2025年高考一轮复习 专题03 等式性质与不等式性质（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）

专题03等式性质与不等式性质目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳一、不等式的定义用不等号(<、>、≤、≥、≠)表示不等关系的式子叫不等式，如f(x)＞g(x),f(x)≥g(x)等.用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式，用“≤”“≥”连接的不等式叫非严格不等式.如果a-b是正数，那么a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对.温馨提示:文字语言与数学符号间的转化文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至少≥小于＜至多≤大于或等于≥不少于≥小于或等于≤不多于≤二、不等式的分类1.按照不等号的开口方向分类(1)同向不等式：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式.例：a>b,c>d.(2)异向不等式：在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式.例：a>b,c<d.2.按成立条件分类(1)绝对不等式：无论用什么实数代替不等式中的字母都能使不等式成立的不等式.例：x+5>x+4.(2)条件不等式：只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母才能使不等式成立的不等式.例：2x-1>1-x.(3)矛盾不等式：无论用什么实数代替不等式中的字母都不能使不等式成立的不等式.例：x²<-2.三、用不等式表示不等关系文字语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不多于不少于数学符号><≥≤≤≥≤≥将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这影响到不等式表达不等关系的正确性.温馨提示：在常用的符号中，要注意“≥”(或“≤”)的含義，例如：a≥b,应读作“a大于或等于b”,其含義与“a不小于b”相同.a<b,a=b两式中只要有一个成立，就有a≤b.四、两个数（式）比较大小的方法1.作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))2.作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.))3.函数性质法：如指数函数、对数函数的单调性:a＞1时单调递增；0＜a＜1时单调递减.、五、等式的性质等式有下面的基本性质：(1)如果a＝b，那么b＝a；（对称性）(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（传递性）(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；（同加性，同减性）(4)如果a＝b，那么ac＝bc；（同乘性）(5)如果a＝b，c≠0，那么.（同除性）六、不等式的基本性质1.对称性：a>b⇔b<a,a<b⇔b>a.2.传递性：a>b,b>c→a>c,c<b,b≤a→c<a.3.可加性：a>b⇔a+c>b+c.推论：(移项法则)a+b>c⇔a>c-b.同向可加性：a>b,c>d→a+c>b+d.5.可乘性：a>b,c>0→ac>bc.6.同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd.7.可乘方性：a>b>0→a”>b”(n∈N,n≥1).可开方性：a>b>0→*a>b.常用结论：1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质(1)若a>b>0，m>0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).不等式常常结合指数、对数函数比较大小，有时结合充要条件的判定，多以选择、填空题形式出现.一、比较两个数(式)大小的方法1.比较法：分作差法、作商法和介值比较法三种(1)作差比较法的基本步骤：①作差：a-b.②变形：分解因式.③定号：判断差值的符号.④下结论：a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b.(2)作商比较法(a>0,b>0)的基本步骤：①作商：②变形：用相关运算性质化简.③判定大小：判定与1的大小关系④下结论：,(3)介值比较法①介值比较法的理论依据是若a>b,b>c,则a>c,其中b是a与c的中介值.②介值比较法的关键是通过对不等式恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值.该方法常用在以后将要学习的指、对、幂式比较大小问题中。2.反证法如果正面证明不等式有困难，或正面证明需要分多种情况但反面只有一种情况时，通常采用反证法来证明不等式.其大致步骤为：(1)假设要证的不等式不成立，即得出与结论相反的不等式。(2)以假设为依据，作出一系列的推理，得出与题干条件或相关定理矛盾的结果.(3)否定假设，得出要证的不等式成立。3.函数性质法(1)使用范围：比较两个指数形式或对数形式的实数的大小.(2)步骤：利用公式化为同底的指数或对数形式→依据函数性质比较大小。温馨提示：1.比较两个实数a与b的大小，作差法须归结为判断它们的差a—b的符号，因此，因式分解越彻底越好，若用配方法化成和的形式，则各项符号须相同2.用作商法比较大小时，被除数与除数同号，否则不等号方向有可能弄错3.比较两个数或代数式(均大于零)的大小，也可化为比较两个数平方的大小4.在比较两个数的大小时，若作差后不易变形，则可与中间量(如0或1等)进行比较，再由不等式的传递性得到两数的大小关系。5.在比较两个数的大小时，若差式中变量较多，不易变形，则应考虑消元，减少式中的变量，有利于判断差式的符号.二、利用不等式性质求范围的方法1.借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；2.整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件；3.结合不等式的传递性进行求解.温馨提示：在不等式中，没有同向相减、