专题17二次函数与公共点及交点综合问题（解析版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题17二次函数与公共点及交点综合

【例1】（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数

y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．

（1）求b的值；

（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当

△MNP为直角三角形时，求m的值；

②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；

（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，

直接写出m的取值范围．

【分析】（1）由二次函数的对称轴直接可求b的值；

（2）①求出M（2﹣，0），N（2+，0），再求出MN＝2，MN的中点

坐标为（2，0），利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，列出方程即可求解；

②求出抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），再

求出y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0）当﹣x2+4x+1

＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交

点为（﹣1，﹣4），结合图像可得﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y

＜0；

（3）通过画函数的图象，分类讨论求解即可．

【解析】（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，

∴b＝﹣4；

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（2）如图1：①令x2+bx+m＝0，

解得x＝2﹣或x＝2+，

∵M在N的左侧，

∴M（2﹣，0），N（2+，0），

∴MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），

∵△MNP为直角三角形，

∴＝，

解得m＝0（舍）或m＝﹣1；

②∵m＝﹣1，

∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），

令x2﹣4x﹣1＝﹣4，

解得x＝1或x＝3，

∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），

∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），

当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，

∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），

∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；

（3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），

如图2，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，

解得m＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，

∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，

∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；

如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1，

此时图象C与线段AB有三个公共点，

∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；

如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1，

此时图象C与线段AB有两个公共点，

当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，

解得m＝3，

此时图象C与线段AB有一个公共点，

∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；

综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．

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【例2】．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，

与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．

（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；

（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，

最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；

（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与

射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范

围．

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【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；

（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，

解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）

+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）

﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，

p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；

（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后

的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程

组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），

此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向

下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B

时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共

点；当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，由此可

求解．

【解析】（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴顶点A（1，﹣4），

令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∵CB∥x轴，

∴B（2，﹣3），

设直线AC解析式为y＝kx+b，

，

解得，

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∴y＝﹣x﹣3；

（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，

①当m＞1时，

x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，

x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，

∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，

解得m＝（舍）；

②当m+2＜1，即m＜﹣1，

x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，

x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，

∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，

解得m＝﹣（舍）；

③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，

x＝1时，q＝﹣4，

x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，

∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，

解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；

④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，

x＝1时，q＝﹣4，

x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，

∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，

解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，

综上所述：m的值﹣1或1﹣；

（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝﹣x﹣3，

①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，

∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，

设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，

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∴，

解得，

∴y＝x﹣5，

联立方程组，

整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，

当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，

解得h＝，

此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；

②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，

∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，

当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，

解得k＝0（舍）或k＝3，

此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，

当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，

∴综上所述：1＜n≤4或n＝．

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【例3】（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0），B

（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；

（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E

运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一

点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下

方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，

且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．

【分析】（1）二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝

ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；

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（2）根据t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．分

两种情形，当△EMN∽△OBC时，得，解得t＝；当△EMN∽△OCB时，

得，解得t＝；

（3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解

析式，再根据直线l：y＝kx+m与抛物线只有一个公共点，联立两函数解析

式，可得Δ＝0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题．

【解析】（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，

将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：

，

解得，

∴抛物线的函数表达式为：，

又∵＝，＝＝，

∴顶点为D；

（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝

2t．

①当△EMN∽△OBC时，

∴，

解得t＝；

②当△EMN∽△OCB时，

∴，

解得t＝；

综上所述，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；

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（3）∵点关于点D的对称点为点G，

∴，

∵直线l：y＝kx+m与抛物线只有一个公共点，

∴只有一个实数解，

∴Δ＝0，

即：，

解得：，

利用待定系数法可得直线GA的解析式为：，直线GB的解析式为：，

联立，结合已知，

解得：xH＝，

同理可得：xK＝，

则：GH＝＝，GK＝＝×

，

∴GH+GK＝+×＝，

∴GH+GK的值为．

【例4】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）

和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．

（1）①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线AD的函数表达式；

（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△

BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；

（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线

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剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线

C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公

共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线AD的解析式；

（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x

轴于点N，如图1，根据三角形面积关系可得＝，由EM∥FN，可得△BFN∽△BEM，

得出＝＝＝，可求得F（2+t，t2﹣t﹣2），代入直线AD的解析式即可

求得点E的坐标；

（3）根据题意可得：点C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的图象解析式为y＝

﹣（x﹣2）2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移

后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系数法可得：直线BC

的解析式为y＝x﹣3，直线C′G′的解析式为y＝x+3，由四边形C′G′QP是平行

四边形，分类讨论即可．

【解析】（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），

∴，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；

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②由①得y＝x2﹣x﹣3，

当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，

解得：x1＝6，x2＝﹣2，

∴A（﹣2，0），

设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，

解得：，

∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；

（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x

轴于点N，如图1，

∵S1＝2S2，即＝2，

∴＝2，

∴＝，

∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，

∴EM∥FN，

∴△BFN∽△BEM，

∴＝＝＝，

∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，

∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），

∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，

∴F（2+t，t2﹣t﹣2），

∵点F在直线AD上，

∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，

解得：t1＝0，t2＝2，

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∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；

（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，

∴顶点坐标为G（2，﹣4），

当x＝0时，y＝3，即点C（0，﹣3），

∴点C′（0，3），G′（2，4），

∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，

∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分

的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，

设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），

把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，

∴BC∥C′G′，

设点P的坐标为（s，s﹣3），

∵点C′（0，3），G′（2，4），

∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，

∵四边形C′G′QP是平行四边形，

∴点Q（s+2，s﹣2），

当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，

则，

解得：（不符合题意，舍去），

当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，

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则，

解得：或（不合题意，舍去），

当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，

则，

解得：或（不合题意，舍去），

综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．

一．解答题（共20小题）

1．（2022•钟楼区校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+mx+m+的图象与x轴交于点A、

B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），P是抛物线在直线AC上方图象

上一动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，

得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个公共点，

请直接写出图象M的顶点横坐标n的取值范围．

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【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；

（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解

析式为y＝﹣x﹣，如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC

22

于点H，则PH＝﹣t﹣t，利用S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝﹣（t+）+，即可运

用二次函数求最值的方法求得答案；

（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为

（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n

﹣，顶点坐标为（n，﹣n﹣），当图象M经过点C（0，﹣）时，可求得：n＝﹣

1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n＝﹣或n＝（舍去），就看得

出：图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．

【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+m+与y轴交于点C（0，﹣），

∴m+＝﹣，

解得：m＝﹣3，

∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x﹣；

（2）在y＝﹣x2﹣3x﹣中，令y＝0，

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得：﹣x2﹣3x﹣＝0，

解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，

∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

∵A（﹣5，0），C（0，﹣），

∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣，

如图1，设P（t，﹣t2﹣3t﹣），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，

则H（t，﹣t﹣），

∴PH＝﹣t2﹣3t﹣﹣（﹣t﹣）＝﹣t2﹣t，

∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH

＝•PH•（xP﹣xA）+•PH•（xC﹣xP）

＝•PH•（xC﹣xA）

＝×（﹣t2﹣t）×[0﹣（﹣5）]

＝t2﹣t

＝﹣（t+）2+，

∴当t＝﹣时，S△PAC取得最大值，

此时，点P的坐标为（﹣，）；

（3）如图2，抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下

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翻折，得到图象G，

∵y＝﹣x2﹣3x﹣＝（x+3）2+2，顶点为（﹣3，2），

∴图象G的函数解析式为：y＝（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），

∵图象G沿直线AC平移，得到新的图象M，顶点运动的路径为直线y＝﹣x﹣，

∴图象M的顶点坐标为（n，﹣n﹣），

∴图象M的函数解析式为：y＝（x﹣n）2﹣n﹣，

当图象M经过点C（0，﹣）时，

则：﹣＝（0﹣n）2﹣n﹣，

解得：n＝﹣1或n＝2，

当图象M的端点B在PC上时，

∵线段PC的解析式为：y＝﹣x﹣（﹣≤x≤0），点B（﹣1，0）运动的路径为直

线y＝﹣x﹣，

∴联立可得：，

解得：，

将代入y＝（x﹣n）2﹣n﹣，可得：（﹣﹣n）2﹣n﹣＝，

解得：n＝﹣或n＝（舍去），

∴图象M的顶点横坐标n的取值范围为：﹣≤n≤﹣1或n＝2．

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2．（2022•保定一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5的图象记为L，点P是L

上对称轴右侧的一点，作PQ⊥y轴，与L在对称轴左侧交于点Q；点A，B的坐标分别

为（1，0），（1，1），连接AB．

（1）若t＝1，设点P，Q的横坐标分别为m，n，求n关于m的关系式；

（2）若L与线段AB有公共点，求t的取值范围；

（3）当2t﹣3＜x＜2t﹣1时，y的最小值为﹣，直接写出t的值．

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【分析】（1）当t＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣2，可求得它的对称轴为直线x＝1，由点

P与点Q关于直线x＝1对称得m+n＝2，即可求得n关于m的关系式；

（2）将y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5配成顶点式y＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，则抛物线的对称轴为直

线x＝1，顶点坐标为（1，t2+2t﹣6），再说明线段AB在直线x＝1上，由L与线段AB有

公共点可列不等式组得0≤t2+2t﹣6≤1，解不等式组求出它的解集即可；

（3）分三种情况，一是直线x＝2t﹣1在抛物线的对称轴的左侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范

围内图象不存在最低点，因此不存在y的最小值；二是直线x＝1在直线x＝2t﹣3与直线

x＝2t﹣1之间时，抛物线的顶点为最低点，可列方程t2+2t﹣6＝﹣，解方程求出符合

题意的t值；三是直线x＝2t﹣3在抛物线的对称轴的右侧，在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图

象不存在最低点，因此不存在y的最小值．

【解析】（1）如图1，当t＝1时，L为抛物线y＝x2﹣2x﹣2，

∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，

∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，

∵点P、Q分别是对称轴右侧、左侧L上的点，且PQ⊥y轴，

∴m+n＝2，

∴n＝﹣m+2（m＞1）．

（2）如图2，L为抛物线y＝x2﹣2x+t2+2t﹣5＝（x﹣1）2+t2+2t﹣6，

∴L的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，t2+2t﹣6），

∵A（1，0），B（1，1），

∴线段AB在直线x＝1上，

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∵L与线段AB有公共点，

∴0≤t2+2t﹣6≤1，

解得﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2，

∴t的取值范围是﹣1﹣2≤t≤﹣1﹣或﹣1+≤t≤﹣1+2．

（3）当2t﹣1＜1，即t＜1时，如图3，

∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，

∴此时不存在y的最小值；

当2t﹣1≥1且2t﹣3≤1，即1≤t≤2时，如图4，

∵L的顶点为最低点，

∴t2+2t﹣6＝﹣，

解得t1＝，t2＝，

∵＜1，

∴t2＝不符合题意，舍去；

当2t﹣3＞1，即t＞2时，如图5，

∵在2t﹣3＜x＜2t﹣1范围内图象不存在最低点，

∴此时不存在y的最小值，

综上所述，t的值为．

第20页共57页.

3．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不

论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．

（1）求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；

2

（2）现有二次函数y＝x﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的

取值范围；

（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．

【分析】（1）联立两函数解析式求出交点坐标，然后根据一次函数的增减性解答；

（2）根据一次函数的增减性判断出x≥2，再根据二次函数解析式求出对称轴，然后根据

二次函数的增减性可得x＜4，从而得解；

2

（3）①若函数y＝x﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，联立两函数解析式整理得到关

于x的一元二次方程，利用根的判别式Δ＝0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取

2

值范围内，则符合；②若函数y＝x﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，先利用根的判别

式求出c的取值范围，先求出x＝2与x＝4时的函数值，然后利用一个解在x的范围内，

另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可．

第21页共57页.

【解析】（1）∵，

∴，

∴函数y1和y2图象交点坐标（2，4）；

y0关于x的函数关系式为y0＝；

（2）∵对于函数y0，y0随x的增大而减小，

∴y0＝﹣x+6（x≥2），

又∵函数y＝x2﹣8x+c的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0，

∴当x＜4时，y随x的增大而减小，

∴2≤x＜4；

2

（3）①若函数y＝x﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内，

则x2﹣8x+c＝﹣x+6，即x2﹣7x+（c﹣6）＝0，

∴Δ＝（﹣7）2﹣4（c﹣6）＝73﹣4c＝0，

解得c＝，

此时x1＝x2＝，符合2＜x＜4，

∴c＝；

2

②若函数y＝x﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，其中一个在2＜x＜4范围内，另一个

在2＜x＜4范围外，

∴Δ＝73﹣4c＞0，

解得c＜，

∵对于函数y0，当x＝2时，y0＝4；当x＝4时y0＝2，

又∵当2＜x＜4时，y随x的增大而减小，

2

若y＝x﹣8x+c与y0＝﹣x+6在2＜x＜4内有一个交点，

则当x＝2时y＞y0；当x＝4时y＜y0，

即当x＝2时，y≥4；当x＝4时，y≤2，

∴，

解得16＜c＜18，

第22页共57页.

又c＜，

∴16＜c＜18，

综上所述，c的取值范围是：c＝或16＜c＜18．

4．（2022•金华模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+6m（x≤2m，m为常数）

的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．

（1）当m＝1，求图象G的最低点坐标；

（2）平面内有点C（﹣2，2）．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，

AB与x轴平行，BC与y轴平行．

①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；

②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．

【分析】（1）由m＝1代入抛物线解析式，将二次函数解析式化为顶点式求解；

（2）①将x＝2m代入抛物线解析式求出点A坐标，由正方形的性质即可求解；

②分类讨论，数形结合解题，根据A点在图象G上，再在图象G上找一个点可以满足

条件，然后根据m的取值范围进行分类讨论进行解题即可．

【解析】（1）m＝1时，y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，

∴顶点为（1，5），

∵x≤2，

∴图象G的最低点坐标为（1，5）；

（2）①当x＝2m时，y＝6m，

∴A（2m，6m），

∵C（﹣2，2），

∵正方形ABCD中，AB与x轴平行，BC与y轴平行，

∴B（﹣2，6m），

同理得D（2m，2），

∵AD＝CD，

∴|6m﹣2|＝|2m+2|，

∴2m+2＝﹣6m+2或2m+2＝﹣2+6m，

解得m＝0或m＝1，

∴点A的坐标为（0，0）或（2，6）；

②∵点A在图象G上，

∴图象G与矩形ABCD已经有一个公共点A，

∵图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，

∴只需图象G与矩形ABCD的边再由一个公共点即可；

第23页共57页.

∵点A的横坐标为2m，

∴A（2m，6m），

当x＝﹣2时，y＝4+10m，

当4+10m＝6m时，m＝﹣1，

如图1，当m＜﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，

∴矩形与图象G只有一个交点A；

当m＝﹣1时，图象G在x≤2m时，y随x的增大而减小，

当﹣1＜m≤0时，图象G与矩形有两个交点；

当经过点C时，4+10m＝2，

解得m＝﹣，

∴m＞﹣时，图象G与矩形有两个交点；

如图3，

当6m＝2时，即m＝，

当0＜m＜时，2m＞m，

∵x2﹣2mx+4m＝6m，

整理得，x2﹣2mx＝0，

∵Δ＝4m2≥0，

∵m≠0，

∴Δ＞0，

此时图象G与AB边有另一个交点，

∴此时图象G与矩形ABCD有三个交点，

当m＝时，A点坐标为（，2），此时AC不与x轴平行，不符合题意；

当m＞时，此时图象G与矩形ABCD有两个交点；

综上所述：﹣1＜m≤0或m＞时，图象G与矩形ABCD有两个交点．

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5．（2022•清镇市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于

第25页共57页.

点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．

（1）抛物线的对称轴为直线x＝a；（用含字母a的代数式表示）

（2）若AB＝2，求二次函数的表达式；

（3）已知点P（a+4，1），Q（0，2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的

取值范围．

【分析】（1）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．

（2）由抛物线对称轴及点A坐标可得点B坐标，进而求解．

（3）分类讨论a＞0与a＜0，根据点A，B，P，Q的坐标，结合图象求解．

【解析】（1）∵y＝ax2﹣2a2x+1，

∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．

故答案为：a．

（2）∵A，B关于抛物线对称轴对称，

∴AB＝|2a|＝2，

当a＞0时，a＝1，

∴y＝x2﹣2x+1，

当a＜0时，a＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣2x+1．

（3）将x＝0代入y＝ax2﹣2a2x+1得y＝2，

∴点A坐标为（0，1），

当a＞0时，抛物线开口向上，点Q（0，2）在点A（0，1）上方，

∵点B与点A关于抛物线对称轴对称，

∴点B坐标为（2a，1），

∴当a+4≥2a时，点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意，

解得a≤4，

当a＜0时，点Q在抛物线上方，点B在点A左侧，

当点P在抛物线内部时，满足题意，

∴2a≤a+4≤0，

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解得a≤﹣4，

综上所述，a≤﹣4或0＜a≤4．

6．（2022•五华区三模）已知抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4）．

（1）求a的值；

（2）若抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出

公共点的坐标；若没有，请说明理由；

（3）当2≤x≤4时，设二次函数y＝ax2﹣mx+2m﹣3的最大值为M，最小值为N，若＝

，求m的值．

【分析】（1）把点A坐标代入抛物线解析式即可求出a；

（2）由（1）知a＝﹣，再由抛物线与y轴的交点为（0，﹣1）可以求出m的值，然

后由Δ＝0，可以得抛物线与x轴有一个公共点，再令y＝0解方程求出x即可；

（3）先求出抛物线对称轴，然后分﹣2m＜2，2≤﹣2m≤4，﹣2m＞4三种情况分别求出

函数的最大值M和最小值N，由＝求出m的值．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣mx+2m﹣3经过点A（2，﹣4），

∴4a﹣2m+2m﹣3＝﹣4，

解得：a＝﹣；

（2）由（1）知a＝﹣，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，

∵抛物线与y轴的公共点为（0，﹣1），

∴2m﹣3＝﹣1，

解得m＝1，

∴y＝﹣x2﹣x﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣）×（﹣1）＝1﹣1＝0，

∴抛物线与x轴是有一个公共点，

令y＝0，则﹣x2﹣x﹣1＝0，

解得：x1＝x2＝﹣2，

∴公共点的坐标为（﹣2，0）；

第27页共57页.

（3）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣mx+2m﹣3，

∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣2m，

①当﹣2m＜2，即m＞﹣1时，

∵a＜0，抛物线开口向下，

∴当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，

2

∴当x＝2时，M＝ymax＝﹣×2﹣2m+2m﹣3＝﹣4，

当x＝4时，N＝ymin＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，

∵＝，

∴＝，

解得：m＝﹣，不符合题意；

②当2≤﹣2m≤4即﹣2≤m≤﹣1时，

若直线x＝2与直线x＝﹣2m接近时，

则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m

﹣3，

当x＝4时，y取得最小值，即N＝﹣×42﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，

∵＝，

∴＝，

解得：m1＝﹣，m2＝﹣（不合题意，舍去）；

若直线x＝4与直线x＝﹣2m接近时，

则当x＝﹣2m时y取得最大值，即M＝﹣×（﹣2m）2﹣m×（﹣2m）+2m﹣3＝m2+2m

﹣3，

当x＝2时，y取得最小值，即N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，

∵＝，

第28页共57页.

∴＝，

解得：m1＝，m2＝（不符合题意，舍去）；

③当﹣2m＞4即m＜﹣2时，

∵a＜0，抛物线开口向下，

∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，

∴当x＝2时，N＝﹣×22﹣2m+2m﹣3＝﹣4，

当x＝4时，M＝﹣×16﹣4m+2m﹣3＝﹣2m﹣7，

∵＝，

∴＝，

解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），

综上所述，m的值为﹣或．

7．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），

与y轴的交点坐标是（0，5）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的

图象有2个公共点，求n的取值范围．

【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，再将（0，5）代入即可求解；

（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有两个交点可列出方程a（x

﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解．

【解析】（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1），

∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，

将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，

得5＝a（0﹣2）2+1，

解得：a＝1，

∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1．

（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，

∴得（x﹣2）2+1＝x+n，

第29页共57页.

化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，

∵有2个公共点，

∴Δ＞0，

∴25﹣4（5﹣n）＞0，

解得n＞．

∴n的取值范围为：n．

8．（2022•盐城二模）若二次函数y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A（1，0），其中a、b为常

数．

（1）用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；

（2）点B（﹣，1）、C（2，1）为坐标平面内的两点，连接B、C两点．

①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值；

②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．

【分析】（1）将点A（1，0）代入抛物线解析式，可得b＝﹣2﹣2a，继而求出抛物线对

称轴即可求解；

（2）①根据题意将x＝1+，y＝1，代入抛物线解方程即可求解；

②分a＞0；a＜0且a≠﹣1；a＝﹣1三种情况进行讨论求解即可得a的取值范围．

【解析】（1）∵y＝ax2+bx+a+2的图象经过点A（1，0），

即当x＝1时，y＝a+b+a+2＝0，

∴b＝﹣2﹣2a，

∴y＝ax2﹣（2a+2）x+a+2，

∴对称轴x＝﹣＝＝1+，

第30页共57页.

∴抛物线顶点的横坐标为1+；

（2）①抛物线的顶点在线段BC上，且点B（﹣，1）、C（2，1），

∴顶点纵坐标为1，且﹣≤1+≤2，

当x＝1+时，y＝1，即a（1+）2﹣（2a+2）（1+）+a+2＝1，

整理得：﹣＝1，

解得：a＝﹣1，

检验，当a＝﹣1时，a≠0，

∴a＝﹣1；

②∵对称轴x＝1+，

当a＞0时，对称轴x＝1+在点A（1，0）的右侧，即xx＝1+＞1，

∵抛物线与线段BC有且只有一个公共点，点B（﹣，1）、C（2，1），

∴当x＝2时，y＜1，即4a﹣2（2a+2）+a+2＜1，

解得：a＜3，

当x＝﹣时，y＞1，即a+（2a+2）+a+2≥1，

解得：a≥﹣，

∴0＜a＜3，

当a＜0，且a≠﹣1时，对称轴x＝1+在点A（1，0）的左侧，即x＝1+＜1，抛物

线开口向下，且过点A（1，0），

当x＝﹣时，y＞1，即a+（2a+2）+a+2＞1，

解得：a＞﹣，

∵a＜0，

∴﹣＜a＜0；

由①知，当a＝﹣1时，抛物线顶点恰好在线段BC上，

∴当a＝﹣1时，抛物线与线段BC有且只有一个公共点，

第31页共57页.

综上所述，抛物线与线段BC有且只有一个公共点时，a的取值范围是0＜a＜3或﹣＜

a＜0或a＝﹣1．

9．（2022•滑县模拟）如图，已知二次函数y＝x2+2x+c与x轴正半轴交于点B（另一个交点

为A），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2+2x+c

≥kx+b的解集；

（3）已知点P（﹣3，1），Q（2，2t+1），且线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一个

公共点，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）设B（m，0），可得C（0，﹣3m），代入y＝x2+2x+c即可解得抛物线的解

析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）令y＝0可得A（﹣3，0），由图象即得不等式x2+2x+c≥kx+b的解集为x≤﹣3或x

≥0；

（3）设直线x＝2与抛物线y＝x2+2x﹣3交于K，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛

物线y＝x2+2x﹣3有且只有一个公共点，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝5，根据2t+1

≤5，可得t的取值范围是t≤2．

【解析】（1）设B（m，0），则OB＝m，

∵OC＝3OB，

∴OC＝3m，C（0，﹣3m），

将B（m，0），C（0，﹣3m）代入y＝x2+2x+c得：

第32页共57页.

，

解得（此时B不在x轴正半轴，舍去）或，

∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0得x2+2x﹣3＝0，

解得x＝﹣3或x＝1，

∴A（﹣3，0），

由图象可知，当x≤﹣3或x≥0时，抛物线在直线上方，即x2+2x+c≥kx+b，

∴不等式x2+2x+c≥kx+b的解集为x≤﹣3或x≥0；

（3）设直线x＝2与抛物线y＝x2+2x﹣3交于K，如图：

由图可知，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线y＝x2+2x﹣3有且只有一个公共点，

在y＝x2+2x﹣3中，令x＝2得y＝22+2×2﹣3＝5，

∴2t+1≤5，

解得t≤2，

答：线段PQ与抛物线y＝x2+2x+c有且只有一个公共点，t的取值范围是t≤2．

10．（2022春•龙凤区期中）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x

的图象交于点A、B（点B在