\f(16,3)C．eq\f(13,3) D．eq\f(10,3)[解析]f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝eq\f(10,3).4．(2024·邵阳三模)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(D)A．eq\f(e2,e2－1) B．eq\f(4e2－1,e2)C．eq\f(e2－1,4e2) D．eq\f(4e2,e2－1)[解析]f′(x)＝f′(－2)ex－2x；∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)；解得f′(－2)＝eq\f(4e2,e2－1).故选D．5．(2024·揭阳一模)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满意f′(α)＝3f(α)，则tan2α＝(A)A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)[解析]f′(x)＝cosx＋sinx；∴f′(α)＝cosα＋sinα；又f′(α)＝3f(α)；∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；∴tan2α＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).故选A．6．若函数f(x)＝f′(1)x3－2x2＋3，则f′(1)的值为(D)A．0 B．－1C．1 D．2[解析]∵f′(x)＝3f′(1)x2－4x，∴f′(1)＝3f′(1)－4，∴f′(1)＝2.二、填空题7．(2024·全国Ⅱ文，13)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为__y＝2x－2__.[解析]因为y′＝eq\f(2,x)，y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1))＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.8．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数a＝__2__.[解析]∵f′(x)＝(xsinx)′＝x′sinx＋x·(sinx)′＝sinx＋xcosx∴f′(eq\f(π,2))＝sineq\f(π,2)＋eq\f(π,2)coseq\f(π,2)＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－eq\f(a,2)，∴1×(－eq\f(a,2))＝－1，∴a＝2.三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，可知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝6,－1＋b－c＋2＝1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－c＝－3,b－c＝0))，解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.B级素养提升一、选择题1．不行能以直线y＝eq\f(1,2)x＋b作为切线的曲线是(C)A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,x) D．y＝ex[解析]若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x2)<0，∴曲线y＝eq\f(1,x)上随意点处的切线的斜率k<0，故其切线方程不行能为y＝eq\f(1,2)x＋b.2．已知函数f(x)＝eq\f(ax,x2＋3)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋3＝0平行，则实数a的值为(B)A．2 B．4C．6 D．8[解析]f′(x)＝eq\f(－ax2＋3a,x2＋32)，f′(1)＝eq\f(a,8)，而直线斜率为eq\f(1,2)，∴eq\f(a,8)＝eq\f(1,2)，∴a＝4.3．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(0，f(0))处的切线方程为(A)A．x－2y＝0 B．2x－y＝0C．x－4y＝0 D．4x－y＝0[解析]∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y′|x＝0＝eq\f(1,2)，∵f(0)＝0，∴切线方程为：y＝eq\f(1,2)x，即x－2y＝0.4．(多选题)下列求导计算错误的是(ACD)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)))′＝eq\f(lnx－1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(log2e,x)C．(2x)′＝2x×eq\f(1,ln2) D．(xsinx)′＝cosx[解析]A选项应为eq\f(1－lnx,x2)，B选项正确，C选项应为2xln2，D选项应为sinx＋xcosx.故选ACD．5．(多选题)已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值可以为(AD)A．4 B．2C．－4 D．－2[解析]∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，于是解得m＝－2或m＝4.故选AD．二、填空题6．(2024·天津文，10)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__e__.[解析]∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exlnx＋eq\f(ex,x)，∴f′(1)＝e.7．(2024·全国卷Ⅰ文，15)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__y＝2x__.[解析]设切点坐标为(x0，lnx0＋x0＋1)．由题意得y′＝eq\f(1,x)＋1，则该切线的斜率k＝(eq\f(1,x)＋1)|x＝x0＝eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.三、解答题8．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解析](1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为13x－y－32＝0.(2)解法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直线l过原点(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)，又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为