矩形的性质与判定课件北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定

(1)边

：对边平行且相等.角

：对角相等

.邻角互补

对角线：对角线互相平分对称性：是中心对称图形.知识回顾平行四边

形的性质新知探索利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：五当这个内角变成直角

时

，平行四边形

变成了什么图形?有一

个角是直角的

平行四边形叫做矩

形.矩形有什么性质呢?A平行四边形C矩形的定义：AD有一个角是直角BD矩形CB探究矩形的性质

矩形是不是平行四边形?矩形是特殊的平行四边形，它具

有一般平行四边形

的所有性质。边：

对边平行且相等.矩形的角

：

对角相等.邻角互补一般性质对角线：对角线互相平分.对

称

性

：是中心对称图形.矩形还具有哪些特殊的性质呢?对称性：矩形是轴对称图形，它有2

条对称轴角：矩形的四个角都是直角证明

!对角线：矩形的对角线相等矩形的特殊性质证明矩形的四个角都是直角已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明：∵四边形ABCD

是矩形，∴∠B=∠D,∠C=∠A,AB//DC.∴∠B+∠C=180°.又∵∠B=90°,∴∠C=90°

.∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.求证：AC=BD;证明：∵四边形ABCD

是矩形，∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°在△ABC和

△DCB中，AB=DC,∠ABC=∠DCB证明矩形的对角线相等已知：如图，四边形ABCD是矩形，

对角线AC与BD相交于点0..

∴

.

△ABC≌△DCB..

∴

.AC=DB.BC=CB,边：对边平行且相等.角：

四个角都是直角对角线：对角线互相平分且相等对称性：是中心对称图形也是轴对称图形矩形的性质小结在Rt△ABC中，斜边上的中线OB有什么特殊的性质?如何证明呢?如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC

剪去一半.

0

A=OB=0C=0D定

理

：直

角三角形斜边的中线等于斜边的一半

.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,BOAC上的中线.求证：证明：延长BO

至

D,使

OD=BO,连接AD,CD.∵AO=OC,BO=OD,

0∴四边形ABCD是平行四边形.B∵∠ABC=90°,∴

平行四边形ABCD

是矩形.∴AC=BD.定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.证一证是(例1如图，在矩形

ABCD

中，两条对角线相交于点0,∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.解：

∵∠AOD=120°.

∴∠A0B=60°又∵AC,BD是矩形ABCD的对角线.

∴

.0A=0B∴△ABO是等边三角形.

∴

.0A=0B=AB=2.5.".AC=2A0=5∴这个矩形对角线的长为5.点0,AB=6,OA=4.

求

BD

与AD解：∵四边形ABCD

是矩形，∴AC=BD

(矩形的对角线相等),∴BD=2AO=8,在Rt△ABD

中

，AD²+AB²=BD²,AD²+6²=82,∴AD=2√7.如图，在矩形ABCD

中，两条对角线AC

与BD

相交于巩固练习，深化提高

的长.【选自教材P13

随堂练习】练一练1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0,∠A0B=60°,AB=2,则矩形的边长BC的长是(

C)A.2B.4C.2√3D.4√32.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,0A=0B,若AD=4,∠AOD=60°,则AB的长

(

A)A.4√3B.2C.8D.8√33.如图，在矩形ABCD中，0是对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M,

若OM=3,BC=10,则0B的长为(D

)A.5B.4

C.

342D.√34的长为

1

√(2a)2-a²=2√3

√3a=2√3a=24.

如图，矩形ABCD的对角线AC,BD

交于点0,∠AOD=60°,

AB=2

√3,AE⊥BD

于点E,

则0E2√330>60%2aDO0a能力提升：5.如图，在矩形ABCD

中

，AB=6,AD=8,P

是上的动点，PELAC

于

E,PF⊥BD

于

F,求

PE+PF

的值.解：连接OP.∵四边形ABCD

是矩形∴OA=OD=0C=OB.∴S△AOD=S△Doc=S△AOB=S△BOC在Rt△BAD

中，由勾股定理得BD=10,∴AO=OD=5.∵S△Apo+S△DPo=S△AOD,

,即5