电气工程基础 课件 第3章 电力系统稳态运行分析与计算

第三章电力系统稳态运行分析与计算第一节潮流计算的基础第二节简单电力系统的潮流计算第三节复杂电力系统的潮流计算

第一节

潮流计算的基础

所谓潮流，是指电力系统的功率流动，主要包括电力系统中各元件(如发电机、电力线路、变压器等)运行时的功率(包括有功功率和无功功率)、电压(包括大小和相位)等运行参数。

潮流计算是电力系统分析中最基本的计算，它的任务是根据给定的运行条件确定网络中的功率分布、功率损耗及各母线的电压，用于检查系统各元件是否过负荷、各点电压是否满足要求、功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。对现有电力系统的运行和扩建、对新的电力系统进行规划设计，以及对电力系统进行静态和状态稳定分析等，都是以潮流计算为基础的。

图3-1节点电压和支路电流的关系

1.节点导纳矩阵的形成

节点导纳矩阵的各元素可以由其定义直接求得。在式(3-5)中，由定义Yij=-yij可知，导纳矩阵的第i行第j

列的非对角元素为节点i、j

间支路导纳的负值，称为节点i和节点j间的互导纳或转移导纳。若节点i和j

之间无直接联系，则两节点间的支路阻抗为无穷大，支路导纳为零，相应的互导纳也为零。

图3-2在节点上加一单位电压

n

个节点的电力网络的节点导纳矩阵具有以下特点：

(1)导纳矩阵是n×n

阶方阵。

(2)导纳矩阵是对称矩阵。

(3)导纳矩阵是复数矩阵。

(4)导纳矩阵是高度稀疏矩阵。每一非对角元素Yij是节点i和j

间支路导纳的负值，当i和j间没有直接相连的支路时，即为零。根据一般电力系统的特点，每一节点平均与3~5个相邻节点有直接联系，所以导纳矩阵是一高度稀疏的矩阵。

(5)对角线元素Yii为所有连接于节点i的支路(包括节点i的接地支路)的导纳之和。

2.节点导纳矩阵的修改

修改方法如下：

(1)原网络节点增加一接地支路。设在节点i增加一对地支路，如图3-3(a)所示。由于没有增加节点数，节点导纳矩阵的阶数不变，只有自导纳Yii发生变化，变化量为节点i新增的接地支路的导纳yi：

(2)原网络节点i、j间增加一条支路。如图3-3(b)所示，在节点i、j

间增加一条支路。此时节点导纳矩阵的阶数不变，只是由于节点i和j

间增加了一个支路导纳yij，而使节点i和节点j间的互导纳、节点i和j的自导纳发生变化，变化量为

(3)从原网络引出一条新支路，同时增加一个新节点。设原网络有n

个节点，现从节点i(i≤n)引出一条支路及新增一个节点j，如图3-3(c)所示。由于网络节点多了一个，所以节点导纳矩阵也增加一阶。新增支路与原网络节点i相连，因而原节点导纳矩阵元素Yii将发生变化，而其余元素则不变；新增节点j

只通过支路导纳yij与原网络中节点i

相连，而与其他节点不直接相连，因此新的节点导纳矩阵中第j

列和第j

行中非对角元素除Yij和Yji外其余都为零，如下所示：

(4)修改原网络中的支路参数。修改原网络中的支路参数，可以理解成先将被修改支路切除，然后再投入以修改后参数为导纳值的支路。因而，修改原网络中的支路参数可通过给原网络支路并联两条支路来实现。如图3-3(d)所示，一条支路的参数为原来该支路导纳的负值-yij(相当于切除该支路)，另一条支路的参数为修改后支路的导纳y'ij。图3-3-电力网的变化

(5)网络中增加一台变压器。增加一台变压器时，可以先将变压器用含有非标准变比的Π形等值电路替代，然后按以上三种基本方法处理。例如节点i、j

间增加一台变压器，如图3-4(a)所示，节点导纳矩阵有关元素的变化量可由Π形等值电路求得，见图3-4(b)所示。图3-4增加一台变压器

3.节点阻抗矩阵

由式(3-7)可得到

式中，Y-1为节点导纳矩阵的逆矩阵，称作节点阻抗矩阵，也是一个n

阶的对称复数方阵。节点阻抗矩阵中各元素的物理意义是：在电力网中任一节点i注入一单位电流，而其余节点均为开路(即注入电流为零)时的节点电压值。

节点阻抗矩阵的对角元素Zii叫自阻抗，非对角元素Zji叫互阻抗。在一般情况下，注入单位电流的节点i的电压要大于其他节点的电压，所以Zii>Zji。在一个有n

个节点相连成网的系统中，当节点i注入单位电流时，其他任一节点上均会出现电压，所以Zji≠0，因而阻抗矩阵中的元素一般不可能为零，它是一个满矩阵。

例3.1试求图3-5所示电力网的节点导纳矩阵，图中给出了各支路阻抗和对地导纳的标幺值。节点2和节点4间、节点3和节点5间为变压器支路，其漏抗和变比如图3-5所示。图3-5例3.1的电力系统接线图

解：根据上述节点导纳矩阵的定义，可求得节点导纳矩阵各元素：

与节点1有关的互导纳为

支路24为变压器支路，可以求出节点2的自导纳

与节点2有关的互导纳为

用类似的方法可以求出导纳矩阵的其他元素，最后可得到节点导纳矩阵为

二、

功率方程和变量、

节点的分类

节点电压方程YBUB=IB

是潮流计算的基本方程式，建立了节点导纳矩阵YB

就可以进行潮流分布计算了。如果已知的是各节点电流IB，直接解线性的节点电压方程就相当简

捷。

图3-6简单系统及其等值网络

如令

并将它们代入式(3-17)展开，将有功、无功功率分列，可得

将式(3-18)中的第一、二式相加，第三、四式相加，又可得这个系统的有功、无功功率平衡关系

在功率方程中，母线电压的相位角是以差值(δ1-δ2)的形式出现的，亦即决定功率大小的是相对相位角或相对功率角δ1-δ2=δ12，而不是绝对相位角或绝对功率角δ1

或δ2。

由式(3-19)可见，这个简单系统的有功和无功功率损耗分别为

2.变量的分类

由式(3-18)还可见，在这4个一组的功率方程式组中，除网络参数ys、ym

、αs、αm

外，共有12个变量，它们是：

负荷消耗的有功、无功功率——PL1、QL1、PL2、QL2；

电源发出的有功、无功功率——PG1、QG1、PG2、QG2；

母线或节点电压的大小和相位角——U1、U2、δ1、δ2。

因此，除非已知或给定其中的8个变量，否则将无法求解。

无疑，变量的这种分类也适用于具有n

个节点的复杂系统。只是对这种系统，变量数将增加为6n个，其中扰动变量、控制变量、状态变量各2n

个，换言之，扰动向量d、控制向量u、状态向量x都是2n

阶列向量。

为克服困难，可对变量的给定稍作调整：

在一具有n

个节点的系统中，只给定n-1对控制变量

PGi、QGi，余下一对控制变量PGs、QGs待定。这一对控制变量PGs、QGs将使系统功率，包括电源功率、负荷功率和损耗功率保持平衡。

在这系统中，给定一对状态变量δs、Us，只要求确定n-1对状态变量δi、Ui。给定的δs

通常就赋以零值。这实际上就相当于取节点s的电压相量为参考轴。给定的Us

一般可取标幺值1.0左右，以使系统中各节点的电压水平在额定值附近。

这样，原则上已可从2n个方程式中解出2n个未知变量。但实际上，这个解还应满足如下的一些约束条件，这些约束条件是保证系统正常运行所不可少的，其中，对控制变量的约束条件是

对没有电源的节点则为

对状态变量Ui的约束条件则是

这表示系统中各节点电压的大小不得越出一定的范围，因系统运行的基本要求之一就是要保证良好的电压质量。

对某些状态变量δi

还有如下的约束条件：

这条件主要是保证系统运行的稳定性所需求的。由于扰动变量

PGi、QGi不可控，因此对它们没有约束。

3.节点的分类

考虑到各种约束条件后，有时，对某些节点，不是给定控制变量

PGi、QGi而留下状态变量Ui、δi待求，而是给定这些节点的PGi和Ui

而留下QGi和δi

待求。这其实意味着让这些电源调节它们发出的无功功率QGi以保证与之连接的节点电压Ui

为定值。

这样，系统中的节点就因给定变量的不同而分为以下三类：

第一类称PQ

节点。

第二类称PV

节点，对这类节点，等值负荷和等值电源的有功功率PLi、PGi是给定的，从而注入有功功率pi

是给定的。

第三类称平衡节点。

第二节

简单电力系统的潮流计算

一、

电力线路的电压损耗与功率损耗电力线路最简单的模型是连接两节点间的一条阻抗支路(如图3-7所示)。首先讨论这种模型中的电压损耗与功率损耗。图3-7中，R+jX

为线路阻抗，P+jQ

为节点j负荷的一相功率。

线路的电压相量图见图3-7(b)。线路电压降落(两端电压相量差)为

式中，ΔU

称作电压降落纵分量，δU

称作电压降落横分量。图3-7电力线路模型和电压相量图

从相量图中可以求得线路始端相电压有效值和相位角：

长度较短的电力线路两端电压相角差一般都不大，可近似地认为

亦即线路的电压损耗(两端电压有效值之差)可近似地用电压降落纵分量ΔU

表示。

通过线路输送的负荷在线路电阻电抗上产生的功率损耗就是线路的功率损耗：

电力线路常用的模型为Π形等值电路，如图3-8(a)所示。与图3-7(a)相比，线路两端各多了一条数值为线路等值导纳B一半的对地支路。如以P'+jQ'代表通过线路等值阻抗R+jX

靠j侧的功率，则有图3-8电力线路Π形模型和线路的无功功率损耗

线路始端电压：

线路功率损耗：

线路送端的功率：

二、

变压器中的功率损耗与电压损耗

与电力线路一样，变压器的电压和功率损耗也可按其等值电路计算，如图3-9(a)所示。变压器的电压损耗计算与线路的计算相同，如式(3-21)~式(3-24)所示，但在式中要用变压器的等值电阻RT

和电抗

XT

来代替线路的阻抗。在计算变压器的功率损耗时，要注意到变压器的对地支路是电感性的，因而它始终消耗无功功率，总无功功率损耗与负荷的关系如图3-9(b)所示。图3-9变压器等值电路和无功功率损耗

另外，接地支路还消耗有功功率，即变压器的铁芯损耗。这两部分损耗在等值电路中可用接于供电端的并联电纳和电导支路来表示。变压器的功率损耗如下：

由式(3-32)与式(3-33)可见，变压器的有功损耗与无功损耗都是由两部分组成的：一部分为与负荷无关的分量，另一部分是与通过的负荷平方成正比的损耗。

三、

辐射形网络的潮流计算

电力系统中的接线方式包括开式网络和闭式网络。开式网络又称辐射形网络，闭式网络又包括两端供电网络和简单环形网络。辐射形网络是电力系统中结构最简单的网络，电力系统中很多情况采用的是辐射形电力网，如图3-10所示。图3-10辐射形电力网

最简单的辐射形网络如图3-11(a)所示，它是一个只包含升、降压变压器和一段单回路输电线的输电系统。这个输电系统的等值电路如图3-11(b)所示。作图3-11(b)时，以发电机端点为始端，并将发电厂变压器的励磁支路移至负荷侧以简化分析。图3-11(b)可简化为图3-11(c)，在简化的同时，将各阻抗、导纳重新编号。图3-11最简单辐射形网络

辐射形电力网的分析计算，根据已知条件的不同，一般可分为如下两种情况。

1.已知末端功率与电压

如图3-12所示的电路中，末端电压Uk

及功率Pk

和Qk

为已知，可以得到线路j-k阻抗末端的功率：

线路j-k

阻抗的功率损耗：

节点j的电压：

线路j-k

的始端功率：图3-12辐射形电力网的功率分布

2.已知末端功率、始端电压

这是最常见的情形。末端可理解成一负荷点，始端为电源点或电压中枢点。对于这种情形，可以采用迭代法来求解。

第一步：假设末端电压为线路额定电压，利用第一种方法求得始端功率及全网功率分布；

第二步：用求得的线路始端功率和已知的线路始端电压，计算线路末端电压和全网功率分布；

第三步：用第二步求得的线路末端电压计算线路始端和全网功率分布，如求得的各线路功率与前一次相同计算的结果相差小于允许值，就可认为本步求得的线路电压和全网功率分布为最终计算结果；否则，返回第二步重新进行计算。

例3.2电网结构如图3-13所示，其额定电压为10kV。已知各节点的负荷功率及线路参数：

试作功率和电压计算。图3-13例3.2的电力网

解：(1)先假设各结点电压均为额定电压，求线路始端功率。

(3)根据上述求得的线路各点电压，重新计算各线路的功率损耗和线路始端功率：

例3.3-电力线路长80km，额定电压为110kV，末端连接一容量为20MVA、变比为110/38.5kV的降压变压器。变压器低压侧负荷为15+j11.25(MVA)，正常运行时要求电压达36kV。试求电源处母线上应有的电压和功率。

计算时：

(1)采用有名制；

(2)采用标幺制。

SB=15MVA，UB=110kV。

线路采用旧标准LGJ-120导

线，其

单

位

长

度

阻

抗、导

纳

为：r1=0.27Ω/km，x1=0.412Ω/km，g1=0，b1=2.76×10-6S/km。归算至110kV侧的变压器阻抗、导纳为：RT=4.93Ω，XT=63.5Ω，GT=4.95×10-6S，BT=49.5×10-6S。

网络接线如图3-14所示。图3-14例3.3网络接线图

解：首先分别绘出以有名制和标幺制表示的等值电路，如图3-15(a)、(b)所示。其次分别以有名制和标幺制计算潮流分布，如表3-1所示。图3-15例3.3等值电路

由上可得本输电系统的有关技术经济指标如下：

这些指标都较为理想，因为所计算的是一个负荷较轻的运行状况。由于负荷较轻，加之负荷功率因数较低、线路电阻Rl

又较大，线路始末端电压间的相位角很小，δl=1°。

由上还可得出如下具有一定普遍意义的结论：

(1)如只要求计算电压的数值，略去电压降落的横分量δU不会产生很大误差。如本例中，略去δUT

时，误差仅110.86-110.52=0.34(kV)，即0.3%。因而，近似计算公式U1=U2+ΔU

有较大的适用范围。

(2)变压器中电压降落的纵分量ΔUT主要取决于变压器电抗。如本例中，P3RT/U3=0.72(kV)，而Q3XT/U3=6.95(kV)，即后者较前者大9倍以上。

(3)变压器中无功功率损耗远大于有功功率损耗。如本例中，ΔQzT+ΔQyT=2.11+0.6=2.71(Mvar)，而ΔPzT+ΔPyT=0.16+0.06=0.22(MW)，即相差10倍以上。

(4)线路负荷较轻时，线路电纳中吸收的容性无功功率大于电抗中消耗的感性无功功率的现象并不罕见。如本例中，ΔQyl1+ΔQyl2=1.512+1.34=2.852(Mvar)，而ΔQzl=1.056(Mvar)，即这时的线路元件是一个感性无功功率电源。

例3.4

试运用以∏形等值电路表示的变压器模型，重新计算例3.3中输电系统的运行状况，并将计算结果与例3.3比较。计算时采用有名制。

解：首先将变压器阻抗归算回低压侧。

据此，即可作接入理想变压器后的等值网络，如图3-17所示。图中，理想变压器的变比显然为

然后计算：图3-17接入理想变压器后的等值网络

为在本例中仍能运用手算，宜采用由阻抗支路和导纳支路混合组成的变压器Π形等值电路，即其中的接地支路参数仍取y20、y30，节点间互连支路则以z23取代y23，因此，由如上计算结果即可作图3-18。图3-18变压器以混合参数表示时的等值网络

至此，就可以常规的手算方法计算这一输电系统的运行状况。

于是，变压器阻抗中的功率损耗为

四、

环形网络中的潮流分布

1.环式供电网络中的功率分布

最简单的环式供电网络如图3-19(a)所示，它只有一个单一的环，其等值电路如图3-19(b)所示。作图3-19(b)时，与作图3-11(b)时相同，也以发电机端点为始端，并将发电厂变压器的励磁支路移至负荷侧。图3-19(b)也可简化为图3-19(c)，在简化的同时，也将各阻抗、导纳重新编号。图3-19最简单的环式供电网络图3-19最简单的环式供电网络

图3-20等值两端供电网络的等值电路

如果网络中所有线段单位长度的参数完全相等，则式(3-37)可改写为

从而

2.两端供电网络中的功率分布

回路电压为零的单一环网既可等值于两端电压大小相等、相位相同的两端供电网络，以及两端电压大小不等、相位不同的两端供电网络，如图3-21(a)所示，也可等值于回路电压不为零的单一环网，如图3-21(b)所示。图3-21两端供电网络与环式网络的等值

式(3-44)还可用以计算环网中变压器变比不匹配时的循环功率。为此，先观察图3-22所示环式供电网络。设图中变压器

T1、T2

的变比分别为242/10.5、231/10.5，则在网络空载且开环运行时，开口两侧将有电压差；闭环运行时，网络中将有功率循环。例如，将图中断路器1断开时，其左侧电压为10.5×242/10.5=242(kV)，右侧电压为10.5×231/10.5=231(kV)；从而，将该断路器闭合时，将有顺时针方向的循环功率流动。图3-22环式网络

3.环形网络中的电压降落和功率损耗

例3.5

网络接线图如图3-23所示。图中，发电厂F母线Ⅱ上所连发电机发给定运算功率(40+j30)MVA，其余功率由母线Ⅰ上所连发电机供给。图3-23-例3.5网络接线图

设连接母线Ⅰ、Ⅱ的联络变压器容量为60MVA，RT=3Ω，XT=110Ω；线路末端降压变压器的总容量为240MVA，RT=0.8Ω，XT=23Ω；220kV线路中，Rl=5.9Ω，Xl=31.5Ω；110kV线路中，xb段，Rl=65Ω，Xl=100Ω，bⅡ段，Rl=65Ω，Xl=100Ω。所有阻抗均已按线路额定电压的比值归算至220kV侧。降压变压器电导可略去，电纳中功率与220kV线路电纳中功率合并后，作为一10Mvar无功功率电源连接在降压变压器高压侧。

设联络变压器的变比为231/110kV，降压变压器的变比为231/121kV；发电厂母线Ⅰ上电压为242kV，试计算网络中的潮流分布。

解：(1)计算初步功率分布。

按给定条件作等值电路，如图3-24所示。图3-24等值电路图

设全网电压均为额定电压，以等电压两端供电网络的计算方法计算功率分布，则

校核：

可见计算无误。接下来可作初步功率分布，如图3-25所示。图3-25初步功率分布

(2)计算循环功率。

如在联络变压器高压侧将环网解开，则开口上方电压即发电厂母线

Ⅰ

上的电压为242kV；开口下方电压为

由此可见，循环功率的流向为顺时针方向，其值为

求得循环功率后，即可计算计及循环功率时的功率分布，计算结果如图3-26所示。图3-26计及循环功率时的功率分布

(3)计算各线段的功率损耗。

由图3-26可见，此处有两个功率分点，选无功功率分点为计算功率损耗的起点，并按网络额定电压220kV计算功率损耗。

(4)计算各线段的电压降落。

顺时针Ⅰ—g—x—b—Ⅱ—Ⅰ逐段求得UⅠ=219.17kV，与起始的UⅠ=242kV相差很大。这一差别就是变压器的变比不匹配形成的。如仍顺时针按给定的变压器变比将各点

电压折算为实际值，余下的就是计算方法上的误差。这时有

最后计算结果如图3-27所示。图3-27潮流分布计算结果

第三节

复杂电力系统的潮流计算

电子计算机已广泛应用于电力系统的分析计算，潮流计算是其基本应用软件之一。用计算机进行潮流计算时，一般需要完成以下几个步骤：建立电力网的数学模型，确定求解数学模型的计算方法，制定计算流程图，编制计算程序，上机调试与运算。现在已有很多种潮流计算方法，不管采用哪种方法，一般都需要满足以下几个方面的要求：

(1)计算速度快；

(2)计算精度高；

(3)输入、输出方便，人

机互动性好；

(4)适应性强，能与其他程序配合。

一、

高斯

塞德尔法潮流计算

描述电力系统功率与电压关系的方程式(3-15)是一组关于电压U

的非线性代数方程式，不能用解析法直接求解。高斯迭代法是一种简单可行的求解方法。

先假设有n

个节点的电力系统，没有PV节点，平衡节点编号为s，1≤s≤n，则式(3-15)可写成下列复数方程式：

高斯法的基本思想是用迭代计算来求解式(3-45)，其等号右边是前一次迭代的计算值，等号左边为新值。

式中，k

为迭代的次数。在给定节点电压的初值后，对所有的PQ节点逐个进行式(3-46)的迭代计算，求得所有PQ

节点的电压新值，然后以新值代入式(3-46)右边，进行下一次迭代。这样反复迭代，直至所有节点电压前一次的迭代值与后一次迭代值相量差的模小于给定的允许误差值ε后，结束迭代，即

图3-28高斯

塞德尔法潮流计算框图

二、

牛顿

拉夫逊法潮流计算

1.牛顿

拉夫逊算法原理

牛顿

拉夫逊(Newton-Raphson)算法是求解非线性代数方程有效的迭代计算方法。在每一次的迭代过程中，非线性问题通过线性化逐步近似。下面以一个变量为x的非线性函

数求解过程为例加以说明。设一维非线性方程为

求解x，设真值为x*。

图3-29牛顿

拉夫逊的解算过程

展开成泰勒级数，并略去二阶以上项：

整理成为如下的矩阵方程：

2.直角坐标系下的牛顿

拉夫逊算法

运用牛顿

拉夫逊法计算潮流时，节点导纳矩阵的形成、平衡节点和线路功率的计算与运用高斯

塞德尔法时相同，不同的只是迭代过程。迭代过程中，两种方法应用的基本方

程都是运用高斯

赛德尔法时将其展开为电压方程，而运用牛顿

拉夫逊法时将其展开为功率方程，即

在采用直角坐标系下，节点电压和导纳可表示成

将式(3-68)代入式(3-67)，展开取出实部和虚部，得到

根据节点分类，若第i个节点为PQ节点，给定功率设为

Pis和Qis，则功率误差方程可列为

若第i个节点为PV

节点，Pis和Uis给定，则功率和电压的误差方程可列为

当j≠i时，非对角线元素为

由以上表达式可得出雅可比矩阵的特点：

(1)矩阵中的元素是节点电压的函数，在迭代过程中将随着节点电压的变化而改变。

(2)矩阵是不对称的。

(3)当导纳矩阵中的非对角线元素Yij为零时，雅克比矩阵中相应的元素也为零。矩阵是稀疏的，可以应用稀疏矩阵的求解技巧。

3.极坐标系中的牛顿

拉夫逊法潮流算法

对一个具有n

个独立节点，其中有n-m-1个PV

节点的网络，式(3-76)组成的方程组共有n-1+m

个方程式。采用极坐标时，方程组个数较采用直角坐标表示时少了n-m-1个。因为PV

节点采用极坐标时，待求的只有电压的相位和注入的无功功率；而采用直角坐标时，待求量为电压的实数部分、虚数部分和注入的无功功率，因此采用极坐标可使未知变量少了n-m-1个，方程数也少了n-m-1个，这样建立修正方程式的矩阵形式为

式中：

H是(n-1)×(n-1)阶方阵，N

是(n-1)×m

阶矩阵，M是m×(n-1)阶矩阵，L是m×m

阶矩阵。各矩阵种元素分别为

4.牛顿

拉夫逊法的程序计算步骤及流程图

本节以直角坐标系为例对牛顿

拉夫逊法的计算步骤说明如下：

牛顿-拉夫逊法潮流计算流程如图3-30所示。利用极坐标系计算潮流的过程与此类似。图3-30牛顿-拉夫逊法潮流计算流程图

三、P-Q

分解法潮流计算

1.原理分析

P-Q

分解法是从简化牛顿

拉夫逊法极坐标的形式上提出来的。它的基本思想是根据电力系统的实际运行特点(通常网络上各支路的电抗远大于电阻值)。因此，节点功率方程在用极坐标形式表示时，牛顿

拉夫逊法的修正方程为式(3-77)，由该式可知系统母线电压幅值的微小变化ΔU

对母线有功功率的改变ΔP

影响很小。同样，母线电压相位的少许变化Δδ也对母线无功功率的变化ΔQ

影响很小。

因此，节点功率方程在采用极坐标形式表示时，修正方程可简化为

这就是把2(n-1)阶的线性方程组变成了两个n-1阶的线性方程组，将P

和Q

分开来进行迭代计算，因而大大减少了计算工作量。但是

H、L

在迭代过程中仍然在不断地变化，而且又都是不对称的矩阵。对牛顿

拉夫逊法进一步简化(也是最关键的一步)，即把式(3-80)中的系数矩阵简化为在迭代过程中不变的对称矩阵。

将式(3-84)和式(3-85)代入式(3-80)中，得到

经进一步整理得到简化后的修正方程：

简记为

简记为

P-Q分解法迭代公式的特点是，P-δ和Q-V迭代分别交替进行，功率偏差计算时使用最近修正过的电压值，且有功和无功偏差都用电压幅值去除，B″和B'的构成不同，在形成B'时，忽略所有接地支路，对于非标准变比变压器，变比取1。在形成B″时忽略串联元件的电阻。

2.计算步骤及流程

运用P-Q

分解法计算潮流分布时的步骤如下：图3-31P-Q分解法潮流计算流程图

由上述计算过程可知，P-Q分解法与牛顿

拉夫逊法有以下不同：

(1)P-Q

分解法中用两个阶数几乎减半的方程组(n-1、m-1)代替牛顿

拉夫逊法中的n+m-2阶方程组，显著地减少了所需内存和计算量。

(2)B'、B″矩阵的元素源于系统导纳矩阵的虚部。B'、B″都是对称的稀疏常数矩阵，因此在迭代前只需进行一次三角分解形成因子表，并只存储上三角部分，就可以在迭代过程中反复使用，这样不仅减少了计算量，而且节约了内存及计算时间。据统计，P-Q

分解法所需的内存量约为牛顿

拉夫逊法的60%，而且每次迭代所需的时间仅约为牛顿

拉夫逊法的1/5。

(3)由于B'、B″为常数，使P-Q分解法具有线性收敛特性，这样达到收敛所需的迭代次数要比牛顿

拉夫逊法多。但由于每次迭代所需的时间少，P-Q分解法总的计算速度仍比牛顿

拉夫逊法快，从而使这种算法不但可用于离线计算，而且可用于在电力系统的在线安全分析中。

(4)P-Q

分解法的应用具有局限性，从牛顿

拉夫逊法到P-Q

分解法的演化是在元件的R≪X

以及线路两端相位差比较小等假设的基础上进行的，实际计算中对R≫X

的情况不收敛，因此当系统存在不符合这些假设的因素时，就会出现迭代次数大大增加或甚至不收敛的情况。实际上，R/X

大比值病态问题已经成为P-Q

分解法应用中的最大障碍之一。

图3-32例3.6的电力系统接线图

解：例3.1已求得该网络的节点导纳矩阵。

各PQ

和PV节点已知的注入功率为：P1S=-1.6，Q1S=-0.8，P2S=-2，Q2S=-1，P3S=-3.7，Q3S

=-1.3，P4S=5。节点4电压U4S

=1.05。设各节点电压初值如下：

(1)牛顿

拉夫逊法。

用牛顿

拉夫逊法计算潮流，要求建立修正方程式，然后解出电压修正量。

根据式(3.70)、式(3.71)，可写出本例修正方程式常数项(误差项)的计算式：

将各节点电压初值代入，可求得首次迭代的误差项向量：

本例的雅可比矩阵为

其中各元素的算式为

将各节点电压初值代入以上各式，求得首次迭代的雅可比矩阵如下：

对于高压电力系统来说，某节点i的有功功率主要和节点电压横分量(虚部)有关，即fi

的影响最大，所以

Hii大于Hij、Nii及Nij。节点i的无功功率主要和电压的纵分量(实部)有关，即ei

的影响最大，所

以Lii大

于

Lij、Jii及Jij。应用高斯消去法对修正方程J(0)·ΔU(0)=ΔP(0)进行求解，可得第一次迭代的节点电压修正ΔU(0)。

按U(1)=U(0)-ΔU(0)修正各节点电压，即得到第一次迭代后各节点的电压：

按以上步骤反复进行迭代，当收敛指标取ε=10-6时