专题16 填空题重点出题方向圆中的计算专项训练（解析版）

专题16填空题重点出题方向圆中的计算专项训练（原卷版）

模块一2022中考真题集训

类型一垂径定理

1．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是O中弦

⊙

AB的中点，CD经过圆心O交O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则O的半径长为m．

10

⊙⊙

3

思路引领：连接OA，如图，设O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利

用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝⊙r2，然后解方程即可．

解：连接OA，如图，设O的半径为rm，

∵C是O中弦AB的中⊙点，CD过圆心，

⊙

∴CD⊥AB，AC＝BCAB＝2m，

1

在Rt△AOC中，∵OA=＝2rm，OC＝（6﹣r）m，

∴22+（6﹣r）2＝r2，

解得r，

10

=3

即O的半径长为m．

10

⊙

故答案为：．3

10

3

总结提升：本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两

条弧．

2．（2022•长沙）如图，A、B、C是O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，

⊙

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则BC的长为7．

思路引领：根据已知条件证得△AOD≌△BCD（SAS），则BC＝OA＝7．

解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，

∴OD＝CD，

∵OC⊥AB，

∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，

在△AOD和△BCD中，

𝑂=𝑂

∠𝑂�=∠𝑂�

∴�△�A=O�D�≌△BCD（SAS），

∴BC＝OA＝7．

故答案为：7．

总结提升：本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知垂径定理内容．

3．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为

2厘米，则镜面半径为26厘米．

思路引领：根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的

半径．

解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，

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由题意可得：OC⊥AB，ACAB＝10（厘米），

1

设镜面半径为x厘米，=2

由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，

∴x＝26，

∴镜面半径为26厘米，

故答案为：26．

总结提升：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心

距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．

4．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这

个花坛的面积为400.（结果保留）

ππ

思路引领：根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．

解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，

∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，

∴AD＝BDAB（AC+BC）（11+21）＝16，

111

∴CD＝BC=﹣B2D＝=221﹣16＝5，=2×

在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，

在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，

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2

∴SO＝×OB＝400，

故答⊙案为π：400．π

π

总结提升：本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计

算公式是正确解答的前提．

5．（2022•宁夏）如图，在O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OB＝10，AB＝16，则cosB＝．

4

⊙

5

思路引领：根据垂径定理得BDAB＝8，再利用余弦的定义可得．

1

解：∵半径OC垂直弦AB于点=D，2

∴BDAB＝8，

1

=

∴cosB2，

𝑂84

===

故答案为�：�．105

4

总结提升：5本题主要考查了垂径定理，三角函数的定义，熟练掌握垂径定理是解题的关键．

类型二垂径定理的应用

6．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的

最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

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思路引领：设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DMAD

1

＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．=2

解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，

设球的半径为rcm，

由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），

由垂径定理得：AM＝DMAD＝6（cm），

1

在Rt△OAM中，由勾股定=理2得：AM2+OM2＝OA2，

即62+（12﹣r）2＝r2，

解得：r＝7.5，

即球的半径为7.5cm，

故答案为：7.5．

总结提升：本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得

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出方程是解题的关键．

7．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角（＜180°）与剩余圆心角的比值为黄金比时，扇子会显

得更加美观，若黄金比取0.6，则﹣的度数α是α90°．β

βα

思路引领：根据已知，列出关于，的方程组，可解得，的度数，即可求出答案．

αβαβ

解：根据题意得：，

�

�=0.6

�+�=360°

解得，

�=135°

∴﹣�＝=222255°°﹣135°＝90°，

故答β案α为：90°．

总结提升：本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．

类型三圆周角定理

8．（2022•襄阳）已知O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于45°

或135°．⊙2

思路引领：首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．

解：如图，

∵OA＝OC＝1，AC，

∴OA2+OC2＝AC2，=2

∴∠AOC＝90°，

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∴∠ADC＝45°，

∴∠AD'C＝135°，

故答案为：45°或135°．

总结提升：本题主要考查了圆周角定理，勾股定理逆定理等知识，明确一条弦对着两种圆周角是解题的

关键．

9．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的

测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为cm．

13

2

思路引领：连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．

解：连接AC，

∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，

∴AC是圆形镜面的直径，

由勾股定理得：AC13（cm），

2222

=��+��=12+5=

所以圆形镜面的半径为cm，

13

故答案为：cm．2

13

总结提升：本2题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径

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是解此题的关键．

10．（2022•郴州）如图，点A．B，C在O上，∠AOB＝62°，则∠ACB＝31度．

⊙

思路引领：由圆周角定理可求得答案．

解：∵∠AOB＝62°，

∴∠ACB∠AOB＝31°，

1

故答案为=：231．

总结提升：本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．

11．（2022•永州）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝120度．

⊙⊙

思路引领：根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求

出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．

解：∵∠ADC是所对的圆周角，

∴∠AOC＝2∠AD�C�＝2×30°＝60°，

∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．

故答案为：120．

总结提升：本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

12．（2022•随州）如图，点A，B，C在O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为120°．

⊙

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思路引领：根据圆周角定理解答即可．

解：由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，

∵∠ABC＝60°，

∴∠AOC＝120°，

故答案为：120°．

总结提升：本题考查的是圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半．

13．（2022•湖州）如图，已知AB是O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交O

于点D．若∠APD是所对的圆周⊙角，则∠APD的度数是30°．⊙

��

思路引领：由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠

��=��

AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD∠AOD＝30°，得出答案．

1

解：∵OC⊥AB，=2

∴，

∴∠��AO=D�＝�∠BOD，

∵∠AOB＝120°，

∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝60°，

1

=

∴∠APD∠AOD260°＝30°，

11

故答案为=：230°．=2×

总结提升：本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定

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理，圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键．

类型四圆内接四边形

14．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC

的度数为40°．⊙⊙

思路引领：利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得

到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．

解：∵四边形ABCD内接于O，∠ADC＝130°，

∴∠B＝180°﹣∠ADC＝18⊙0°﹣130°＝50°，

∵AB为O的直径，

∴∠ACB⊙＝90°，

∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，

故答案为：40°．

总结提升：本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对

角互补．

15．（2022•雅安）如图，∠DCE是O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度

数为144°．⊙

思路引领：根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．

解：∵∠DCE＝72°，

∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，

∵四边形ABCD内接于O，

⊙

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∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，

由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，

故答案为：144°．

总结提升：本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

类型五三角形的外接圆

16．（2022•常州）如图，△ABC是O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC，则O的半径是1．

⊙=2⊙

思路引领：连接AO并延长交O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，

再利用同弧所对的圆周角相等⊙可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出

AD的长，从而求出O的半径，即可解答．

解：连接AO并延长⊙交O于点D，连接CD，

⊙

∵AD是O的直径，

∴∠ACD⊙＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ADC＝∠ABC＝45°，

∴AD2，

��2

==2=

∴O的𝑠半�4径5°是1，2

故答⊙案为：1．

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总结提升：本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当

的辅助线是解题的关键．

17．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点

O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来

△ABD，△ACD，△BCD．

思路引领：由网格利用勾股定理分别求解OA，OB，OC，OD，OE，根据三角形的外心到三角形顶点的

距离相等可求解．

解：由图可知：

OA，

22

OB=1+2=5，

22

OC=1+2=5，

22

OD=1+2=5，

22

OE=1+2=5，

22

∴O=A＝1OB+＝3OC=＝O10D≠OE，

∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，

故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．

总结提升：本题主要考查三角形外接圆与外心，勾股定理，求得OA＝OB＝OC＝OD≠OE是解题的关键．

18．（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，

⊙

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则cos∠ACB的值是．

213

13

思路引领：先连接AD，BD，然后根据题意，可以求得cos∠ADB的值，再根据圆周角定理可以得到∠

ACB＝∠ADB，从而可以得到cos∠ACB的值．

解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，

∵AD是O的直径，

∴∠ABD⊙＝90°，

∵AB＝6，BD＝4，

∴AD2，

2222

=��+𝑂=6+4=13

∴cos∠ADB，

𝑂4213

===

∵∠ACB＝∠A�D�B，21313

∴cos∠ACB的值是，

213

故答案为：．13

213

13

总结提升：本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是求出∠ADB

的余弦值．

类型六圆的切线

19．（2022•资阳）如图，△ABC内接于O，AB是直径，过点A作O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC

的度数是35度．⊙⊙

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思路引领：根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC＝55°，再根据切线的性质可得∠BAD＝90°，

即可求解．

解：∵AB为直径，

∴∠C＝90°，

∵∠B＝35°，

∴∠BAC＝55°，

∵AD与O相切，

∴AB⊥A⊙D，即∠BAD＝90°，

∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．

故答案为：35．

总结提升：本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角

是解题的关键．

20．（2022•衢州）如图，AB切O于点B，AO的延长线交O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的

度数为25°．⊙⊙

思路引领：连接OB，先根据切线的性质求出∠AOB，再根据OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解决

问题．

解：如图，连接OB．

∵AB是O切线，

∴OB⊥A⊙B，

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∴∠ABO＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，

∵OC＝OB，

∴∠C＝∠OBC，

∵∠AOB＝∠C+∠OBC，

∴∠C＝25°．

故答案为：25°．

总结提升：本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是添

加辅助线构造直角三角形．

21．（2022•盐城）如图，AB、AC是O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则

∠C＝35°．⊙

思路引领：连接AO并延长交O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求出∠BAE

＝55°，然后利用直径所对的⊙圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可

求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．

解：连接OA并延长交O于点E，连接BE，

⊙

∵AD与O相切于点A，

∴∠OAD⊙＝90°，

∵∠BAD＝35°，

∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，

∵AE是O的直径，

∴∠ABE⊙＝90°，

∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，

∴∠C＝∠E＝35°，

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故答案为：35．

总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键．

22．（2022•泰州）如图，PA与O相切于点A，PO与O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重

合．若∠P＝26°，则∠C的⊙度数为32°．⊙���

思路引领：连接AO并延长交O于点D，连接DB，由切线的性质得出∠OAP＝90°，由∠P＝26°，

求出∠AOP＝64°，由圆周角⊙定理即可求出∠C＝∠D＝32°．

解：如图，连接AO并延长交O于点D，连接DB，

⊙

∵PA与O相切于点A，

∴∠OAP⊙＝90°，

∵∠P＝26°，

∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，

∴∠D∠AOP64°＝32°，

11

∵点C=在2上=，2且×与点A、B不重合，

∴∠C＝∠�D�＝�32°，

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故答案为：32．

总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的关键．

23．（2022•海南）如图，射线AB与O相切于点B，经过圆心O的射线AC与O相交于点D、C，连接

BC，若∠A＝40°，则∠ACB＝⊙25°．⊙

思路引领：连接OB，利用切线的性质定理可求∠ABO＝90°，利用直角三角形的两个锐角互余可得∠

AOB，利用圆周角定理即可求得结论．

解：连接OB，如图，

∵射线AB与O相切于点B，

∴OB⊥AB，⊙

∴∠ABO＝90°．

∵∠A＝40°，

∴∠AOB＝50°，

∴∠ACB∠AOB＝25°．

1

故答案为=：25．

总结提升：本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，圆周角定理，连接OB是解决此

类问题常添加的辅助线．

24．（2022•泰安）如图，在△ABC中，∠B＝90°，O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，

若∠A＝32°，则∠ADO＝64°．⊙

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思路引领：连接OC，根据圆周角定理求出∠DOC，根据切线的性质得到OC⊥BC，证明AB∥OC，根据

平行线的性质解答即可．

解：连接OC，

∵∠A＝32°，

∴∠DOC＝2∠A＝64°，

∵BC与O相切于点C，

∴OC⊥B⊙C，

∵∠B＝90°，

∴∠B+∠OCB＝180°，

∴AB∥OC，

∴∠ADO＝∠DOC＝64°，

故答案为：64°．

总结提升：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

25．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点

A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为或．

36

25

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思路引领：根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．

解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，

∵圆与AC相切于点A．

∴OA⊥AC，

由题意可知：D点位置分为两种情况，

①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，

∴OA＝r，OC＝4﹣r，

∵AC＝2，

在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，

解得：r，

3

=

即AD＝AO2；

3

=

②当∠ADC＝290°时，AD，

��⋅��

=

∵AO，AC＝2，OC＝4﹣r��，

35

==

∴AD2，2

6

=5

综上所述，AD的长为或，

36

故答案为：或．25

36

25

总结提升：本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．

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26．（2022•连云港）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，连接BC，与O交于点D，

连接OD．若∠AOD＝82°，则⊙∠C＝49°．⊙⊙

思路引领：根据AC是O的切线，可以得到∠BAC＝90°，再根据∠AOD＝82°，可以得到∠ABD的

度数，然后即可得到∠⊙C的度数．

解：∵AC是O的切线，

∴∠BAC＝90⊙°，

∵∠AOD＝82°，

∴∠ABD＝41°，

∴∠C＝90°﹣∠ABD＝90°﹣41°＝49°，

故答案为：49．

总结提升：本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

27．（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠O于点A，长边与O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已

⊙⊙

知AC＝6cm，CB＝8cm，则O的半径为cm．

25

⊙

3

思路引领：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC＝6cm，AD

＝BC＝8cm，设O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．

解：连接OA，O⊙B，过点A作AD⊥OB于点D，如图，

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∵长边与O相切于点B，

∴OB⊥BC⊙，

∵AC⊥BC，AD⊥OB，

∴四边形ACBD为矩形，

∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．

设O的半径为rcm，

则⊙OA＝OB＝rcm，

∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，

在Rt△OAD中，

∵AD2+OD2＝OA2，

∴82+（r﹣6）2＝r2，

解得：r．

25

=

故答案为：3．

25

总结提升：本3题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，依据题意添加适当的

辅助线是解题的关键．

类型七三角形的内切圆

28．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的O在Rt△ABC内

平移（O可以与该三角形的边相切），则点A到O上的点的距离的3最大值为2⊙1．

⊙⊙7+

思路引领：连接OE、OF，根据正切的定义求出∠ABC，根据切线长定理得到∠OBF＝30°，根据含30°

角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．

解：当O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交O于点D，则AD为点A到O上的点的距离的

最大值，⊙⊙⊙

设O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，

则⊙OE⊥BC，OF⊥AB，

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∵AC＝6，BC＝2，

3

∴tan∠ABC，AB4，

��22

∴∠ABC＝6=0°��，=3=��+��=3

∴∠OBF＝30°，

∴BF，

𝑂

∴AF＝=A𝑡B�﹣∠�B�F�＝=33，

∴OA32，

22

∴AD=＝2𝑂+1，𝑂=7

故答案为：72+1．

7+

总结提升：本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、切线长定理，根据题意得出AD为点A到O

上的点的距离的最大值是解题的关键．⊙

29．（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O为Rt△ABC的内切圆，则图

⊙

中阴影部分的面积为（结果保留）5．

3

π−4π

思路引领：根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面

积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣O面积的，代入数据计算即可．

3

⊙

解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥A4B于点F，连接OA、OC、OB，如图，

∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，

∴四边形CEOD是正方形，

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∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，

∴AB5，

2222

∵S△A=BC＝�S�△A+OC�+�S△C=OB+4S△+BO3A，=

∴，

4×34⋅𝑂3⋅𝑂5⋅𝑂

=++

解得2OD＝O2E＝OF＝21，2

∴图中阴影部分的面积为：1×1﹣×125，

4×333

−π×=−π

故答案为：5．244

3

−4π

总结提升：本题考查三角形的内切圆、勾股定理、扇形面积的计算，解答本题的关键是求出内切圆的半

径．

30．（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的O是△ABC的内切圆，连接OB、

⊙

OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含的式子表示）

13

�π

4

思路引领：根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．

解：∵∠A＝80°，O是△ABC的内切圆，

⊙

∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°（180°﹣∠A）＝130°，

111

∠���+∠���−

2222

∴S扇形DOE（cm），

2

130�×313

==�

故答案为：3．604

13

�

4

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总结提升：本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题

的关键．

31．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个

大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为

289．

思路引领：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和

直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后

解关于AB的一元二次方程解决问题．

解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，

则四边形EODC为正方形，

∴OE＝OD＝3，

��+��−��

∴AC+BC﹣AB=＝6，2

∴AC+BC＝AB+6，

∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，

∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，

而BC2+AC2＝AB2，

∴2BC×AC＝12AB+36①，

∵小正方形的面积为49，

∴（BC﹣AC）2＝49，

∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，

把①代入②中得

AB2﹣12AB﹣85＝0，

∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，

∴AB＝17（负值舍去），

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∴大正方形的面积为289．

故答案为：289．

总结提升：本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完

全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．

类型八圆与多边形

32．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等

边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个

正六边形的周长为54厘米．

思路引领：根据对称性和周长公式进行解答即可．

解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BNAB＝9（厘米），

1

∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），=3

故答案为：54．

总结提升：本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解

决问题的前提．

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33．（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝30度．

思路引领：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底

角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点

M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠

ACF即可得出∠ACF＝30°．

𝑂13

===

解：设�正�六边3形的边3长为1，

正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，

∵AB＝BC，∠B＝120°，

∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣120°）＝30°，

1

∵∠BAF＝120°，=2×

∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，

如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），

∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，

∴BMAB，

11

=2=2

∴AM，

222123

∴AC＝=2A�M�−�，�=1−(2)=2

=3

∵tan∠ACF，

𝑂13

===

∴∠ACF＝30°��，33

故答案为：30．

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总结提升：本题考查了正多边形与圆，根据tan∠ACF得出∠ACF＝30°是解题的关键．

𝑂13

=��==3

34．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪3出一个扇形，这个扇形的面积为

2

3𝑡

（用含的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．10

3�

π

5

思路引领：先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆

锥的底面周长，可求出底面直径．

解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠BCD108°，

(5−2)×180°

=5=

∴S扇形；

22

108�×�3𝑡

==

又∵弧BD的长36为010，即圆锥底面周长为，

108𝑡3𝑡3𝑡

=

∴圆锥底面直径为18，055

3�

故答案为：；5．

2

3𝑡3�

总结提升：本1题0考查5正多边形与圆，扇形面积，弧长及圆周长，掌握扇形面积、弧长、圆周长的计算方

法是正确解决问题的关键．

35．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于O，且有公共顶点A，则∠BOH的

度数为12度．⊙

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思路引领：求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．

解：如图，连接OA，

正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，

正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，

∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．

故答案为：12．

总结提升：本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．

36．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定

1

⊙

长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交O于点E，F．若OA＝1，则，AE，2AB所围

成的阴影部分面积为．⊙𝑂

111

�+3−

1242

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思路引领：连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB

＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB，即可求出答案．

解：连接OE、OB，

由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，

∴EA＝EO，

∵OA＝OE，

∴△AOE为等边三角形，

∴∠AOE＝60°，

∵四边形ABCD是O的内接正四边形，

∴∠AOB＝90°，⊙

∴∠BOE＝30°，

∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，

∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB

＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB

＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB

＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB

2

30�×1131

=+×1×1×−×1×1

3602．22

111

=�+3−

故答12案为：42．

111

�+3−

1242

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总结提升：本题考查了正多边形与圆，正确运用扇形面积公式是解题的关键．

37．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直

线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是4．

7

思路引领：设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形

的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，

由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO∠AFE60