专题03 二次函数的实际应用（原卷版）

第三讲二次函数的实际应用

目录

必备知识点.......................................................................................................................................................1

考点一运用二次函数求最大利润.................................................................................................................1

考点二二次函数与几何图形.......................................................................................................................4

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必备知识点

知识点1二次函数的应用

1.利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定

出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此

在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

2.几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的

最值的讨论．

考点一运用二次函数求最大利润

1．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经

过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数

关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

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2．如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面

如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处

点E到地面AB的距离为8米．

（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．

（2）该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不

能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离），试判断一辆大型货运

汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．

3．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每台售价（元）与月

销量（台）满足的函数关系式如下表所示．已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35

元．设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为w元．

每台售价（元）303132…30+x

月销售量（台）180170160…y

（1）上述表格中，y＝（用含x的代数式表示）；

（2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品的售价应上涨多少元？

（3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？

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4．随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖．某经销商与生产厂家签订了一份该产

品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台．根据市场调研得知，一年内该产品的售价y（万

元/台）与签约后的月份数x（1≤x≤12且为整数）满足关系式：y＝．

估计这一年实际每月的销售量p（台）与月份x之间存在如图所示的变化趋势．

（1）求实际每月的销售量p（台）与签约后的月份数x之间的函数表达式；

（2）请估计这一年中签约后的第几月实际销售利润W最高，最高为多少万元？

5．某大型农贸市场新建了100个固定摊位，经调查分析发现，去年1月至12月，每个固定摊位的

租金y（元）与月份x之间满足关系式如下表，每月租出的固定摊位的个数p（个）与月份x之间

的函数图象如图所示．每个固定摊位租用者支付月租金给市场管理公司，由市场管理公司为每个

摊位支付管理费，管理费m（元）与月份x之间关系满足m＝20x（1≤x≤12，且x为正整数）．

x（x为正整数）1≤x≤67≤x≤12

y/元400﹣40x+820

（1）试求p与x之间的函数关系式；

（2）分别时算3月份和8月份市场管理公司的收益（收益＝租金﹣摊位管理费）；

（3）请你通过计算说明市场管理公司哪个月的收益最大？

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考点二二次函数与几何图形

6．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的

底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设

EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，

并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．

7．问题探究

（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC，AD＝CD＝10，AC＝12，S四边形ABCD＝72，求△ABC

的面积；

问题解决

（2）如图2，有一个菱形广场ABCD，已知AD＝60米，∠DAB＝60°，连接AC．现计划对这

个广场进行绿化．在△DMP和△DNP区域种植绿植，且满足点P、M、N分别在AC、AB、CB

上，PM∥AD，PN∥CD，为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问△DMP与△

DNP的面积之和是否存在最小值，若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由．

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8．问题提出：（1）如图①，等边△ABC的边长为1，D是BC边上的一点，过点D作DEꓕAB，

垂足为E，设线段AE的长度为x，Rt△EBD的面积为y，求y与x的函数关系式．

问题解决：（2）某路口拐角处有一个五边形空地，为方便市民出行的需要，市政局准备在这片空

地上给广大来往群众搭建一个既能遮阳又能避雨的遮阳棚．经过勘测发现，在如图②所示的五边

形ABCDE中，∠A＝∠B＝150°，∠C＝∠D＝60°，DE＝2AE＝8米，AB＝BC，根据该路

口的实际条件限制，需将遮阳棚形状设计为三角形，且△FGH的顶点F、G、H分布在边AB、

CD、DE上，点F为AB中点，DH＝DG，为进一步提升市民的出行体验，想让遮阳棚面积尽可

能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的△FGH？若存在，求△FGH面积的最大值，若

不存在，请说明理由．

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9．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点E在边AD上，点P从点C出发沿CB运动到

点B停止，点Q从点A出发，沿折线AE→EC运动，它们同时出发，运动速度都是1cm/s，点P

运动到点B时同时停止，设点P运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．当点Q到达点E

时，S＝24（cm2）．

（1）填空：AE＝，CE＝；

（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个

单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当

点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．

（1）当P，Q两点相遇时，t＝秒；

（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

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11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长恰好为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣

BC＝2，D为AB的中点．

（1）求a的值．

（2）动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线

向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变

为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设

运动时间为t秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并

指出自变量t的取值范围．

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12．问题探究

（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，点P为边CD的中点，Q为边AD上一点，

且DP+DQ＝5，连接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面积；

问题解决

（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边

形ABCD休闲广场，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照规划要求，点P、

Q分别在边CD、AD上，满足DP+DQ＝40米，连接BP、PQ、BQ，其中△PBQ为健身休闲区，

其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此

要求修建的这个健身休闲区（△PBQ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时DP的

长；若不存在，请说明理由．

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13．问题提出：

（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝8，AD＝11，点E在线段BC上，且

BE＝5，连接DE，作EF⊥DE，交AB于点F，求四边形ADEF的面积；

问题解决：

（2）精密仪器厂要生产一种特殊的四边形ABCD金属部件，如图②所示，部件要求是：BC＝4cm，

点D到BC的距离为5cm，∠D＝90°，且CD＝2AD．已知生产这种金属部件的材料每平方厘米

造价60元，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，请你帮忙求出一个这种四

边形金属部件的最低造价．

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14．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，

某小区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小

矩形，已知房屋外墙长9m．

（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？

（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？

15．如图，根据防疫的相关要