高等数学教程（第4版）课件：不定积分

例5.1不定积分的概念和性质

不定积分定义5.1

如果在区间I上,则称或上的一个原函数.是

的一个原函数定理5.1

(原函数存在定理)如果函数区间I上连续,即连续函数必有原函数.

存在可导函数那么在区间I上都有使得关于原函数的说明(2)若

(3)若

和

都是

的原函数,则(C为常数

)都是

的原函数.则对于任意常数C,而且和

所在的区间有关.(1)

的原函数不仅和有关,积分变量被积函数定义5.2

被积表达式称为

f(x)在区间I上的不定积分,记为积分号积分变量积分常数被积函数被积表达式简记为积分号注(1)

不定积分是一个集合,也称函数族.(2)

不定积分与区间I有关.在区间在区间(3)

不定积分与求导数是“互逆”的运算.例5.1

求解故解例5.2

求故例5.3

设曲线通过点

且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为由题意所求曲线方程为由曲线通过点即

是2x的一个原函数.显然,求不定积分得到一积分曲线族.练习求积分解函数

的原函数的图形,称为

的积分曲线.不定积分基本公式:

由求导公式可得出,性质5.1

性质5.2

证因所以例5.4

求不定积分解解原式练习

求不定积分解原式练习

求不定积分例5.5

求不定积分解解原式练习

求不定积分解原式例5.6

求不定积分解说明:以上例题中的被积函数都需要进行恒等例5.7

求不定积分变形,才能使用基本积分表.解例5.8

求不定积分解原式练习求不定积分解原式练习

求不定积分练习

求积分解故其中故即问题5.2换元积分法第一换元法也称“凑微分法”.则定理5.2(不定积分的第一类换元积分法)解原式例5.9

计算解原式例5.10

计算练习

计算解1解2解3解原式例5.11

求不定积分类似地可得解练习

计算解原式例5.12

求不定积分类似地可得解原式例5.13

计算解原式例5.14

计算解原式原式解练习计算练习计算解1例5.15

计算解2类似地可得解说明:

当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇例5.16

计算次项去凑微分.练习

求解解原式例5.17

求解例5.18

计算解原式例5.19

计算解练习

计算解练习计算练习求原式解解例5.20

设

求令所以自测题则定理5.3(不定积分的第二类换元积分法)且有反函数

如果证明第二换元积分法的基本思路:可作适当变换

化为不定积分计算积分后,得再将代入.若积分不易计算,例5.21

求解令例5.22

求解令则例5.23

求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是去掉根式.一般规律如下:可令可令可令当被积函数中含有例5.24

求解令说明(2)当分母的次数较高时,可采用倒代换例5.25

求令解积分表做如下补充(其中常数a>0)利用两个函数乘积的求导法则分部积分公式5.3分部积分法设函数

具有连续导数,等式两边取不定积分解例5.26计算解例5.27计算解练习

计算解练习

计算例5.28

求积分解解练习

计算例5.29计算解解例5.30计算解练习

计算解练习

计算解例5.31计算于是,得递推公式故

利用递推公式,及例如,就可以求出每个积分解例5.32计算原式=解例5.33已知

是的原函数,求因所以解令则于是练习设求曾用换元积分做过,现可用分部积分做!

前面例题中所求的不定积分,都得到了原函5.4

几种特殊类型函数的不定积分

但有相当多的初等函数虽然存在原函数,原函例如

等不定积分都“积不出来”.数的解析表达式,因而都是初等函数.数却不是初等函数.两个多项式之商表示的函数称为有理函数.即5.4.1有理函数的积分其中

m、n都是非负整数;及

下面我们介绍几类原函数一定是初等函数的不定积分.都是实数,并且假定分子与分母之间没有公因式.称为有理真分式；称为有理假分式.

利用多项式除法,假分式可以化成一个多例如,难点:将有理函数化为部分分式之和.项式与一个真分式之和.(1)分母中若有因式

则可以分解为有理函数化为部分分式之和的一般规律:特殊地：分解后为其中都是待定系数.(2)分母中若有因式，其中则可以分解为特殊地：分解后为其中都是待定系数.真分式化为部分分式之和的方法为待定系数法.任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B,a,p,q都为常数,分别讨论上述几种类型的不定积分.并且四种典型部分分式的积分之和.k为大于1的正整数.用递推公式综上所述,所有有理函数的原函数都是初等函数.

例5.34

计算

解比较等式两端x项系数得代入特殊值来确定系数取取取并将

值代入解例5.35

计算

故整理得解例5.36

计算

故所以解作变换原式练习

计算

常见类型解决方法

作代换去掉根号.5.4.2简单无理函数的积分

某些无理函数的积分,通过适当的变量代换,分别令可以化为有理函数的积分.

解

令例5.37

计算

解

令原式=例5.38

计算

解

令例5.39

计算

三角有理式是指：

由三角函数和常数经过有限次四则运算构5.4.3三角函数有理式的积分化为的有理函数的积分.

三角函数有理式可以通过万能代换:成的函数．记为令(万能代换公式)解

设例5.40

计算

解1

设例5.41

计算

解2修改万能代换公式令解3

可以不用万能代换公式结论:比较以上解法,便知万能代换不一定是最佳方法,

故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.常见凑微分类型第五章不定积分习题课例1求解原式解原式例2求解1原式例3求解2原式例3求解1例4求解2解3解1原式例5求解2原式例5求解原式例6求解原式例8求解原式例7求解原式例10求解原式例9求例11

求解解例12

求原式解例13

求原式解例14

求解1原式例15