九年级暑假上册数学课件

CONTENS

目录

第一章数与式

第一讲整式的恒等变形2

第二讲因式分解16

第三讲数与式29

-k章方程与不等式

第四讲一元二次方程（一）48

第五讲一元二次方程（二）66

第六讲一元方程83

第七讲方程组107

第八讲不等式121

第一讲整式的恒等变形

【知识概述】

乘法公式也叫做简乘公式，是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应

用于一些特殊形式的多项式相乘，得到的既有特殊性、又有有用性的具体结论.它既是对

“多项式乘多项式”的应用，也是学习后续知识因式分解、解一元二次方程、分式、根式等

的基础，在复杂的数值计算、代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证

明等方面有着广泛的应用，在初中阶段占有很重要的地位.

除了常见的平方差公式与完全平方公式外，还有包括立方和差公式、完全立方公式等在

内的一些乘法公式也是数学中常用公式之一，在初中数学、高中数学，甚至高等数学中经

常见到.本讲主要包含两个模块，在对一些基本的乘法公式作更习和巩固的基础上，对乘

法公式进行一定程度的拓展和延伸，进而引申出整式恒等变形的一些常见方法和思路.

【知识结构】

«------------------------乘法公式

整式的恒等变形

整式的恒等变形

模块一：乘法公式

【知识精要】

I.立方和、立方差公式：

4-3("-ab+b2)="+方；

(«-Z?)(6r2+ab+b2^=a3-b3；

其中要注意以下几点：

(1)结果是立方和还是立方差由第一个因式是和还是差决定；

(2)这两个公式还能进一步推广：

(a+b)(a2n-a^b+a2^^-------ab2nl+b2n)=a2n^+从川;

(a-b)(an-1+an~2b+…+abn-2+尸)=an-bn.

2.完全立方公式：

(a+b)3=/+3a2b+3ab'+b3；

(67-/?)3=a3-3a2h+3ah2-hy；

其中要注意以下几点：

(1)运用完全立方公式计算时，结果通常按一个数(或字母)降零排列;

(2)完全立方公式也有两个常见变形：

(a+Z?)3=a3+b3+3ab(a+b),

a3+b3=(t?+Z?)3-3ab(a+b).

3.除了上述这些公式外，一下一些公式也比较常见：

(a+b+c)~=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(a+b+c^a2+Z?2+c2一"一乩一喻=片+//+/-3abc；

(a++c)(c+a)=a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc：

(«一力)(0—<?)(c-a)=a2c+b~a+c2b-a2b-b2c-c2a.

其中要注意以卜几点:

（1）在一些乘法公式中，加入把〃-力理解成4+（-6）,则无数公式的记忆和理解会变

得很方便;

（2）第一个公式（一般称作三项和的平方公式）有如下两个常见变形:

a2+从+H_=+(Z?-c)2+(a-c)［•

【典型例题】

1.补全将下列乘法公式：

(1)(府+〃〃+破)=；

⑵()~-()+()-64；

(3)3-2»=；

(4)(x+y)3(x_y)3=.

【答案解析】(1)a-2b,。3一助3(2)a-4,12/,48a；(3)

277-54Yy+36；9,2-8y}；(4)x6-3x4y2+3x2yA-y6.

［试题解答］(1),/a2+lab+482=/+a•劝+(乃)?，

:.(a-2b)(a2+2ab+4b2)=a3-竭:

(2)vay-()+()-64=ti3-()+()-43,

.•.(a-.=々3-12/+48”64；

(3)原式二27x3-54d),+36孙2-8/；

(4)=(x2-/)3=x6-3x4/+3x2/-/.

2.化简下列各式并求值：

(1)(^+2)(^-2x+4)+(x-l)(x2+x+1),其中x=-l;

(2)卜+9)-卜一权)+(3工一田(9工2+3个+力，其中x=-l,y=2.

【名师点拨】考查代数式的化简与求值.

【答案解析】(1)5；(2)-39.

【试题解答】(1)原式=丁+23+/-13=2丁+7,

代入x=-l可得，原式=-2+7=5；

33

(2)原式=2ry+(3x)3_=27x-y+2xy,

代入x=-l,y=2可得，原式=-27-8-4=-39.

3.(1)已知x+y=3,x2+y2=5,则/+丫③=,x4+y4=

x5+y5=；

(2)已知x+y=10,x3+/=100,则f+y2=.

(3)已知x+y+z=2,x2+y2+z2=6,x3+y3+z3=8,则秘=.

x4+y4+z4=.

【答案解析】(1)9,17,33；(2)40；(3)-2,18.

【试题解答】(1)•.•x+y=3,x2+j;2=5,

,3=3/+y)2一(/+力]=2'

/.x3+y5=(x+y)(x2-iy+y2)=3x(5-2)=9,

f+),4=(/+打一2%丁=25—2x4=17,

x5+y5=(x+y)(x4—^y+x2y2—xy3+y4)

=(x+y)[x4+y4f(f_/)+马2]

=3x(17-2x54-4)=33；

(2)vx+y=10,x3+/=100,

=(%+加2_孙+力=(x+),)[(%+»_3孙],

,-.xy=30,x2-xy+y2=10,/.x2+y2=40；

222

(3)(3)vx+y+z=2tx+y+z=6,

：.xy+yz+zx=—\(x+y+z)i-(x2+y2+z2)j=-l

又V+y3+z3=3xyz+(jr+y+z)(x2+y2+z?一孙一尸一zr)=8,/.xyz=-2,

22222

又xR+yz+ZX=(xy+yz+z,v)-2xyz[x+y+z)=91

x4+y*+z4=(x2+y2+z2)2-2(x2/+y2z2+z2x2)=18.

i............g+力

11-----------(a+“

I2I---------+

1331--------g+M

4641-----(a+6)"

（1）请根据贾宪三角直接写出S+A）4、（。+与,的展开式:

(a+b)4=,(a+bp=；

(2)请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的S+b)'的结果.

【答案解析】(1)a4+4ayb+6a2b2+4步+b\

a5+5a»+10c»+1。。2力③+5加+b5；

(2)略.

【试题解答】(1)根据系数规律，对于(。+6)”的展开式，

〃=4时，系数为I、4、6、4、I,

〃=5时，系数为1、5、10、10、5、1,

(a+8J=a4+4a7+6a?b2+4ab3+bA,

(a+"=a5+5ab+10«V+i0a2b3+5ab4+b5；

(2)(a+8)4=(a+b)2-(a+

=(a24-2ab+b1)(a2+2ab+/)=a，+4a%+6a?b2++/

5.已知一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数.如

64=82,64就是一个完全平方数.

(1)若加=4刈6+2如7+1,求证：也是完全平方数：

(2)^W=20162+20162X20I72+20172,求证：，〃是完全平方数.

【名师点拨】考查二项与三项的完全平方式及配方法.

【答案解析】(1)略；(2)略.

【试题解答】(1)由题意可知，

20Ms202m2016

m=4+2”+1=Q6丫+2x2刈6+1=(2+1。

二是完全平方数；

(2)由题意可知，

m=20162+20162x20172-20172,

令x=2016,则有:

m=x2+(x+1)2+(x+l)2

=x,+2/+3/+2x+1=x।+x2+1+2/+2/+2x

=(x2+x+l)2=(201624-2016+l)2,

:.m是完全平方数.

6.已知26=52+/，53=72+2\26x53=1378,1378=372+32,观察可知26、53

可表示为两个平方数的和，将这两个数相乘，乘积依然是两个平方数的和，数学

中将26、53这样的数称为“不变心的数”.

(1)试找出另外两个“不变心的数”；

(2)请说明其中的道理.

【名师点拨】考查完全平方数和配方法的运用.

【答案解析】(1)任取，如5和25；(2)略.

【试题解答】(1)另找两个“不变心的数”，

如5=肝+22,25=32+42,

5X25=125=112+22；

(2)设/«=/+/，〃=C?+"2,

则mn=(a2+Z>2)(c2+J2)=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2

=(a2c2+2abcd+b2d2)+17?2c2-2abcd+crd2)

=(ac+bd)-+(be-ad)2.

7.(1)已知a、b为正实数，且。+人=1,求证：a2+b2

2

(2)已知〃、炉二？，求证：p+qG2.

【名师点拨】考查配方法与完全平方公式在非负数性质中的运用.

【答案解析】(1)略；(2)略.

【试题解答】(1)\'a+b=l,

要证^2L即证片+从2创吆L,

22

即证：2(/+从)2(4+力，

即证：a2+b2>2ab,

即证：(tz-/?)2^0,得证；

(2)“、”=(〃+4)(〃2-%+d)

=；(〃+夕乂4/-4网+4/)

=W(〃+q)(〃2+2〃g+g2+3p2-6网+3炉)

=；(〃+")[(〃+夕『+3(〃一。)[之；(〃+力:

「•(〃+9)348,即p+qK2得证.

8.求证：

(x+y-2z)3+(y+z-2x)3+(z+x-2y^=3(x+y-2z)(y+z-2x)(z+x-2y).

【名师点拨】套用乘法公式

a3+b34-c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).整体换元.

【答案解析】略.

【试题解答】设。=x+y-2z,b=y+z-2x,c=z+x-2y,

则有a+b+c=O,

+Z>3+c3—3abc=(«+/?+c)[cT+tr+C2-ab-bc-ca]=0

：.^+b^+c3=3abc,即原式得证.

模块二：整式的恒等变形

【知识精要】

当然加入遇到不能直接使用乘法公式的问题，可以适当创造条件使之符合乘法公式的特

点，这种通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形.常见的

恒等变形的方法如下：

(1)整体代入(换元法)：

当整式中字母的值求出比较麻烦甚至无法求出时，需要把注意力和着眼点放在问题的整

体结构上，把紧密联系的量作为一个整体来处理(或用一个新设的未知数表示)，运

用“整体思想”可以使问题简化.

(2)消元降次：

一元一次，二元一次的问题我们会解，这是解题的基石.在解答问题时，加入未知数

的次数较高，就要考虑降次,降为一次或者是二次，相对来说就简单多了，同样的，

当未知数多的时候就要想到消元(代入消元、加减消元)，消掉未知数，变为一元的

问题即可.

举一个例子：若f+x-l=O,求f+Y+X-5的值.

x2=1-x,则x3x=(l-x)-x=x-x2=x-(l-x)=2x-l,

X4x=x(2x-\)=2x2-x=2(\-x)-x=2-3x(即反复利用。=l-x进行降次),

故原式=2—3x+3x-1+x—5=1—5=—4；

(3)配方法：

配方法的应用非常广泛，既可以配方后利用非负性得到未知数满足的条件，也可以配

方后结合所给条件进行求值，关键是要找到合适的平方项和交叉项，有效地进行配方.

具体变形步骤如下：

ax1-i-bx+c=a\x2+-.r+-|

(b弋(c(bY4ac-b2

（4）对称式：

任意两字母互换时，代数式保持不变，称这样的代数式为对称式，对称式中有几个未知

数即称为几元对称式.对称式的一个最重要的性质是二元对称式中一般只需已知其中两

个对称式的值即可求出其余所有的二元对称式的值；三元对称式中一般只需已知其中三

个对称式的值即可求出其余所有的三元对称式的值，以此类推；求值时一般按照次数从

底到高的顺序进行，例如二元对称式中一般首先求出（或已知）x+y,k的值再求

f+广9+丫3,…

【典型例题】

9.正整数a、b、c满足/+廿+/=3abc,且a+Z;=2,求(〃-b+c)”"的值.

【答案解析】1.

【试题解答】/+加+。3-9。=0,即

^a+b+c)(cr+br+C2-ab-bc—ac\=O,

而正整数a、b、c,则a+b+c/O,

所以/+从+。2-"-尻.一呢=3[(々—8)2+(a_c)2+(0-c)[=0,

因此a=Z?=c,结合〃+。=2,得到0=/?=(?=1,一方+C)-)"=1.

10.(1)已知4』_3/=7,3r+2y2=i9,求代数式14/一29的值;

(2)(2021上海交中初级中学初一期中)已知〃+人=8,必=-33,若

『+36-112,求从+3a的值；

(3)在等式尸加+Z?x+c中，当x=l时，y=3；当％=-1时，)?=5,

求3a-破+3c的值.

【答案解析】(1)52：(2)42；(3)8.

[试题解答](1)14x2-2/=2(7X2-/)=2[(4f-3y2)+(3x2+2y2)]

=2(7+19)=52；

(2)a2+3b+b2+3a=(a+b)~-lab+3(a+

=64+66+24=154,

所以从+3〃=154—("+“)=154—112=42；

(3)由题意得，

3=a+b+c+c=4

1人,解得八।.

{5=a-b+c(b=-l

故3"4/+3c=3(a+c)-4/=12-4=8.

11.(1)若f+3x-l=0,求/+丁+工一5的值；

(2)若x2+3x—l=0,求9+5/+5x+20的值；

(3)若f+3x+l=0,求3/+(f+5乂f-1)T(5X+6).

【答案解析】(1)Y;⑵22；(3)-3.

2

【试题解答】(1)由题意得，x=i-xy

plijx4+x3+x-5=x2(1-A)+x3+x-5

=X2-A3+X3+X-5=X2+X-5=1-5=T；

(2)由题意得，x2=-3x+1,

贝！1原式=x(-3x+l)+5(-3x+l)+5x+20

=-3f-9x+25=-3(f+3x|+25

=-3(X2+3X)+25=-3+25=22;

(3)由题意得，^+3x=-l,

则原式=丁+3/-x2-6x-5=x2(^x1+3x)-x2-6x-5=-2x2-6x-5

=-2(/+3x)-5=-3.

12.(1)若“2=x+i,y2=y+],且xwy,求d+y'的值；

(2)若丁”-针+1=0,求/+/+2017的值.

【答案解析】(1)11;(2)2021.

【试题解答】(1)两式相减有f-y2=x-y,可得x+y=l,

x5=xxx2xx2=x(x+l)2=必%2+2X+1)=X(3X+2)=3X2+2X=5X+3,

同理可得了s=5y+3,

所以x5+y5=5(x+y)+6=ll；

(2)由已知得，

V"+V,+2017=f一[)+/+20]7

=丁"一x2"+/+2017=x"(f-1)一V“+%”+2017

=d"-Z-x2n+Z+2017=x2n-l-x2M+2017=2016.

13.(1)已知/+),2_4%+2),_5=0,求(3+)，户”的值；

(2)若实数a、b^^a2lr+a2+b2-4ab+\=0.求a+2b的值；

(3)已知x-y=a,z-y=10,求代数式f+y?+z?-个一yz-zx的最小值;

(4)已知.+力+c=3,4+从+/=3,求产刈：滑。的值.

【答案解析】(1)1;(2)±3；(3)75：(4)3.

【试题解答】（1）M+y—4工+2），+5=0可化简为（x-2）2+（y+l）2=0,

二.x=2,y=T,

：./(x+y)\2013=11；

(2)+〃2+62_4々力+]=o可化简为(^a-b)2+(d/?-l)2=0,

」.4+2Z?=3或一3；

(3)因为x-y=a,z-y=10,所以z_x=(z_y)_(x_y)=]0_a,

2222

所以V4-y4-Z-Xy,-yZ-ZX=L4-(y-£)+(Z-%)]

=g[02+]()2+(10-a)2]=6i2-106Z4-100=(«-5)2+75,

显然当a=5时，原式取最大值75；

(4)由已知有(a—l)2+3—l)2+(c—l)2=(a2+b2+c2)—2(a+b+c)+3=3—6+3=0,

则a=b=c=l,所以0刘7+〃刈7+°刈7=3.

14.(1)已知2"+2Z/-4a=0,-6Z?+5=0,求a+/的值;

(2)已知4+Z>4+/+d,=46rZx?d,且。、b、c、d都是正数,

求的值・

【答案解析】（D2；⑵q

【试题解答】（1）由题意得，/+2而+/一4«+4+/-砧+1=0,

整理得,a2+2ab+b2-4<z-4/?+4+Z>2-2Z?4-l=0,

酉己方得，（。+力一2『+（6-1）2=0,

故(a+b-2=0,解…出|a=1.

』，则》-=2；

(2)因为a4+h4+c4+d4=4abcd,

所以/十〃&-2a2b2+c4+d4-2c2d2=-2(a2Z?2+c2d2-2abed),

22222

配方得(a-b)+(c-玛2+2(ab-cd)=0,

a2=b2

由非负性可得“2=/,

ab=cd

解出a=b=c=d,a=b=-c=-d,a=-b=c=-d,a=-b=—c=d,

因为a、b、c、d都是正数，故a=h=c=d,

匚匚I、Ia-2Z>+3c-4d1

所以-------------=——.

4a+3b-2c-d2

【课堂练习】

1.(10分)若x-y=2,金+9=4,则那6十/6的值是()

A.4B.20162C.220'6D.420,6

【答案解析】C.

【试题解答】门7=2,r+y=4,

.•.2孙=(/+力《一刃2=0

.,.x=O,y=-2或x=2,y=0,

.•.户16+y珈6=0+2刈6=2初5,

故答案选C.

2.(10分)简便计算：

(1)99.82；(2)492+512；

【答案解析】(1)9960.04；(2)5002.

(试题解答］(1)原式=(100-0.2)2=1000G_40+0.04=9960.04；

（2）原式=（50-1）2+（50+1）?=2x502+2x1=5002.

3.（10分）计算：

（1）（4f/Z?+3c）（12abc-16a2b2—9c2）;

（2）（a-b）［（〃+城-ab］+2（a+〃）［（a-by+ab^.

【答案解析】（1）-64aV-27c3；（2）3/+死

【试题解答】（1）原式=-（4ab+女）［（4ab）~-4ab.3c+（3c）［=-64a%3-27c3；

（2）原式=（4一〃）（储+（而+62）+2（4+人）（〃2-ab+b2^

=安一步十2（a'+//）=%'+//.

4.（20分）已知a、b、c为正实数，且a+6+c=l,求证：a2+h2+c2>-.

3

【答案解析】略.

【试题解答】•.•a+b+c=l,

/.要证：a2+b2+c2zL即要证“2+从+c?之（"+"+c）

33

即证：3（储+从+02）之（々+〃+），

即证：a2+Z?2+c2-ab-bc-ca>0,

即证：l［（a-Z,）2+（b-4+（c-a）2］>0,得证.

h2+2ac=\4

5.（25分）（1）已知三个正实数a、b、c满足“2+2必=29,则a+8+c=

a2-2bc=2\

（2）已知a、b、c>d是正实数，且满足£+从=，+/=5,ad=be,则

ac+bd=.

［答案解析】（1）R：（2）5.

b2+2ac=14…①

【试题解答】（1）?+2^=29...@,

a2+2bc=21…③

①⑨可得：

a2+Z>2+c2+lab+2bc+2ca=（a+b+c）i=64,

..4+力+c=8；

（2）a2+b2=c2+d2=5.ad=be,

.'.（a1+/）=3）2+（々4）2+（儿）2+（9）2

=（〃c）2+2（ad）2+（6+2abcd+（hd）2=（ac+bdy=5x5=25,

又ac+bcl>0,/.ac+bd=5.

6.（25分）观察下列各式，你发现了什么规律？

1,2=.1=6—=1-x--2-x-3,

66

c2u302x3x5

1I2+22=5=——=------,

66

,2c2c2-843x4x7

1-+22+3=14=——=----,

66

N一与八1804x5x9

1r2+2-+3-+4-=30=—=------,

66

（1）填空：12+22+32+4?+•••+（〃-炉+/=；

（2）试利用立方差公式证明这个公式.

【名师点拨】本题考查寻找规律及立方差公式在裂项相消中的运用.

【答案解析】（1）M〃+l）（2〃+l）；⑵略.

【试题解答】(1)观察可知，

2_6_lx(l+l)x(2xl+l)

1=1=6=6，

22

1I25_30=2X(2+1)X(2X2+1)

66

l2+22+32=14=—=3X^34-^X^X2+1\

66

F+22+3?+4?+…+(〃—I)?+〃2="(〃+J""+1)；

')6

(2)由立方差公式可知.

—(〃—1)3_3〃2-3〃十1.

-1)3--2)3=3(〃-1)2-3(n-l)+l,

(〃-2)3--3)3=3(〃-2)2-3(〃-2)+1,

.....

23-13=3X22-3X2+1,

13-O5=3X12-3x1+1,

累加可得，〃3=3任+22+…+〃2)-3(]+2+…+〃)+〃，

,27C，/八222/+3/+J7〃(〃+1)(2〃+1)

1~+2~+3-+4-+…-1)+n~=-----------=-....------L.

66

【课后作业】

1.(15分)计算：

(1)(x-2y)2(-x2-2xy-4y2)2；(2)(/%+〃)[(〃?-〃/+一加/十”6)；

(3)(X6-),6)2(X6-川+/)2(f+dy3+y6)2.

【名师点拨】考查立方和与立方差公式的计算.

【答案解析】(1)x6-l6rt/+64/；(2)m9+n9：(3)jr36-2x,8y18+y36.

【试题解答】(1)原式=卜①-8y3才2=(苗一8y3)2=,_i6xy+64y6；

(2)原式=+n)(nr-nm+n2-tnin3+z?6)

=(W+)(/-6％3+〃6)=旭9+/.

(3)原式=[(x3+力卜673y3+)(x6+♦♦+力了

=[(x9+/)p-/)T=『.)2=/-238y8+y的.

2.(10分)(1)已知。一6=—2,h-c=5f贝!1/+/+c?—"一力c-ca=

(2)已知a?从+/+从+1=4[力，则。+b=.

【答案解析】(1)19；(2)一2或2.

【试题解答】(1)va-b=-2,b-c=5,

:.a—c=a—b+b—c=3y

/.a2+tr+(r-ab-be-ca

=-[(t?-/?)2+(Z?-c)2+(c-o)2]=^(4+25+9)=19；

(2)a2b2+a2+b2+1=4ab,

(")2-2ab+\+a2-lab+/=0,

B|J(ab-1)"+(4_力)~一0，

：.a=b=—\^.a=b=\,:.a+b=-2^(t2.

3.(20分)观察下列各式，寻找规律：

Ix2x3x4+1=52,

2x3x4x5+l=ll2,

3x4x5x6+1=192,

（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明;

（2）根据（1）的结论，计算：2016x2017x2018x2019+1.（用完全平方数表示）

【答案解析】（1）〃（〃十1）（〃十2）（〃十3）+1=（〃2+3〃十（2）40703052.

【试题解答】（1）观察可知，

等式左边二〃（〃+1）（〃+2）（〃+3）+1

=〃（〃+3）（〃+1）（〃+2）+1=（1+3/。（〃2+3〃+2）+1

=.|_2（〃2+3〃）+1=+3〃+1）2,

,n（n+l）（/7+2）（n+3）+1=（H2+3〃+1丫；

（2）由（1）可得，

2016x2017x2018x2019+1

=（20162+3x2016+1）2=40703052.

4.（20分）加入一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数

为“神秘数”，如：4=22-。2,12=42—22,20=62-42,因此4、12、20都是这

种“神秘数”.

（1）28和2021这两个数是“神秘数”么？试说明理由；

（2）试说明“神秘数”能被4整除；

<3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由.

【答案解析】（1）28是“神秘数”,2021不是“神秘数”；（2）略;（3）不是.

【试题解答】（1）28=82-62,是“神秘数”，

2021无法表示成两个连续偶数的平方差，不是“神秘数”；

（2）设神秘数为M,可以表示为两个连续偶数2（"+1）、2〃的平方差（〃为整

数），

则M=4（〃+1）2-4〃2=8〃+4=4（2〃+1）,

二“神秘数”能被4整除;

(3)设两个连续奇数为2八+1、2//-1,

则(2〃+1)2_(2〃-1)2=8«=4X2M,

.♦.两个连续奇数的平方差不是“神秘数”.

5.(15分)^a+b+c=a2+b2+c2=2,求证：a(\-a)2=b(\-b)2=c(l-c)2.

【答案解析】略.

【试题解答】由(a+b+c)2=/+c?+2"+2bc+2«c,可得ab+bc+ca=\,

(x-tz)(A；-/))(x-c)=x3-(«+/)+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc

=V-2x2+x-abc,

2

Blttx(l-x)=(x-a)(x-b)[x-c)+abct

故q(1_q)~=b(l-b^=c(l-c)2=abc.

6.(20分)若〃、b>c>d满足a+b=c+d,a3+Z?3=c3+1/3,求证：对于任意正奇

数〃，都有"+b"=c"+d".

【答案解析】略.

【试题解答】因为a+b=c+d,所以(a+4=(c+4,

即t?+/+3ab(a+b)=c3+dy+3cd(c+d),

又因为ai+b3=c3+d\所以H(〃+b)=cd(c+4),

i.当a+b/0时，ah=cd,所以(a—力『=(a+人一4〃力=(c+"『一4。"二年一〃)？，

所以a—6=c—d或a—A=d-c,

所以a=c,Z?=d或a=d,b=c,

址匕时c"+d",

ii.当a+Z>=0时，c+d=O,因为〃为正奇数，所以a"+N=c”+d"=O,

综上所述，对于任意正奇数小都有德+Zf=c"+d〃.

第二讲因式分解

【知识概述】

把一个多项式在一个范围化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也

叫作分解因式，是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具.

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，对于培养学生的观察、思考、解运算

和综合分析解决问题的功底都有着十分独特的作用.既可以更习整式的乘法运算，又可为接

下来学习分式、根式打好基础.

多项式理论是代数学的重要组成部分，它在理论上和方法上对现代数学都有深刻的

影响.与多项式有关的问题除了出现在函数、方程、不等式等代数领域中，还涉及到几何、

数论等知识，是一个综合性的工具.也是自招与比赛中的热点问题.

本讲将重点介绍因式定理和有理根定理、待定系数法与主元法等新的因式分解的工具,

阐述常见的不同类型的多项式如何因式分解.

【知识结构】

因式定理与有理根定理

因式分解待定系数法

主元法

模块一因式定理与有理根定理

【知识精要】

形如〃x)=%£+4-…为非负整数，4工0)的代数式叫做关于x的

一元〃次多项式.4,…,可称为多项式的系数，〃称为此多项式的次数.

对于任意两个多项式/(力，g(z)(ga)HO),总存在两个多项式q(x)和r(x),使得

/(x)=g(X)•q(x)+r(x),其中/(x)叫做被除式，g(x)叫做除式,g㈤叫做商式，r(x)叫

做余式，余式r(x)的次数小于除式g(x)的次数.当r(x)=O时，有f(x)=g(x)p(x),此时

称作/(%)被8(*)整除，或/(x)被g(x)整除，g(x)和“(%)叫做的因式.

加入g(x)是一次式x-〃，则r(x)的次数小于1,因此，r(x)只能是常数(0或非零常

数)，这时，余式也叫余数，记为二即有f(x)=(x-4)«(x)+r；

令％得，/(a)=r；因此，有以下重要定理：

余数定理：多项式/")除以(X-。)所得的余数等于/(a).

由上述可知，加入“X)能被整除，那么必有r=0,反之，加入r=O,那么

能被x-a整除，因此，得到以下重要定理：

因式定理：加入多项式/(x)能被整除，亦即/(x)有一个因式x-a,那么〃a)=O,

反之，加入〃a)=O,那么x-a必为多项式/(x)的一个因式.

有理根定理：若=产、…%是一个整系数多项式，而工是“X)的

s

一个有理根，其中八s互质，那么必有s|a“，，M。；特殊地，加入f(x)的首项系数4=1,

那么f(x)的有理根都是整根，而且是&的因子.

有理根定理的一个常见应用即是利用这个性质进行试根，结合因式定理对多项式进行因式分

解，具体步骤如下：

1)对于一个整系数一元高次多项式/(力=勺亡+可_]7+…++找到&的所有

因数；

2)将所有因数依次代入多项式，若存在一个因数a,使得/(a)=0,则。为多项式

/(x)的一个根；

3)由因式定理可知，/(力必有一个因式为x-a,因此可写为/(x)=(x-a)g(x)；

对于多项式g(x)可以继续利用试根法进行因式分解，也可利用其它方法进行因式分解,

最终将因式分解.

备注：多项式的根即为其所对应的方程的根，故对于求解一个一元整式方程，加入可

以将其所对应的多项式因式分解，即可求出该方程的根.

【典型例题】

1.已知多项式2X3-12有一个因式是2x+l,求用的值.

【答案解析】m=~.

2

【试题解答】因为多项式谓-丁+加有一个因式是2x+l,故该多项式有一个根-1,

2

即2.+W=0,解得，m=g.

2.分解因式：X,-8X2+19X-20.

【答案解析】(^7乂丁一工+可.

【试题解答】由有理根定理，有理根可能为±1,±2,±4,±5,±10,±20,且

显然任意x<0使得多项式为负，故不可能为有理根，

/(5)=0,故有一个有理根x=5,

丁一&?+19%-20=任一50一(3/-15句+(4X-20)=(工一5乂/一3%+4),

vx2一3x+4在实数范围内无法因式分解，」.丁一8/+19x-20=(x-5)(x2-3x+4).

3.分解因式：?+8x2+17x4-10.

【答案解析］(%+1)(%+2)(1+5).

【试题解答】根据有理根定理，可知多项式/+8/+174+10的有理根只可能是±1,

±2,±5,±10,因为当％=-1,-2,-5时，寸+8/+17%+10=0,

所以^+8/+17%+10必含有因式(x+l)(x+2)(x+5),

比较最高次系数，得x3+8r+17x+10=(x+l)(jt+2)(x+5).

4.求整系数多项式/(x)=f—d+5d-15/+2X+8的全部有理根.

【答案解析】1和-2・

【试题解答】4=1，故〃》)的有理根都是整数，且都是.的因子，

故/(x)可能的有理根是±1,±2,±4,±8,

代入，检验得只有/⑴=0、/(-2)=0,故“X)的有理根只有1和-2.

模块二待定系数法

【知识精要】

待定系数法：

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，根据得到的恒等式的性质得

到对应项系数应满足的方程或方程组，再通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出

某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法.

有些复杂的多项式因式分解可以借助于待定系数法.

用待定系数法因式分解，步骤如下：

(1)设原多项式分解为含待定系数的因式的积；

(2)依据等