飞机空气动力学课件：相似理论与因次分析法

相似理论与因次分析法《飞机空气动力学》目录8.1产品设计流程8.3因次分析法8.2相似理论8.1

产品设计流程8.1

产品设计流程根据基础理论中的计算方程式，结合问题假设以及初始条件和边界条件，人工计算或者计算机运

算是解决流体流动问题的两个主要的途径，但是流动现象非常复杂，许多流动问题迄今还无法用理论的方法解决，必须借助实验以寻求流动过程的规律。实验具有可靠性与真实性，它可以检验理论解析法

(Theoreticalanalytic

method)与数值算法

(Numericalalgorithm)计算的结果。它还可以提供大量的数据，使研究者能够从中定量或定性地发现流动的现象与规律，让理论研究得到进一步发展，对于理论模型的建立与理论计算结果的检验都起着非常重要的作用。然而实验的成本很高，往往需要消耗大量的人力、物力和财力，并且存在着一定程度的风险和仪表测量的误差。所以在工程实践中，人们使用相似理论与因次分析法以降低实验成本、减少实验研究的复杂性以

及科学地组织和整理实验结果，并建立与理论分析和数值计算结果相互检验的桥梁。相似理论与因次分析法是发展流体力学与空气动力学的理论研究、简化复杂的实验问题和解决实际工程问题的有力工具，对于流体力学问题，在热传、传质以及燃烧等复杂的热力工程问题研究中，也有广泛应用。8.1

产品设计流程如图8-1所示，从系统工程、生产管理以及产品设计与研发的观点来看，在产品设计的初期，首先必须确定产品设计的概念，并由理论设计与分析确认研发案可行性或概念正确性，然后再设计模型测试理论和实验的差异，最后再设法使产品标准化，达到量产目的。例如在飞机设计的初期阶段，基于成本与安全性的考虑，设计者与研发厂商不可能刚设计好就马上制造实体飞机去做飞行试验。他们首先使用相似理论(Similitude

theory)建立飞机的设计模型，先行模拟实际飞机飞行时的工况，再将模型实验结果换算到实物上去，进而预测实物可能发生的物理现象。在初步确定模型模拟的情况满足原先设计的要求之后，才会考虑制造实物做飞行试验。因此，相似理论是一种不需要在设计阶段就很完善，可避免测试时发生意外的重要理论图8-1产品设计与研发流程8.2

相似理论8.2

相似理论相似理论是研究实验中模型与实物相似现象的重要理论。对于尺寸较大的实物(例如车辆、船舶与飞机等)，因为结构复杂与造价昂贵，通常先在缩小的模型上进行实验，所得结果换算到实物上去。然而如果要让模型实验与实物运动具有同样的规律，就必须让模型与实物符合相似理论。所以，相似理论是指导实验研究的理论基础。1．相似理论的目的相似理论的主要目的是建立实验模型与实体的关联性。人们经过长期的科学试验终于总结出，如果实验模型(Model)与实体原型(Protype)之间的关系符合相似法则(Similarity

rule)，也就是实验模型与设计的产品原型之间必须满足几何相似、运动相似以及动力相似等条件，则实验模型观察到的流体动力特性与实物运动具有同样的规律。这就是所谓的相似理论(Similitude

theory)。相似理论能够节省大量的研发时间、人力与财力，避免了不少研发风险，被视为指导试验研究的基础理论。8.2

相似理论2．几何相似的意义几何相似关心的是长度因次L

，在任何敏感的模型测试实验中，实验模型与实体原型之间的几何相似(Geometric

similarity)都是首先必须满足的条件。其定义描述为“如果实验模型和实体原型在坐标轴上所有的对应尺寸呈现相同线性比例，

则两者

之间满足几何相似的关系”。从严格的角度来说，实验模型和实体原型之间要满足几何相似的条件，除了两者对应的长度比例必须完全相同之外，他们的对应角度也应该保持不变，即两者相对环境的方位都必须完全对应，甚至模型和原型表面粗糙度也应该具有相同的线性比例。当然实际上这是不可能完全做到的，只能尽量地满足条件。3．运动相似的意义运动相似(Kinematic

similarity)是指实验模型和实体原型之间具有相同的速度比例。如果两者之间彼此对应的速度方向相同、速度大小呈现一定比例，则它们满足运动相似的关系。8.2

相似理论4．动力相似的意义动力相似(Dynamic

similarity)是指实验模型和实体原型之间具有相同的长度比例、时间比例以及质量比例，

也就是两者必须具备相同的力量比例。在模型实验设计时，要满足动力相似条件，首先必须满足几何相似，否则其他免谈。另外，如果两者满足动力相似，除了满足运动相似，还必须具备相同的力量比例以及压力系数，因此严格条件是两者的所有无因次系数都必须完全相同。但是实际的流动现象非常复杂，所有类型的力量比例相同是不可能达到的。长期的科学试验发现，在观察流动特性时，通常只有一到两种类型的作用力起着关键作用，因此，通常是在满足几何相似条件前提下，实验模型和实体原型只需满足主要的动力相似即可。5．风洞测试风洞(Windtunnel)是飞机设计过程中以相似理论为基础建立的使用实验模型来模拟实体运动，

从而找出实物运动规律的研究装置。由于可以避免直接进行实体测试时可能遭遇的意外与风险，风洞在飞机、车辆的设计和研发过程中被广泛使用。8.2

相似理论(1)功用与构造如图8-2所示，模型安装在风洞内模拟飞机或汽车运动时的空气动力特性1—电动机；2—风扇；3—防护网；4—飞机模型；5—支架；6—空速表；7—整流格8.2

相似理论(2)吹试条件利用风洞研究实体飞机飞行的空气动力特性，前提是飞机模型和真实飞机实体之间满足几何相似、

马赫数相同、雷诺数相同等条件。(3)普兰特-葛劳尔特定理(Prandtl-Glauert

rule)①普兰特-葛劳尔特定理的目的是建立可压缩流与不可压缩流中相同翼型的气动力参数之间的关②普兰特-葛劳尔特定理的公式为CP,可压=

2Ma

式中，CP

,可压

为可压缩流中机翼或翼型表面的压力系数；CP，不可压

为不可压缩流中机翼或翼型表面的压力系数。不可压不可压不可压系，进而得到可压缩性对同一翼型的影响

8.2

相似理论【例8-1】在亚声速风洞实验中，当风速

U0

=

30

m

/

s

时(

Ma

=0.088)，模型翼型(Airfoil)上某测试点的压力系数为

CPi

=

−

1.18

，当风速增加到

U0

=204m/s，其马赫数Ma

是

多少？并利用普兰特-葛劳尔特定理求出该点压力系数CPi【解答】当Ma

=0.088时，因为马赫数非常小，我们可以确定翼型的空气流动为不可压缩流。根据Ma

=

0.088

=

，得声速值a

=

=

340.9

(m

/

s)当风速增到

U0

=

204

m

/

s

，Ma

=

=

=

0.598当Ma

=

0.598

时，因为其值大于0.3，我们可以确定翼型的空气流动为可压缩流，根据普兰特-葛劳尔特定理

CP

可压

=

CP，不可压

，可以求得

CPi

=

=

−1.18

=

−

1.475,

1−

Ma2

1−

0.598

0.88.2

相似理论6．模型实验与相似理论的适用时机所谓模型实验通常是指利用简化的可控方法再现实际发生的物理现象。虽然相似理论可以建构模型实验与实体运动之间数据相互转换的桥梁，但是模型实验不可能满足所有的相似条件，必须掌握研究方向与重点，才能找出实际流动现象的物理本质。如果不能够确认研究的重点，并保证模型实验和实体原型中流动现象之间的物理本质相同，进行模型实验是没有价值的。因此并不是所有的流动现象都能够做模型实验，只有对其流动现象有足够的认知并了解支配其现象的主要物理法则，才适合利用相似理论构建模型实验来研究其相关流动现象。进行模型实验研究流动规律时，必须以满足几何相似条件为前提，然后根据实际需求去研究实验

模型和实体原型两者之间如何满足运动相似、动力相似

，这样才能有效地找到流体流动或实际物体运动的物理现象与规律。8.3

因次分析法8.3

因次分析法1．因次的概念在工程研究中，单位是用来描述物理量大小的计量尺度，而因次(量纲)则是用来表示物理量的单位种类，因次的概念是研究因次分析法的基础。(1)因次的定义在工程设计和科学研究的过程中会涉及各种物理量，例如质量、时间、力、速度、长度等，这些物理量都是具有单位(Unit)的，而物理量单位种类的表示即称为因次或量纲(Dimension)。同一物理量可以用不同的单位来度量，但只有唯一的因次。如，时间可以小时、分、秒等单位来度量，但是作为物理量的类型，都是属于时间因次，用符号T来表示；长度可以用米、厘米、英尺、英寸等度量，但是作为物理量的类型，都是属于长度因次(L)；质量可以用千克、克等度量，但是作为物理量的类型，都是属于质量因次，用符号M来表示。因此物理量单位的类型称为因次，用符号dim表示，例如，密度的因次表示为dimp=ML−38.3

因次分析法(2)因次的类型与表示工程设计和科学研究的过程中涉及不同物理量各自有单位且彼此之间产生相互影响，

如果能够适

当地规定某些固定物理量作为基本的物理量，

并使用因次符号来表示，其他物理量则可表示为基本

物理量的因次符号组成的乘幂形式，这样可以统一各物理量之间的关系，这就是因次表示法的概念。在因次表示法中，那些被指定为基本物理量的因次，称为基本因次

(Primary

dimension)，由基本因次

衍生的因次就称为导出因次

(Secondary

dimension)

或衍生因次

(Derivative

dimension)(3)基本因次的定义

在工程研究中，单位可以分成公制单位与英制单位，因次的划分也是如此。公制单位制常用的基本因次符号是M、

L、T与Θ

，而英制单位制常用的基本因次符号是F、L、T与Θ

。其中M为质量的因次代表符号；L为长度的因次代表符号；T为时间的因次代表符号；Θ为温度的因次代表符号；

F为力的因次代表符号。也就是说，虽然公制单位制与英制单位制选用的基本因次不完全相同，但两者在因次与无因次参数的推导方法相同，只是形式上会有所不同。8.3

因次分析法表8-1常用物理量的公制单位制因次(4)导出因次的定义一旦选定了基本因次，所有的物理量都可以用基本因次的乘幂形式来表示，这些由基本因次衍生的因次就称为导出因次，例如速度是长度/时间，其因次(导出因次)为LT

−1(5)常用的物理量因次表，如表8-1所示LT

−18.3

因次分析法2．因次齐次性定理所谓因次齐次性定理(Dimensional

homogeneity

theorem)是指凡是能够描述物理现象的方程式，其中的各项之因次都必须为齐次，也就是说方程式中每一项的因次都必须相同。例如伯努利方程式P

+

pV2

=

Pt

中，

P的因次为ML−1T

−2

，pV2

的因次为ML−3

LT−1

LT−1

=ML−1T

−

而Pt

的因次也是ML−1T

−2因次的齐次性是初步判定物理方程式是否正确的准则。3．因次分析法的目的与研究方法

因次分析法是以因次齐次性定理为出发点，针对与研究问题有关的物理量做因次乘幂分析，并进一步将它们转换成无因次参数的组合，

从而统一研究各物理量在因次上的内在联系。这个方法可以在降低影响变量数量的情况下，完整地找出这些物理参数的关联性、规律性与通用性。因次分析法是与相似理论关系密切的另一种通过实验探索流体流动规律的重要方法。，28.3

因次分析法(1)因次分析法的使用目的因次分析法(Dimensional

analysis

method)是将问题研究的物理参数转换成无因次参数的组合，在降低问题研究难度情况下，找出物理参数的关联性与流动现象的通用性。①节省研究成本因次分析法可以通过无因次参数的组合减少研究参数的数量，这样就节省时间、人力和财力。②有利实验与理论的结合因次分析法所得的研究结果可以直接用于模型实验或理论分析中，有利于实验与理论的结合。③有助于工业应用与科学研究的发展使用因次分析法可以针对每个无因次参数进行讨论，能够找出无因次参数对应的流动特性，从而获得通用的运动规律。因此，因次分析法所得结果可以应用于原型及其他相似的流动，有助于工业应用与科学研究的发展。8.3

因次分析法(2)常用的无因次参数，如表8-2所示表8-2常用的无因次参数表8.3

因次分析法(3)因次分析法的研究方法与步骤因次分析法主要使用冗

定理，又称白金汉(E

Bnc卜!u?p9山)定理，它是指如果一个流动现象涉及

n个物理量与j个基本因次，则可以用n

−j

个无因次参数来描述，而且这些无因次参数之间的函数关

系为

冗i

=

f

(冗1

,冗2

,L

,冗n−

j，其中

i

除外)

例如，使用冗

定理得到的无因次参数为冗1

、冗2

与冗3

，则它们之间的函数关系可以表示为冗1

=

f

(冗1

,

冗3

)①

找出影响变量(物理量)

的个数使用因次分析法(定理)的第一个步骤是找出所有与流体流动现象有关的物理量，这是非常重要的步骤，因为只要缺少任何一个，就会得到不全面的，甚至是错误的结果。通常冗定理研究流动现象可以分解成e个步骤进行。8.3

因次分析法②

列出每个物理量的因次在找出与流体流动现象有关的全部物理量后，必须将物理量表示成以基本因次为基础的乘幂形式，

也就是如果为基本因次的物理量，以基本因次表示，如果物理量不是基本因次，以导出因次来表示。例如在公制单位选用的基本因次物理量是质量、长度、时间与温度，于是质量的因次是基本因次M，而压力为导出因次ML−1T

−2③

找出无法形成“无因次参数

”的个数

j通常j值为所列物理量中所有不同基本因次的数目，公制单位在探讨流体力学问题的过程中选用的基本因次为M、L、T与，一般除了研究有关燃烧或化学的问题多不讨论

这个基本因次。所以在研究流体力学时，j值多为3或更少，也就是!

≤38.3

因次分析法④

找出“无因次参数

”的个数k从前面的内容可知n、j与k之间的关系必定满足的关系式。⑤

利用乘幂法找出无因次参数

冗将

j

+1个物理量的因次指数相乘并设法让乘积中基本因次的乘幂指数都等于0，即求得无因次参数。⑥

将无因次参数表示为与其他无因次参数的函数，也就是将这些无因次参数之间的函数关系表示为冗i

=

f

(冗1

,冗2

,L

,冗n−

j，其中

i

除外)

的关系式。8.3

因次分析法【例8-2】已知密度为

p不

可压缩流体，以均匀流

0

及迎

流经弦长为C与弦宽为b的薄平板(假设为二维流场)用因次分析法求出该平板的升力L与上述

p、U0

、

、b

与C等参数间的无因次关系式【解答】使用定理研究流体流动现象的6个步骤进行求解(1)找出影响变量(物理量)的个数。由题干可知问题的影响参数为升力L

、密度p

、速度

U0

、迎角及面积S

(此为平板的上视面积，也就是S

=bc)，所以n

=

5

(2)列出每个物理量的因次参考如表9-1所示常用物理量的公制单位因次表，每个物理量的因次详列如下8.3

因次分析法【解答】①升力L

的因次为MLT

−2②密度p的因次为ML−3③速度U0

的因次为LT

−1④面积S

的因次为

L2⑤迎角则为无因次参数(3)找出无法形成“无因次参数冗

”的个数：从步骤(2)可知，问题中的基本因次为质量M

、长度L

以及时间T

三个基本因次，所以

j

=

3

(4)找出“无因次参数冗

”的个数：因为n

=5与j

=3，所以无因次参数的个数k

=n

−j

=5−3=2，迎角为无因次参数，只需要再用乘幂法找出另一个无因次参数即可。8.3

因次分析法【解答】(5)利用乘幂法找出无因次参数

：如同步骤(4)说明的，因为迎角为无因次参数，所以可以将其余4个物理量(j

+1=

4)利用乘幂法找出另一个无因次参数。所以

=L

pa

U

Sc

=MLT

−2

(ML−3)a

(LT−1)b

(L2

)c

=M

(1+a)

L(1−3a+b+2c)

T(−2−b)①因为基本因次M的乘幂指数必须为0，所以1+a

=0，可求得a

=−1②因为基本因次L

的乘幂指数必须为0，