福建省福州市2024-2025学年高二上册期中数学检测试卷（含解析）

福建省福州市2024-2025学年高二上学期期中数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．经过两点的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．3．“”是“直线和直线互相垂直”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．圆与圆的位置关系是（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离5．过点且与圆相切的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或6．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．107．已知点，过直线上一动点P作与y轴垂直的直线，与线段的中垂线交于点Q，则Q点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．8．如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线焦距长为6，则（

）A． B．的离心率为C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为10．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（

）A．直线l与圆C相交B．圆C被y轴截得的弦长为C．点C到直线l的距离的最大值是D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为11．如图所示，正方体中，，点在侧面（包括边界）上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（）A． B．点必在线段上C． D．平面三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线与直线平行.则它们之间的距离是.13．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为.14．已知为椭圆内一点，经过作一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆，圆，C1，C2分别为两圆的圆心．（1）求圆C1和圆C2的公共弦长；（2）过点C1的直线l交圆C2与A，B，且，求直线l的方程．16．如图，在几何体中，四边形是边长为4的正方形，平面，，点为的中点，四棱锥是高为4的正四棱锥.(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.17．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率存在的直线过点，且与椭圆交于，两点，，，三点不共线，求面积的最大值.18．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.

(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.19．设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.(1)求的方程；(2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：（ⅰ）为定值；（ⅱ）直线恒过定点.

答案1．【正确答案】A【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,所以倾斜角为.故选A.2．【正确答案】C【详解】即，则准线方程为.故选：C.3．【正确答案】B【详解】直线和直线的充要条件为即，可以推出，但推不出，故“”是“直线和直线互相垂直”的必要而不充分条件，故选：B.4．【正确答案】A【详解】由，得，所以圆的圆心，半径，由，得，所以圆的圆心，半径，所以，所以两圆内切，故选：A5．【正确答案】D【详解】圆，即圆的圆心坐标，半径分别为，显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意；设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切，所以，所以解得，所以满足题意的直线方程为或.故选：D.6．【正确答案】C【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆定义可得，故，又，则由余弦定理得，故，故.故选C.7．【正确答案】D【详解】设，因为的中垂线经过点，所以，又因为轴，所以表示到直线的距离，且表示点到点的距离，点不在直线上，由抛物线的定义可知：点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，设轨迹方程为，所以，所以，所以轨迹方程为.故选：D.8．【正确答案】D连结，利用几何关系表示，,并结合椭圆的定义，得到离心率.【详解】连结，则，并且，，，，即.故选：D9．【正确答案】BC【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确；可得，所以的离心率为，所以B正确；的渐近线为，所以C正确；联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为，所以弦长为,D选项错误故选：BC.10．【正确答案】ACD【详解】由，则，得，即恒过定点，由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，所以，可得，故直线为，故D正确．故选：ACD．11．【正确答案】BD【分析】对于A，可求；对于B,C,D，可建立空间直角坐标系，利用空间向量判断即可.【详解】对于A，因为点在平面，平面∥平面，所以点到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，所以，A错误；对于B，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则所以,因为，所以，所以，即，所以,所以，即三点共线，所以点必在线段上，B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，C错误；对于D，因为,所以,设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以，所以，所以∥平面，D正确，故选：BD12．【正确答案】1【详解】由题知两条直线平行，故有，解得，即，由两条平行线间的距离公式得.故113．【正确答案】【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，设，因为，可得，则，即，则的面积为．故答案为.14．【正确答案】【详解】解：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为，弦所在的直线与椭圆相交于，两点，设，，则，①②①-②得，，，，∴此弦所在的直线方程为，即．故答案为.15．【正确答案】（1）；（2）或.【详解】（1）两圆相减可得公共弦所在的直线方程为，圆，圆心，半径为1，圆心到直线的距离为，圆C1和圆C2的公共弦长为.（2）圆，圆心，半径为2，当直线l的斜率不存在时，与圆相切，不符合题意，设直线l的方程为，圆心到直线l的距离为，所以或，所以直线l的方程为或.16．【正确答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）连接，与交于点，连接，因为四边形是正方形，所以因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，平面，则，因为，所以平面因为平面，所以延长与交于点，平面，则，为的中点，则为的中点，则，又，，所以，，，所以，所以连接，因为点为的中点，点为的中点，所以，所以，因为，所以平面.（2）以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，则，所以异面直线与所成角的余弦值为．17．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）由椭圆离心率为，得，则，椭圆方程为，而点在椭圆上，，解得，，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线l斜率存在且不垂直于轴，设直线l的方程为，而，由消去并整理得，由，得，，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.18．【正确答案】(1)(2)(3)存在；【详解】（1）取中点为，连接，因为，且，，，所以又因为平面，平面，所以,所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则为的中点，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，所以，令则，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则.（2），所以点到平面的距离为.（3）存在，，理由如下设上存在一点，设，，，又因为直线与平面所成角的正弦值为，由（1）知平面的一个法向量为，所以：，解得，又因为，所以：，故存在，且.19．【正确答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；