专题09二次函数与正方形存在性问题（解析版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题09二次函数与正方形存在性问题

二次函数与正方形存在性问题

1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加

多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；

（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰

当的判定方法，即可确定所求的点坐标．

2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：

思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或

对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．

思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任

取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．

3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D

为顶点的四边形是正方形．

如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．

【例1】（2022•齐齐哈尔）综合与探究

如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；

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（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为（1，2）；

（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段

DE长度的最大值；

（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若

以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；

（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直

线AB的解析式，即可得出点C的坐标；

（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；

（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，

，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，

，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝x+1，

∵AC+BC≥AB，

∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，

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∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，

∴当x＝1时，y＝2，

∴C（1，2），

故答案为：（1，2）；

（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），

∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），

∴当a＝时，DE的最大值为；

（4）当CF为对角线时，如图，

此时四边形CMFN是正方形，

∴N（1，1），

当CF为边时，若点F在C的上方，

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此时∠MFC＝45°，

∴MF∥x轴，

∵△MCF是等腰直角三角形，

∴MF＝CN＝2，

∴N（1，4），

当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，

同理可得N（﹣1，2），

当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，

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同理可得N（，），

综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．

【例2】（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB

＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：

（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；

（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；

（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．

【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先

根据GH＝2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；

（2）由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出最

值即可；

（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是

圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可．

【解答】解：（1）如图1，由题意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），

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设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，

把B（4，0）代入得：0＝16a+8，

∴a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8，

∵四边形EFGH是正方形，

∴GH＝FG＝2OG，

设H（t，﹣t2+8）（t＞0），

∴﹣t2+8＝2t，

解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（舍），

∴此正方形的面积＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2）2＝（96﹣32）dm2；

（2）如图2，由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），

∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2（﹣t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，

∵﹣1＜0，

∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；

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（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：

如图3，N为M上一点，也是抛物线上一点，过N作M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP

⊥y轴于P，⊙⊙

则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，

设N（m，﹣m2+8），

由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，

∴m2+（﹣m2+8﹣3）2＝32，

解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍），

∴N（2，4），

∴PM＝4﹣1＝3，

∵cos∠NMP＝＝＝，

∴MQ＝3MN＝9，

∴Q（0，12），

设QN的解析式为：y＝kx+b，

∴，

∴，

∴QN的解析式为：y＝﹣2x+12，

﹣x2+8＝﹣2x+12，

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x2﹣2x+4＝0，

Δ＝（﹣2）2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，

∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．

【例3】（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，

点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；

（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；

（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点

K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y

轴上时，请直接写出点G的坐标．

【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；

（2）可推出△PCB是直角三角形，进而求出△BOC和△PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面

积；

（3）作PE∥AB交BC的延长线于E，根据△PDE∽△ADB，求得的函数解析式，从而求得P点坐

标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；

（4）作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM

≌△HWI．根据△GLC≌△CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据

MT＝IW，构建方程求得n的值．

【解答】解：（1）由题意得，

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，

∴，

∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0），

∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，

∴PC2+BC2＝PB2，

∴∠PCB＝90°，

∴S△PBC＝＝＝3，

∵S△BOC＝＝＝，

∴S四边形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；

（3）如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，

设P（m，﹣m2+2m+3），

∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，

由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，

x＝m2﹣2m，

∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，

∵PE∥AB，

∴△PDE∽△ADB，

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∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，（）最大＝，

当m＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，

∴P（，），

设Q（n，﹣n2+2n+3），

如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽

△GQA，

∴＝，

∴＝，

∴n＝，

如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，

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∴＝，

∴＝，

可得n1＝1，n2＝，

如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，

同理可得：＝，

∴n＝，

综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；

（4）如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，

△ITM≌△HWI．

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∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，

∴G（n，0），H（3，3+n），

∴K（，），

∴I（，﹣（）2+n+3+3），

∵TM＝IW，

∴＝（）2+n+6﹣（3+n），

∴（n+3）2+2（n+3）﹣12＝0，

∴n1＝﹣4+，n2＝﹣4﹣（舍去），

∴G（﹣4+，0）．

【例4】（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线

上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连

结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；

（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小

时，求m的取值范围；

（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．

【分析】（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，可得结论；

（2）判断出点B的横坐标为﹣1，可得结论；

（3）分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．当抛物线在正方形内部的

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点的纵坐标y随x的增大而减小．利用图象法解决问题即可；

（4）分三种情形：如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件，如图4﹣2中，当点N（0，﹣），

满足条件，如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，分别求出点A的坐标，可得结论．

【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，

∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x；

（2）如图1中，

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，

∵BC∥x，

∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，

∴点B的横坐标为﹣1，

∴B（﹣1，3）；

（3）如图2中，

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∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，

∴PQ＝PQM＝MN＝2m，

∴正方形的边MN在y轴上，

当点M与O重合时，

由，

解得或，

∴A（3，3），

观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．

如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝，观察图象可知，当0＜m≤时，抛物线在正方形

内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．

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综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤或m≥3；

（4）如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件，

此时直线NQ的解析式为y＝﹣x+，

由，解得，或，

∵点A在第四象限，

∴A（，﹣），

∴m＝．

如图4﹣2中，当点N（0，﹣），满足条件，

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此时直线NQ是解析式为y＝﹣x﹣，

由，解得，

∴A（，﹣），

∴m＝．

如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，此时m＝﹣，

综上所述，满足条件的m的值为或或﹣．

1．（2020•乐平市一模）如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以

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AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛

物线，正方形ABCD为它的内接正方形．

（1）当抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则a＝﹣2；当抛物线y＝+k是美丽抛物线时，则k

＝﹣4；

（2）若抛物线y＝ax2+k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；

（3）若y＝a（x﹣h）2+k是美丽抛物线时，（2）a，k的数量关系成立吗？为什么？

2

（4）系列美丽抛物线yn＝an（x﹣n）+kn（n为小于7的正整数）顶点在直线y＝x上，且它们中恰有

两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．

【分析】（1）画出函数y＝ax2+k的图象，求出点D的坐标，即可求解；

（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），即可求解；

（3）美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线，美丽抛物线y＝a（x﹣h）2+k

沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2+k，即可求解；

（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，它们的内接正方形的边长比为

，则m＝4k，，进而求解．

【解答】解：（1）函数y＝ax2+k的图象如下：

①抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则AC＝1，

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∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（，），

将点D的坐标代入y＝ax2+1得：＝a（）2+1，解得a＝﹣2；

②同理可得，点D的坐标为（k，k），

将点D的坐标代入y＝+k得：k＝（k）2+1，解得k＝0（不合题意）或﹣4；

故答案为：﹣4；

（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），

将点D的坐标代入y＝ax2+k得：k＝a（k）2+k，

解得ak＝﹣2；

（3）答：成立．

∵美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线．

∴美丽抛物线y＝a（x﹣h）2+k沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2+k．

∴ak＝﹣2；

（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为和，（k，m为小7的正整数，且k＜

m），

它们的内接正方形的边长比为，

∴m＝4k，．

∴这两条美丽抛物线分别为和．

∵，＝﹣2，

∴a1＝﹣12，a4＝﹣3．

∴a1+a4＝﹣15．

答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为﹣15．

2．（2016秋•西城区校级期中）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角

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顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．

（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．

①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；

②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式

为y＝x2，求a的值；

（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形

ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．

【分析】（1）①设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，把B（2，2）代入即可解决问题．

②设B（a，a）．代入y＝x2求出a即可解决问题．

（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．求出A、B、C、D的顶点

的对角抛物线，利用方程组求出M、P、N、Q的坐标即可解决问题．

【解答】解：（1）①如图1中，设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，

∵过B（2，2），

∴2＝4a，

∴a＝，

∴所求的抛物线的解析式为y＝x2．

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②如图2中，设B（a，a）．

则有a＝a2，解得a＝4或0（舍弃），

∴B（4，4），

∴OA＝4，

∴正方形的边长为4．

（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．

理由：∵正方形ABCD的边长为4，A（3，2），

∴B（7，2），C（7，6），D（3，6），

∴以A为顶点的对角抛物线为y＝（x﹣3）2+2，

以B为顶点的对角抛物线为y＝（x﹣7）2+2，

以C为顶点的对角抛物线为y＝﹣（x﹣7）2+6，

以D为顶点的对角抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+6，

由可得M（5，3），

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由可得N（5，5），

由可得P（3+2，4），

由可得Q（7﹣2，4），

∴PM＝，

PN＝，

QN＝，

QM＝，

∴PM＝PN＝QN＝QM，

∴四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．

3．（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），

两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线L1的表达式；

（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点

的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．

【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；

（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式．

【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是，

∵抛物线L1过点A（﹣2，0），

∴，

解得，

∴．

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即抛物线L1的表达式是；

（2）令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．

Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，

∵AE3＝E3C＝CD3＝D3A＝2，

∴点D3的坐标为（0，0），点E3的坐标为（﹣2，﹣2）．

设，则，

解得即抛物线L2的解析式是．

Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，

如图，第①种情况，点D1，E1在AC的右上角时．

∵AO＝CO＝E1O＝D1O＝2，∴点D1的坐标为（0，2），点E1的坐标为（2，0）．

设，

则，

解得：，

即抛物线L2的解析式是．

第②种情况，点D2E2在AC的左下角时，过点D2作D2M⊥x轴，

则有△AD2M≌△AD1O，

∴AO＝AM，D1O＝D2M．

过E2作E2N⊥y轴，同理可得，△CE2N≌△CE1O，

∴CO＝CN，E1O＝E2N．

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则点D2的坐标为（﹣4，﹣2），点E2的坐标为（﹣2，﹣4），

设，

则，

解得，

即抛物线L2的解析式是．

综上所述：L2的表达式为：，或．

2

4．（2022•临潼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝ax+bx+c经过A（﹣2，0），B（1，﹣）

两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线L1的表达式；

（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点

的四边

形是正方形，求抛物线L2的解析式．

【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；

（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式．

2

【解答】解：（1）设抛物线L1的表达式是y＝a（x﹣1）﹣，

∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），

∴0＝9a﹣，

解得a＝，

∴y＝（x﹣1）2﹣，

2

即抛物线L1的表达式是y＝x﹣x﹣2；

（2）当AC为正方形的对角线时，

则点D的坐标为（0，0），点E（﹣2，﹣2），

设y＝x2+bx+c，

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∴，解得，

2

即抛物线L2的解析式是y＝x+x；

当AC为边时，分两种情况，

第一种情况，点D、E在AC的右上角时，

则点D的坐标（0，2），点E（2，0），

设y＝x2+bx+c，

∴，解得，

2

即抛物线L2的解析式是y＝x﹣x+2；

第二种情况，点D、E在AC的左下角时，

则点D的坐标（﹣4，﹣2），点E（﹣2，﹣4），

设y＝x2+bx+c，则，

解得，

2

即抛物线L2的解析式是y＝x+x﹣4．

5．（2022•松阳县一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C（0，4）．若

该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB＝3：1．

（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；

（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．

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已知OE＝m，OF＝t

①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？

②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛

物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；

（2）①证明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质

即可求解；

②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R（﹣m，2t），点Q（2t，﹣m），代入二

次函数的解析式得到方程，解方程即可求解．

【解答】解：（1）∵点A（4，0），点C（0，4）．且四边形OABC是正方形，

∴QA＝QC＝BC＝4，

∵CG：GB＝3：1．

∴CG＝3，BG＝l，

∴点G的坐标为（3，4），

设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

把.4（4，0），C（0，4），G（3，4），代入y＝ax2+bx+c得，

，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，

令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，

第25页共81页.

解得x＝4或x＝﹣1，

∴点D的坐标为（﹣1，0）；．

（2）①∵EF⊥FG，∠EOF＝∠GFE＝∠GCF＝90°，

∴∠EFO+∠FEO＝∠EFO+∠CFG＝90°，．

∴∠FEO＝∠CFG，

∴△EOF∽△FCG，

∴＝，即＝，

∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，

∴当t＝2时，m有最大值，最大值为；

②∵点A（4，0），点C（0，4），且四边形OABC是正方形，

∴点B的坐标为（4，4），

设直线OB的解析式为y＝kx，

把（4，4），代入得：4＝4k，

解得k＝1，

∴直线OB的解析式为y＝x，

过点R作RS⊥y轴于点S，如图：

∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，

∴RF＝EF，∠RFS＝∠EFO，

∴△RFS≌△EFO（AAS），

∴RS＝EO＝m，FS＝FO＝t，则SO＝2t，

∴点R的坐标为（﹣m，21）

第26页共81页.

∵点R与点Q关于直线OB对称，

同理点Q的坐标为（2t，﹣m），

把Q（2t，﹣m）代入y＝﹣x2+3x+4，

得：﹣m＝﹣4t2+6t+4，

由①得m＝﹣t2+t，

∴t2﹣t＝﹣4t2+6t+4，

解得：t1＝，t2＝，

∵0≤t1≤4，

∴当t＝时，点G恰好落在抛物线上．

6．（2022•香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，

四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝

2∠ABD，求直线DE的解析式；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为

BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，

求△CGH的周长

【分析】（1）根据正方形的性质求得B，C的坐标，利用待定系数法求解析式即可；

（2）在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝，可得tan∠EIA＝＝，设AE＝x，则AI

α

＝2x，在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，建立方程，解方程进而可得E点的坐标，利用待定系数法求解

析式即可；

第27页共81页.

（3）延长BD，交y轴于点M．设直线DP交y轴于点S，分别求得G，C．H三点的坐标，进而根据勾

股定理以及两点距离公式分别求得CG，HG，HC的长，即可求得△CGH的周长．

【解答】解：∵四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．

∴AB＝OC＝OA＝18，

∴C（0，18），B（18，18），

∴c＝18，

∴18＝﹣×182+bx+18，

解得b＝2，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+18；

（2）如图，在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，

设∠ABD＝，

∵∠EDA＝2α∠ABD，

∴∠EDA＝2，

∵DI＝DE，α

∴∠EID＝∠IED＝，

∵点D是OA的中点α，

∴OD＝DA＝9，

∴tan＝＝，

α

∴tan∠EIA＝＝，

设AE＝x，则AI＝2x，

第28页共81页.

∴ED＝DI＝IA﹣DA＝2x﹣9，

在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，

即（2x﹣9）2＝92+x2，

解得x1＝12，x2＝0（舍），

∴AE＝12，

∴E（18，12），

∵D（9，0），

设直线ED的解析式为y＝kx+t，

∴，

解得，

∴直线DE的解析式为y＝x﹣12；

（3）如图，延长BD，交y轴于点M，设直线DP交y轴于点S，

∵OD＝DA，∠DOM＝∠DAB，∠ODM＝∠ADB，

∴△ODM≌△ADB（ASA），

∴MD＝DB，

∵点Q为BP中点，DQ＝PQ，

∴DQ＝BQ＝PQ，

∴∠QDB＝∠QBD，∠QDP＝∠QPD，∠QDB+∠QBD+∠QDP+∠QPD＝180°，

∴∠BDQ+∠PDQ＝90°，即∠BDP＝90°，

∴PH⊥BD，

第29页共81页.

∴∠SDO+∠MDO＝∠MDO+∠OMD＝90°，

∴∠SDO＝∠OMD＝∠ABD，

∴tan∠SDO＝tan∠ABD＝＝，

∴OS＝OD＝，

∴S（0，），

设直线SD的解析式为y＝mx+n，将点S（0，），D（9，0）代入得，

，

解得，

∴直线SD的解析式为y＝﹣x+，

联立，

解得，，

∵点P在AB右侧的抛物线上，

∴P（27，﹣9），

∵D（9，0），B（18，18），

∴PD＝＝9，BD＝＝9，

∴DB＝DP，

∴△DBP是等腰直角三角形，

∴∠DBP＝45°，DQ⊥BP，

∵BH⊥BP，

∴BH∥DQ，

∴＝1，

第30页共81页.

∴DH＝DP，

∵D（9，0），P（27，﹣9），

∴H（﹣9，9），

∵点G在OD上，GC＝GE，C（0，18），E（18，12），

设G（p，0），则p2+182＝（18﹣p）2+122，

解得p＝4，

∴G（4，0），

∵H（﹣9，9），G（4，0），C（0，18），

∴CG＝＝2，

CH＝＝9，

HG＝＝5，

∴CG+HG+CH＝2+5+9，

∴△CGH的周长为2+5+9．

7．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点

A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作

PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点Q与点M重合时，求m的值；

（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；

（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．

（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．

（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．

第31页共81页.

（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数

值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，

抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M

在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．

【解答】解：（1）∵抛物线的图象经过点A（3，0），

∴＝0，

解得b＝1．

∴抛物线解析式为：．

（2）∵P点的横坐标为m，且P点在抛物线y＝的图象上，

∴P点的坐标为（m，），

∵PQ⊥l，l过A点且垂直于x轴，

∴Q点的坐标为（3，），

∵M点的坐标为（3，﹣m+），

∵Q点与M点重合，

∴＝﹣m+，

解方程得：m＝0或m＝4．

（3）∵抛物线＝﹣（x﹣1）2+2，

∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．

∵N点的坐标为N（m，﹣m+），

要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，

∴﹣m+＞2，得m＜﹣．

∴PN＝﹣m+﹣（）＝m2﹣2m，PQ＝3﹣m．

∵四边形PQMN是正方形，

∴m2﹣2m＝3﹣m，

第32页共81页.

解得m＝1+（舍去）或m＝1﹣．

∴当m＝1﹣时，抛物线顶点在正方形PQMN内部．

（4）∵M点的纵坐标﹣m+，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：

当m＝0时，M，Q两点重合；m＝3时，P，Q重合；m＝4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；

当m＜0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意．

当0＜m＜4时，直线MN在直线PQ下方，如图4﹣1，

当3＜m＜4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；

当m＞4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如

图4﹣2；

综上：当0＜m＜3或m＞4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．

8．（2021•云南模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点

A在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．

（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；

第33页共81页.

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符

合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平

移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内

部和边）有公共点，求t的取值范围．

【分析】（1）用待定系数法直接求出解析式，然后令y＝0，求出点A、B的坐标即可；

（2）求出直线AD的解析式，设直线AD与y轴交于点E，得出∠DAB＝45°，过点D作DP1⊥x轴，

过点A作AP2∥y轴，过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连

接DP3，延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，延长DP2

至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符

合题意的等腰直角三角形，求出各个P点的坐标即可；

（3）设平移后的抛物线解析式为，分别求出抛物线平移后与正方形ADEF有公共点

的最低位置和最高位置的t值，即可求出t的取值范围．

【解答】解：（1）依题意，将点D（5，6）代入，

得，

解得k＝﹣2，

∴抛物线的解析式为，

令y＝0，得，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）存在，

设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0），

第34页共81页.

将A（﹣1，0），D（5，6）两点坐标代入得，，

解得，

∴直线AD的解析式为y＝x+1，

如图1，设直线AD与y轴交于点E，

令x＝0，得y＝1，

∴OA＝OE＝1，

∴∠DAB＝45°，

过点D作DP1⊥x轴，过点A作AP2∥y轴，

过点D作DP2∥x轴，AP2与DP2交于点P2，

延长AP1至P3，使AP1＝P1P3，连接DP3，

延长DP1至P4，使DP1＝P1P4，连接AP4，

延长AP2至P5，使AP2＝P2P5，连接DP5，

延长DP2至P6，使DP2＝P2P6，连接AP6，

则△AP1D，△AP2D，△AP3D，△AP4D，△AP5D，△AP6D为所有符合题意的等腰直角三角形，

∴P1（5，0），P2（﹣1，6），P3（11，0），P4（5，﹣6），P5（﹣1，12），P6（﹣7，6）；

（3）如图2，由（2）可知，点E的坐标是（11，0），点F的坐标是（5，﹣6），

第35页共81页.

直线AD的解析式是y＝x+1，

设平移后的抛物线解析式为，

结合图象可知，当抛物线经过点E时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置，

将点（11，0）代入，

得，

解得t＝﹣48，

当抛物线与AD边有唯一公共点时，

是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最高位置，

将y＝x+1与联立方程组，

，

化简得x2﹣4x+2t﹣5＝0，

∵只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，

∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，

解得，

∴t的取值范围．

9．（2019秋•温州校级月考）如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，

动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y

＝﹣x²+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒．

第36页共81页.

（1）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S△BCD＝6？若存在，

求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（2）如图2，在（1）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，

若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；

（3）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝，CP＝，∠OPA

＝135°，直接写出此时AP的长度．

【分析】（1）根据正方形的性质可得OA、OB，然后写出点B、C的坐标，再利用待定系数法求二次函

数解析式解答，设BC边上的高为h，利用三角形的面积求出h，从而确定出点P的纵坐标，再代入抛物

线解析式求解即可；

（2）分点E在点F上方和下方两种情况表示出EF，再根据平行四边形对边相等列方程求解即可；

（3）将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，根据旋转的性质可得AP′＝AP，P′C＝OP，∠

AP′C＝∠OPA，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C＝90°，利用勾股定理列式求

出PP′，再根据等腰直角三角形的性质解答．

【解答】解：（1）∵t＝3