2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：常用逻辑用语（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：常用逻辑用语（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•湘阴县校级模拟）下列命题中错误的是（）A．若直线l的一个方向向量是a→=(2，1，3)，平面α的一个法向量是B．已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形，那么△ABC的面积是64C．若空间中有n（n≥3，n∈Z）条直线，其中任意两条相交，则这n条直线共面 D．若向量a→，b→满足|a→|=3，且a→（多选）2．（2024•湖北模拟）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．已知函数f(x)=4A．函数f（x）的值域为（0，2] B．函数f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形 C．函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线x＝1对称 D．若函数g（x）满足y＝g（x+1）﹣1为奇函数，且其图象与函数f（x）的图象有2024个交点，记为Ai（xi，yi）（i＝1，2，…，2024），则∑i=1（多选）3．（2024•孝南区校级模拟）关于x的不等式x2+mx+2＞0对任意x∈R恒成立的充分不必要条件有（）A．0≤m≤2 B．-1≤m≤22 C．﹣1≤m（多选）4．（2024•姜堰区校级模拟）对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，则称A⊕B为集合A，B的对称差．例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B C．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁RA⊕∁RB（多选）5．（2024•昌乐县校级模拟）已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β（多选）6．（2024•重庆模拟）命题“存在x＞0，使得mx2+2x﹣1＞0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．m＞﹣2 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＞1（多选）7．（2024•芝罘区校级模拟）已知函数f（x）＝ex•x3，则以下结论正确的是（）A．f（x）在R上单调递增 B．f(logC．方程f（x）＝﹣1有实数解 D．存在实数k，使得方程f（x）＝kx有4个实数解（多选）8．（2024•魏都区校级三模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）A．全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C43C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有C54D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C5（多选）9．（2024•泉州模拟）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体．则下列结论正确的是（）A．（A1A→+A1DB．A1C→•（AC．向量AD1→与向量A1D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为|AB→•AA1（多选）10．（2024•潍坊三模）下列说法正确的是（）A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件 B．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件 C．若x1，x2，x3，x4，x5，2的平均数是7，方差是6，则x1，x2，x3，x4，x5的方差是65D．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X，且X∼B（10，0.8），则X＝8的概率最大

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：常用逻辑用语（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•湘阴县校级模拟）下列命题中错误的是（）A．若直线l的一个方向向量是a→=(2，1，3)，平面α的一个法向量是B．已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为2的正三角形，那么△ABC的面积是64C．若空间中有n（n≥3，n∈Z）条直线，其中任意两条相交，则这n条直线共面 D．若向量a→，b→满足|a→|=3，且a→【考点】命题的真假判断与应用；平面向量的投影向量；斜二测法画直观图；平面的基本性质及推论；平面的法向量．【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；空间向量及应用；数学运算．【答案】ABC【分析】利用向量的坐标运算求解，考虑线在面上还是在面外判断选项A；利用斜二测画法的直观图与原图形面积关系计算判断选项B；利用举例子判断选项C；利用投影向量的定义计算判断选项D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，因为a→⋅n→=2×(-2)+1×1+1×3=0，所以a→⊥n→，则可以得到对于B，根据题意S△A'B'C'=34×(2)2对于C，例如三条直线，两两相交可以确定1个平面或3个平面，故C错误；对于D，由|a→|=3，a→⋅b→=-6，则|b故选：ABC．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及平面的基本性质和空间向量的应用，属于基础题．（多选）2．（2024•湖北模拟）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．已知函数f(x)=4A．函数f（x）的值域为（0，2] B．函数f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形 C．函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线x＝1对称 D．若函数g（x）满足y＝g（x+1）﹣1为奇函数，且其图象与函数f（x）的图象有2024个交点，记为Ai（xi，yi）（i＝1，2，…，2024），则∑i=1【考点】命题的真假判断与应用；函数的值域；函数的奇偶性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】BCD【分析】根据题意，分析函数的值域可得A错误，设h（x）＝f（x+1）﹣1，分析h（x）为奇函数，可得f（x）的对称中心，可得B正确，由f（x）的对称性可得f（x）+f（2﹣x）＝2，两边同时求导，分析可得C正确，由f（x）、g（x）的对称性可得两个函数的交点也关于（1，1）对称，进而分析可得D正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f(x)=42x+2，由于2x＞0，则2x+2＞2，则0＜f（即函数f（x）的值域为（0，2），A错误；对于B，设h（x）＝f（x+1）﹣1，则h（x）＝f（x+1）﹣1=42x+1+2-其定义域为R，有h（﹣x）=1-2-x1+2-x=-1-故f（x）的对称中心为（1，1），B正确；对于C，f（x）的对称中心为（1，1），即f（x）+f（2﹣x）＝2，两边同时求导可得：f′（x）﹣f′（2﹣x）＝0，即f′（x）＝f′（2﹣x），则函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；对于D，函数g（x）满足y＝g（x+1）﹣1为奇函数，且g（x）的对称中心为（1，1），而f（x）的对称中心为（1，1），则g（x）与函数f（x）的图象的2024个交点也关于（1，1）对称，则x1+x2024＝x2+x2023＝……＝2，y1+y2024＝y2+y2023＝……＝2，则i=12024（xi+yi）=i=12024xi+i=12024y故选：BCD．【点评】本题考查函数的对称性和奇偶性，涉及函数图象的交点，属于中档题．（多选）3．（2024•孝南区校级模拟）关于x的不等式x2+mx+2＞0对任意x∈R恒成立的充分不必要条件有（）A．0≤m≤2 B．-1≤m≤22 C．﹣1≤m【考点】充分条件与必要条件．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；数学运算．【答案】AC【分析】先求不等式x2+mx+2＞0对任意x∈R恒成立的充要条件，然后根据选项判断与其包含关系即可．【解答】解：当不等式x2+mx+2＞0对任意x∈R恒成立时，有Δ＝m2﹣4×2＜0，解得-2记A=(-由题知，集合A的真子集即为不等式x2+mx+2＞0对任意x∈R恒成立的充分不必要条件．故选：AC．【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（多选）4．（2024•姜堰区校级模拟）对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，则称A⊕B为集合A，B的对称差．例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B C．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁RA⊕∁RB【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；定义法；集合；逻辑推理．【答案】ABD【分析】理解集合的新定义，然后结合韦恩图逐一判断A、B、C选项；对于D选项，举出特例，例如R＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，然后分别算出A⊕B和∁RA⊕∁RB，即可得解．【解答】解：对于A选项，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，即选项A正确；对于B选项，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，即选项B正确；对于C选项，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，即选项C错误；对于D选项，设R＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，∁RA＝{4，5，6}，∁RB＝{1，5，6}，所以∁RA⊕∁RB＝{1，4}，因此A⊕B＝∁RA⊕∁RB，即D正确．故选：ABD．【点评】本题考查集合的新定义问题，理解新定义，并结合韦恩图进行思考是解题的关键，考查学生逻辑推理能力和抽象能力，属于中档题．（多选）5．（2024•昌乐县校级模拟）已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β C．若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；数形结合法；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象．【答案】BC【分析】根据线面平行的判定定理，性质定理以及有关结论即可判断各选项的真假．【解答】解：对A，若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n或者m与n相交，或者m与n异面，所以A错误；对B，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，正确；对C，若n⊂α，α∥β，则n∥β，又m∥n，m⊄β，所以m∥β，正确；对D，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，所以m∥β或m⊂β，所以D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查利用线面平行的判定定理，性质定理以及有关结论判断命题的真假，属于基础题．（多选）6．（2024•重庆模拟）命题“存在x＞0，使得mx2+2x﹣1＞0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．m＞﹣2 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＞1【考点】充分条件与必要条件．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．【答案】CD【分析】转化为m＞1-2xx2，结合二次函数的性质求得m【解答】解：存在x＞0，使得mx2+2x﹣1＞0，即m＞1-2xx2=（1x）2﹣2×1x=即x＝1时，1-2xx2的最小值为﹣故m＞﹣1；所以命题“存在x＞0，使得mx2+2x﹣1＞0”为真命题的一个充分不必要条件是：{m|m＞﹣1}的真子集，结合选项可得，符合条件的答案为：CD．故选：CD．【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（多选）7．（2024•芝罘区校级模拟）已知函数f（x）＝ex•x3，则以下结论正确的是（）A．f（x）在R上单调递增 B．f(logC．方程f（x）＝﹣1有实数解 D．存在实数k，使得方程f（x）＝kx有4个实数解【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算．【答案】BCD【分析】求得f（x）的导数，可得单调区间、极值和最值，即可判断A，B，C；讨论x＝0，x≠0时，k＝ex•x2，设g（x）＝ex•x2，求得导数，单调性和极值，结合图象可判断D．【解答】解：函数f（x）＝ex•x3的导数为f′（x）＝x2ex（3+x），当x＞﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜﹣3时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝﹣3处取得极小值，且为最小值﹣27e﹣3．故A错误；由﹣1＞﹣27e﹣3．可得f（x）＝﹣1有实数解，故C正确；由log52=1log25，e-12=1e，而log25＞2，e∈（1lnπ＞1，即有﹣3＜log52＜e-12＜lnπ，由f（x）在（﹣3，+∞）递增，可得f（log52）＜f（e-f（x）＝kx，即ex•x3＝kx，显然x＝0为原方程的一个解；x≠0时，k＝ex•x2，设g（x）＝ex•x2，导数为g′（x）＝ex•x（x+2），可得﹣2＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减，x＞0或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）在x＝0处取得极小值0，在x＝﹣2处取得极大值4e﹣2，作出y＝g（x）的图象如右：当0＜k＜4e﹣2，y＝k与y＝g（x）的图象有三个交点，即k＝ex•x2，有三个不等实根，综上可得存在实数k，使得方程f（x）＝kx有4个实数解，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数和方程的转化思想，以及数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题．（多选）8．（2024•魏都区校级三模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）A．全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C43C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有C54D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C5【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【答案】ACD【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，每个小球有4种放法，则五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法，A正确；对于B，将5个小球分为4组，放入4个盒子，有C52A4对于C，先在5个小球种选出4个，放入4个盒子的一个盒子，有C54⋅对于D，将5个小球分为4组，放入4个盒子，有C52A4故选：ACD．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．（多选）9．（2024•泉州模拟）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体．则下列结论正确的是（）A．（A1A→+A1DB．A1C→•（AC．向量AD1→与向量A1D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为|AB→•AA1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；整体思想；空间位置关系与距离；逻辑推理．【答案】ABC【分析】利用正方体的性质，空间向量的线性、数量积运算判定．【解答】解，设正方体的棱长为1，①，（A1A→+A1D②，∵A1B1→-A1A→=AB1→，∵AB1⊥面A1D③，AD1→④，∵AB→故选：ABC．【点评】本题考查了空间向量的线性、数量积运算，考查了正方体的性质，属于中档题．（多选）10．（2024•潍坊三模）下列说法正确的是（）A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件 B．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件 C．若x1，x2，x3，x4，x5，2的平均数是7，方差是6，则x1，x2，x3，x4，x5的方差是65D．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X，且X∼B（10，0.8），则X＝8的概率最大【考点】命题的真假判断与应用；互斥事件与对立事件；n重伯努利试验与二项分布；用样本估计总体的离散程度参数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】BCD【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由方差的计算公式分析C，由二项分布的性质分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当取出2个球为一个黑球和一个红球时，两个事件同时发生，则事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”不是互斥事件，A错误；对于B，设第一次向上的点数是1为事件A，两次向上的点数之和是7为事件B，易得P（A）=16，P（B）事件AB，即第一次向上的点数是1且第二次向上的点数是6，则P（AB）=1则有P（A）P（B）＝P（AB），故两个事件为相互独立事件，B正确；对于C，若x1，x2，x3，x4，x5，2的平均数是7，方差是6，则16（x1+x2+x3+x4+x5+2）＝7，16（x12+x22变形可得：x1+x2+x3+x4+x5＝40，x12对于x1，x2，x3，x4，x5，其平均数x=15（x1+x2+x3+x4+x5方差S2=15（x12+x22+对于D，某人在10次射击中，设击中目标的次数为X，且X∼B（10，0.8），假设X＝k时，概率最大，即P（X＝k）≥P（X＝k+1）且P（X＝k）≥P（X＝k﹣1），则有C10解可得：395≤k≤445，而k∈Z，则故X＝8的概率最大，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及二项分布的性质、相互独立事件的判断，属于基础题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．3．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．4．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．5．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→投影，A向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量a（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．6．斜二测法画直观图【知识点的认识】斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．7．平面的基本性质及推论【知识点的认识】平面的基本性质及推论：1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．【解题方法点拨】1．公理1是判定直线在平面内的依据．2．公理2及推论是确定平面的依据．3．公理3是判定两个平面相交的依据．8．平面的法向量【知识点的认识】1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．直线l上的向量e→以及与e→共线的向量叫做直线①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n→的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是与平面平行或在平面内，则有n→•④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为n→=（u，v，（2）列：根据a→⋅n→=（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n→9．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．（2）对立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．例2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P(A)=12，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案为：5点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3．对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根据对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因为对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故选C．点评：本题