工程控制原理（现代部分）课件：状态空间描述与分析

《工程控制原理》（现代部分）

状态空间描述与分析

《现代控制理论》状态空间描述与响应稳定性、能控性与能观性的判据对角型变换、能控型变换、能观型变换本章重点2.1状态空间描述状态变量与状态方程传递函数矩阵状态空间描述四个常数矩阵！个微分方程状态方程输出方程状态矩阵输入矩阵输出矩阵直通矩阵状态变量输出变量输入变量n阶系统定义状态空间描述每台电动机两台电动机的耦合状态变量输出变量输入变量“电”“机”微分变量作为状态变量实例状态变量输出变量输入变量主对角块:每台电机的模型非对角块:两台电机的耦合微分变量作为状态变量状态空间描述状态变量输出变量输入变量状态空间描述消除中间变量：另一种描述状态变量输出变量输入变量状态空间描述存在高阶导数时，其变量作为状态变量，同时低阶导数也要作为状态变量另一种描述状态变量输出变量输入变量状态空间描述状态变量输出变量输入变量同一个系统，可以有不同的状态空间描述（1）（2）不同状态变量输出变量输入变量状态空间描述状态变量输出变量输入变量同一个系统，可以有不同的状态空间描述状态变量之间呈线性变换关系不同状态空间描述状态变量:会出现复合变量、虚拟变量输入有导数？都能写成？√传递函数矩阵传递函数矩阵实现？特征方程n阶系统，n个特征根传递函数的实现（1）传递函数的实现（1）（2）同一个传递函数，可以有不同的状态空间描述传递函数矩阵的实现超出分母的阶数？2.2状态响应与稳定性状态转移矩阵特征值与模态齐次状态方程状态转移矩阵齐次状态方程状态转移矩阵齐次状态方程状态转移矩阵齐次状态方程状态转移矩阵（1）（2）化为对角型是一个基本工具基础模态衍生模态状态转移矩阵（拉氏变换）√求状态转移矩阵另一个方法非齐次状态方程状态响应输出响应瞬态响应稳态响应瞬态响应与模态有关稳态响应与输入有关稳定性状态响应输出响应瞬态响应稳态响应瞬态响应与模态有关稳态响应与输入有关对于线性系统，零平衡态与非零平衡态的稳定性是一致的稳定临界稳定不稳定劳斯判据2.3能控性与能观性能控阵与能观阵及其运用对偶系统及其性质能控性初始状态是能控的；若系统任意的初始状态都是能控的，就称系统是完全能控的。能控性：有限时间，强迫回到原点稳定性：无限时间，自由回到原点结论：以构造能控格拉姆矩阵能控判据关键：以构造的控制量可使得能控性证明能控格拉姆矩阵再证有界能控性证明反证产生矛盾能控格拉姆矩阵能控性初始状态是能控的；若系统任意的初始状态都是能控的，就称系统是完全能控的。能控性：有限时间，强迫回到原点稳定性：无限时间，自由回到原点结论：以构造能控格拉姆矩阵能控判据以构造能控阵能控阵判据复杂简单能控性证明反证产生矛盾能控性证明反证凯莱-哈密顿定理产生矛盾能控性只有1路输入变量，可以控制n路状态变量只要有好的配合，实例链式结构能控性只需一路输入便可完全控制只需两路输入便可完全控制利用能控阵判据，可以很好地分析各路输入的作用为控制变量的选择、增删等提供理论指导能观性已知、，就被唯一确定初始状态是能观的；若系统任意的初始状态都是能观的，就称系统是完全能观的。可否根据上的、，唯一确定？能观格拉姆矩阵可逆，便可求出反之，亦然能观性能观阵只与有关只需一路输出只需两路输出利用能观阵判据，可以很好地配置输出传感器对偶系统称它们为对偶系统都求转置、输入与输出对调（1）（2）（3）能控与能观互为对偶两个独立的系统只证一半即可2.4状态空间的线性变换对角型、能控型、能观型三大变换能控（观）与特征值的关系状态变换与相似系统相似系统不是两个独立的系统，而是有相同输入、输出的同一个系统（1）有相同的输出响应和传递函数矩阵有相同的稳定性（2）有相同的能控性和能观性（3）有相同的对偶性（4）相似变换相似系统（1）状态变换与相似系统相似系统不是两个独立的系统，而是有相同输入、输出的同一个系统（1）有相同的输出响应和传递函数矩阵有相同的稳定性（2）有相同的能控性和能观性（3）有相同的对偶性（4）相似变换相似系统（2）状态变换与相似系统相似系统不是两个独立的系统，而是有相同输入、输出的同一个系统（1）有相同的输出响应和传递函数矩阵有相同的稳定性（2）有相同的能控性和能观性（3）有相同的对偶性（4）相似变换相似系统（3）状态变换与相似系统（1）有相同的输出响应和传递函数矩阵有相同的稳定性（2）有相同的能控性和能观性（3）有相同的对偶性（4）相似变换相似系统（4）？√状态变换与相似系统（1）有相同的输出响应和传递函数矩阵有相同的稳定性（2）有相同的能控性和能观性（3）有相同的对偶性（4）相似变换相似系统既然状态变换（相似系统）不改变系统特性，那么将化为简洁的形式，就可以更好地进行分析与设计更简洁易分析状态变换与相似系统状态变换是一个重要的分析工具，怎样选择？以的特征向量构造变换阵对角型变换：能控型变换：能观型变换：以的能控阵构造变换阵以的能观阵构造变换阵对角型变换以的特征向量构造变换阵变换阵的构造写成矩阵形式有相同特征值的概率为0对角型变换以的特征向量构造变换阵虚拟输入，状态解耦（1）稳定性每个状态分量的稳定性和模态组成清晰了模态始终存在，无法改变特征值不能控对角型变换以的特征向量构造变换阵（2）能控性与输入脱节了，不能控；原状态分量线性组合不能控，能控本质模态不在输出中特征值不能观对角型变换以的特征向量构造变换阵（3）能观性，不能观；原状态分量线性组合不能观，能观对角型变换以的特征向量构造变换阵（3）能观性，不能观；，能观稳定性（1）（2）能控性，不能控；，能控尽管稳定性、能控性、能观性都是以“状态”是否收敛、能否控制、可否估计来定义的，但经对角型变换，将无数可能的“状态”情况“压缩”到了n个“特征值”上状态矩阵已被解耦，多变量的耦合情况归入到输入矩阵与输出矩阵，这将为多变量解耦控制提供有指导意义的信息理论分析的桥梁工具能控型变换耦合耦合以的能控阵构造变换阵链式结构单变量按输入通道分块特征方程的系数施加控制只改变这一行的系数结论：如何构造多变量控制器标准型（单变量）条件：完全能控“种子”以的能控阵构造变换阵变换阵的构造变换阵的性质控制器标准型（单变量）以的能控阵构造变换阵（1）状态矩阵链式结构非平凡行特征系数控制器标准型（单变量）以的能控阵构造变换阵（2）输入矩阵（3）输出矩阵与直通矩阵控制器标准型（单变量）以的能控阵构造变换阵便于控制器的设计控制器标准型（多变量）条件：完全能控以的能控阵构造变换阵不是方阵“顺序”挑法+重新排列“种子”能控性指数变换阵的构造以的能控阵构造变换阵控制器标准型（多变量）（1）状态矩阵以的能控阵构造变换阵控制器标准型（多变量）耦合耦合非平凡行链式结构（1）状态矩阵以的能控阵构造变换阵控制器标准型（多变量）（2）输入矩阵是中第块最后一行采用了“顺序”挑法且以的能控阵构造变换阵控制器标准型（多变量）（3）输出矩阵与直通矩阵（2）输入矩阵以的能控阵构造变换阵耦合耦合非平凡行按输入通道分块控制器标准型（多变量）能观型变换耦合耦合以的能观阵构造变换阵链式结构单变量按输出通道分块特征方程系数结论：与控制器标准型正好成对偶转置如何构造多变量观测器标准型（单变量）以的能观阵构造变换阵控制器标准型观测器标准型能观能控结构做转置运算输入与输出对调以的能观阵构造变换阵结构做转置运算输入与输出对调控制器标准型也可直接推出观测器标准型观测器标准型（单变量）“顺序”挑法+重新排列以的能观阵构造变换阵观测器标准型（多变量）单变量“顺序”挑法+重新排列以的能观阵构造变换阵按输出通道分块耦合耦合观测器标准型（多变量）能控性分解①②③④③④①性质？线性相关正交能控性分解能控性分解能控子系统不能控子系统能稳定性：若所有不能控的特征值满足，称系统是能稳定的，或是能镇定的能控性分解能控判据反证矛盾反证矛盾状态能控与特征值能控完全等价能控性分解能控判据状态能控与特征值能控完全等价不能控子系统的极点在最后的传递函数矩阵消失了，意味着不能控子系统的极点在传递函数矩阵中发生了“零极点对消”能观性分解能观子系统不能观子系统能观判据若所有不能观的特征值满足，称系统是能检测的状态能观与特征值能控完全等价能检测性：正交能观性分解不能观子系统的极点在最后的传递函数矩阵消失了，意味着不能观子系统的极点在传递函数矩阵中发生了“零极点对消”正交能控能观性