专题12 二次函数-阿氏圆求最小值（原卷版）

第十二讲二次函数--阿氏圆求最值

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必备知识点

点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上

两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家

阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，

连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题

求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、

P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：

【破解策略详细步骤解析】

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例题演练

1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6

交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四

边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上一动点，求AM+CM它的最小

值．⊙

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2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且

与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．

（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；

（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此

时点E，H的坐标；

（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上以动点，求AM+CM的最

小值．⊙

3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若

线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不

存在，请说明理由；

（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ

的最小值．⊙

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4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作B．点E为B上的动点，连接

A，DE，求DE+AE的最小值．⊙⊙

（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作H，点Q是

H上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；⊙

⊙（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1

为半径的O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．

⊙

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5．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛

物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．

（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；

（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′

（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作M，点Q是M上一动点，求

QB'+QB的最小值．⊙⊙

6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为C，

（1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）如图，当m＝0时，直线y＝x+2与抛物线交于A、B两点，点A，点B分别在抛物线的对称轴左

右两侧；

①抛物线的对称轴与直线AB交于点M，点G（1，3），在直线AB上，作B点关于直线MC的对称点

B′，以M为圆心，MC为半径作圆，动点Q在圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求

出比值；若变化，说明变化规律；

②直接写出B′Q+QB的最小值．

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7．如图，已知点A（﹣4，0），点B（﹣2，﹣1），直线y＝2x+b过点B，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+x+c

经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）D为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ACD＝，求点D的坐标；

（3）平面内任意一点P，与点O距离始终为2，连接PA，PC．直接写出PA+PC的最小值．

8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点

D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；

（3）在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以

P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说

明理由．

（4）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为（0°＜

＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．αα

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9．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），

抛物线的对称轴是直线x＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，

求出点P的坐标若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作C，点Q为

C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．⊙

⊙

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10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A

为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；