职教高考 充要条件

1.2充要条件[知识整合]基础知识1．推出当“如果p，那么q”是正确命题时，我们就说p可以推出q，记作p⇒q，读作p推出q.2．充分条件、必要条件“A⇒B”通常还可表述为“A是B的充分条件”，此时“B是A的必要条件”．注明：(1)“A⇒B”，(2)“A是B的充分条件”，(3)“B是A的必要条件”．这三个命题是等价的，即这三句话的含义是相同的．3．充要条件如果A⇒B(A是B的充分条件)，B⇒A(B又是A的充分条件)，则称A是B的充要条件，记作A⇔B，读作A与B等价或A与B互为充要条件．4．子集与推出的关系对于集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：如果A⊆B，那么p⇒q；反之，如果p⇒q，那么A⊆B.即A⊆B与p⇒q等价．如果A＝B，那么p⇔q；反之，如果p⇔q，那么A＝B.即A＝B与p⇔q等价．基础训练1．“|x|＝6”是“x＝6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．“a是实数”是“a是有理数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设A和B是两个集合，则“B中的元素都在A中”是“A＝B”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．设a，b，c均为实数，则“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．填空题(填“⇒”、“⇐”或“⇔”)(1)“x＝1”________“x2－1＝0”；(2)“a是自然数”________“a是整数”；(3)“△ABC是直角三角形”________“△ABC有一个角是90°”．[重难点突破]考点充分、必要、充要条件例1已知a，b，c∈R，则“ac＝b2”是“a，b，c成等比数列”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要而不充分条件D．充分而不必要条件【解析】∵a，b，c成等比数列，∴ac＝b2，反之，若ac＝b2＝0，则a，b，c一定不成等比数列，故选C.【变式训练】“a＋c＝2b”是“a，b，c成等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例2“|x|≤2”是“－2≤x≤2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵|x|≤2⇔－2≤x≤2，∴“|x|≤2”是“－2≤x≤2”的充要条件，故选C.反思提炼：解决不等式的问题，一般可画出数轴，然后采用集合的包含关系来确定充要条件．【变式训练】“x<2”是x2－x－2<0的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件例3“ab＝0”的充要条件是()A．a＝0B．b＝0C．a＝0且b＝0D．a＝0或b＝0【解析】ab＝0⇔a＝0或b＝0，故选择D.【变式训练】设a，b为实数，则“b＝3”是“a(b－3)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例4“a＝3”是“x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】“a＝3”⇒Δ＞0所以“a＝3”是“x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根”的充分条件，反之不一定成立，故选A.【变式训练】在△ABC中，“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例5已知p是q的必要条件，s是r的充分条件，p是s的充要条件，则q是r的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵p⇐q，s⇒r，p⇔s，∴q⇒r.即q是r的充分不必要条件．故选A.反思提炼：解决此类问题的关键是借助“⇒、⇔”等符号直观地表述命题之间的逻辑关系．【变式训练】已知p是q的充要条件，p是s的必要条件，那么q是s的________．例6指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：{x|x＞－2或x＜3}；q：{x|x2－x－6＜0}．(2)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x－2＝0.(3)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形．(4)p：x＞1；q：x2＞1；(5)p：a＜b；q：eq\f(a,b)＜1.【解】(1)p：{x|x＞－2或x＜3}＝R，q：{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，则p是q必要不充分条件．(2)∵(x－2)(x－3)＝0推不出x－2＝0，x－2＝0可以推出(x－2)(x－3)＝0，∴p是q的必要不充分条件．(3)∵四边形的对角线相等推不出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形也推不出四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(4)∵p⇒q，但qp，∴p是q的充分不必要条件．(5)∵a＜beq\f(a,b)＜1，又eq\f(a,b)＜1a＜b，∴p是q的既不充分又不必要条件．反思提炼：1．看清题目，明确是求p是q的什么条件，还是求q是p的什么条件．若已知p⇒q，则p是q的充分条件，那么同时q是p的必要条件．2．要正确理解充分条件和必要条件：p是q的充分条件，即“有p就足够了”；q是p的必要条件即“少了q不行，但有了q不一定行”．3．需要注意：小范围可以推出大范围，但是大范围推不出小范围．【变式训练】把你认为正确的答案的序号写在横线上．①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件④既不充分又不必要条件(1)“x2＝y2”是“|x|＝|y|”的________；(2)“x>5”是“x>3”的________；(3)“m＋|n|＝0”是“m2＋n2＝0”的________；(4)“∠A＝30°”是“sinA＝eq\f(1,2)”的________；(5)“a，b都是奇数”是“a＋b是偶数”的________；(6)“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的________．[课堂训练]1．“a>3”是“a≥3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“x2＝9”的充要条件是()A．x＝3或x＝－3B．x＝3且x＝－3C．x＝－3D．x＝34．“x∈A且x∈B”是“x∈(A∩B)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设a、b、c均为实数，则“a>b”是“a＋c>b＋c”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“m≤1”是“方程x2－2x＋m＝0有实根”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．“x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根”是“x1＋x2＝－2”的________条件．8．(1)“(a＋1)2＋(b－1)2＝0”的一个充要条件是________．(2)试写出x2－9＝0的一个充分条件：________．9．指出下列命题中，p是q的什么条件．(1)p：0＜x＜3，q：|x－1|＜2；(2)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；(3)p：ax2＋ax＋1>0的解集为R，q：0＜a＜4.1.2充要条件知识整合基础训练1．B【解析】因为x＝6⇒|x|＝6而|x|＝6⇒x＝6或x＝－6.2．B【解析】实数包括有理数，则“a是实数”“a是有理数”，“a是有理数”⇒“a是实数”，故“a是实数”是“a是有理数”的必要不充分条件．3．C【解析】∵B中的元素都在A中，则B⊆A，又B⊆AA＝B，A＝B⇒B⊆A，故选C.4．B【解析】已知a>b，当且仅当c≠0时可得ac2>bc2；已知ac2>bc2，则对于任何实数a，b，均有a>b.故选B.5．(1)⇒；(2)⇒；(3)⇔【解析】(1)x＝1⇒x2－1＝0，但x2－1＝0有可能x＝－1，故是充分不必要条件；(2)a是自然数⇒a是整数，但反之不成立，故是充分不必要条件；(3)△ABC是直角三角形⇒△ABC有一个角是90°，且△ABC有一个角是90°⇒△ABC是直角三角形，故是充要条件．重难点突破【例1】【变式训练】C【解析】∵a＋c＝2b，即a－b＝b－c⇒a，b，c成等差数列．又a，b，c成等差数列⇒a－b＝b－c⇒a＋c＝2b.故“a＋c＝2b”是“a，b，c成等差数列”的充要条件．故选C.【例2】【变式训练】A【解析】由x2－x－2<0，得－1<x<2，∵x<2⇒－1<x<2，－1<x<2⇒x<2，所以“x<2”是x2－x－2<0的必要不充分条件．【例3】【变式训练】A【解析】b＝3⇒a(b－3)＝0，a(b－3)＝0b＝3，故选A.【例4】【变式训练】B【解析】在△ABC中，∵sinA＝eq\f(1,2)⇒A＝30°或150°，∴sinA＝eq\f(1,2)A＝30°，∵A＝30°⇒sinA＝eq\f(1,2)，∴“sinA＝eq\f(1,2)”是“A＝30°”的必要而不充分条件，故选B.【例5】【变式训练】必要条件【解析】根据题意，p⇔q，p⇐s；s⇒q；所以q是s的必要条件．【例6】【变式训练】(1)③(2)①(3)②(4)①(5)①(6)②课堂训练1．A【解析】a>3⇒a≥3，a≥3a>3，故选A.2．B【解析】∵有可能x为正，y为负，故|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，故选B.3．A【解析】x2＝9⇒x＝3或x＝－3，故充分必要条件是x＝3或x＝－3.4．C【解析】“x∈A且x∈B”与“x∈(A∩B)”等价，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．5．C【解析】利用不等式的性质．6．C【解析】由题意得Δ＝22－4m≥0解得m≤1，故选C.7．充分不必要【解析】由根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，故是充分条件．8．(1)“a＝－1且b＝1”【解析】解方程(a＋1)2＋(