高考数学二轮总复习专题能力训练14空间中的平行与垂直文

专题能力训练14空间中的平行与垂直能力突破训练1.在三棱柱ABCA1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,则D为()A.棱AB的中点 B.棱A1B1的中点C.棱BC的中点 D.棱AA1的中点2.(2022广西南宁二模)在正方形ABCD中,E为AB的中点,H为AD的中点,F,G分别为BC,CD上的点,且CF=2FB,CG=2GD,将△ABD沿着BD折起得到空间四边形A1BCD,则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.EF∥GH B.EF与GH相交C.EF与GH异面 D.EH与FG异面3.(2022全国乙,文9)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D4.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC,BD的中点,AD=6,BC=4,EF=2,则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A.34 B.56 C.9105.已知正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为.

6.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,则点P到平面ABC的距离为.

7.如图,AB为圆柱底面圆的一条直径,AC为圆柱的一条母线,D为AB的中点,AB=AC=4.(1)证明:BD⊥平面ACD;(2)求点A到平面BCD的距离.8.如图,四边形ABCD为矩形,△ABE和△BCF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠BCF=∠DAE=90°,EA∥FC.(1)求证:ED∥平面BCF;(2)设BCAB=λ(λ>0),则是否存在λ,使得三棱锥ABDF的高等于33BC?若存在,求出λ9.(2022广西桂林、崇左、贺州3月模拟)在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=2,过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E,AE=3,连接BE交AD于点F,如图①,将△ADE沿AD折起,使得点E到达点P的位置,如图②.图①图②(1)求证:AD⊥平面BFP;(2)若G为PB的中点,H为CD的中点,且平面ADP⊥平面ABCD,求三棱锥GBCH的体积.10.(2022全国乙,文18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥FABC的体积.思维提升训练11.(2022广西南宁二中模拟)如图,在三棱柱ABCA'B'C'中,侧棱AA'⊥底面ABC,AB=AC,BC=2AA',D,E分别为BC,BB'的中点.(1)求证:DC'⊥平面ADE;(2)试探究三棱锥CAC'E的体积与三棱锥C'ADE的体积的比值是否为定值.若是,求出此定值;若不是,请说明理由.12.如图,AB是圆O的直径,点C是AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD∥平面VBC;(2)求证:AC⊥平面VOD;(3)求三棱锥CABV的体积.13.如图,在四棱锥PABCD中,底面四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,△PAC是边长为2的等边三角形,PB=PD=6,AP=4AF.(1)求四棱锥PABCD的体积VP(2)在线段PB上是否存在一点M,使得CM∥平面BDF?如果存在,求BMBP的值;如果不存在,请说明理由14.如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F为A1C的中点,如图②.图①图②(1)求证:EF∥平面A1BD.(2)求证:平面A1OB⊥平面A1OC.(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?说明理由.答案：能力突破训练1.B解析:如图,当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,连接A1E,CE.∵A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D,EC∩A1E=E,∴平面A1CE∥平面BC1D,又A1C⊂平面A1CE,则A1C∥平面BC1D.2.B解析:连接EH,FG(图略).由CF=2FB,CG=2GD,得FG∥BD,且FG=23BD由E为AB的中点,H为AD的中点,得EH∥BD,且EH=12BD所以EH∥FG,且EH≠FG,所以四边形EFGH为梯形,所以EF与GH相交.故选B.3.A解析:如图,对于A,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.在正方体ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF⊂平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正确.对于B,连接AC1,易证AC1⊥平面A1BD.假设平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1⊄平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC⊄平面B1EF,EF⊂平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,显然不成立,∴假设不成立,即平面B1EF与平面A1BD不垂直.故B错误.对于C,由题意知,直线AA1与B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC必相交.故C错误.对于D,连接AB1,CB1,易证平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF与平面AB1C相交,∴平面B1EF与平面A1C1D不平行.故D错误.4.D解析:如图,取CD的中点G,连接EG,FG,则FG∥BC,EG∥AD,所以∠EGF为异面直线AD与BC所成的角(或其补角).因为FG=12BC=2,EG=12所以cos∠EGF=4+9-故异面直线AD与BC所成角的余弦值为11125.2+6解析:如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG,其周长为2+6.2解析:如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,则PO为点P到平面ABC的距离.再过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,连接PA,PB,PC,PE,PF,OC,易得PE⊥AC,PF⊥BC.又因为PE=PF=3,所以易得OE=OF.所以CO为∠ACB的平分线,即∠ACO=45°,所以易得△CEO为等腰直角三角形.在Rt△PEC中,PC=2,PE=3,所以CE=1.所以OE=1.所以Rt△POE中,PO=PE7.(1)证明:因为AB为圆柱底面圆的一条直径,所以由圆的性质可知BD⊥AD.由AC为圆柱的一条母线,可知AC⊥平面ABD,又因为直线BD在平面ABD内,所以AC⊥BD.因为BD⊥AD,AC⊥BD,AC∩AD=A,AD,AC⊂平面ACD,所以BD⊥平面ACD.(2)解:由BD⊥平面ACD,CD⊂平面ACD,所以BD⊥CD.因为D为AB的中点,所以AD=BD.因为AB=4,所以在Rt△ABD中,有AD=BD=22.又因为AC=4,所以在Rt△ACD中,CD=AC2+A所以S△BCD=12BD·CD=12×22×26=4设点A到平面BCD的距离为d.VCABD=13×4×12×22×2VABCD=13d×43=由VCABD=VABCD,有433d=163,可得故点A到平面BCD的距离为438.(1)证明:因为AD∥BC,所以AD∥平面BCF.因为EA∥FC,所以EA∥平面BCF.又EA∩AD=A,所以平面ADE∥平面BCF,所以ED∥平面BCF.(2)解:因为BCAB=λ,所以BC=λAB设AB=a,则BC=λa.因为∠BAE=∠DAE=90°,所以EA⊥AB,EA⊥AD,所以EA⊥平面ABCD.又EA∥FC,所以FC⊥平面ABCD,所以FC⊥CD.由题意可知BD=1+λ2a,BF=2λa,DF=1+λ2a,AD=λa,所以S△ABD=12·a·λa=λ2a2,S△BDF=12·2λa·设三棱锥ABDF的高为h,则由V三棱锥ABDF=V三棱锥FABD,得13·2+λ22λa2·h=所以h=λa2+若h=33BC,则λa2+λ2=33故存在λ=1,使得三棱锥ABDF的高等于33BC9.(1)证明:折叠前,由已知得AE⊥AB,又AB=3,AE=3,∴∠AEB=60°,BE=23.∵AE⊥CE,AE=3,AD=BC=2,∴∠EAD=30°.∴∠AFE=180°∠AEB∠EAD=90°,即BE⊥AD.∴折叠后,PF⊥AD,BF⊥AD.又PF∩BF=F,∴AD⊥平面BFP.(2)解:由(1)知PF⊥AD,又平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,PF⊂平面ADP,∴PF⊥平面ABCD.由(1)得EF=12AE=32,∴PF=又G为PB的中点,∴点G到平面ABCD的距离为34∵H为CD的中点,∴CH=12CD=12AB=由题意可知点B到CD的距离为3,∴S△BCH=12∴VGBCH=1310.(1)证明:∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E为AC的中点,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E为AC的中点,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.又AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.(2)解:∵AB=BC=2,∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形.∴AC=2,BE=3.∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴BE2+DE2=BD2,即DE⊥BE.连接EF,∵点F在棱BD上,∴EF⊂平面BED.由(1)知,AC⊥平面BED,从而AC⊥EF,于是S△AFC=12AC·EF=EF故当EF⊥BD时,EF最小,即△AFC的面积最小,此时EF=DE·由(1)知,AC⊥平面BED,所以AC⊥BD.又EF∩AC=E,∴BD⊥平面AFC.在Rt△BEF中,BF=BE

∴三棱锥FABC的体积V=13S△AFC·BF=13×12思维提升训练11.(1)证明:在三棱柱ABCA'B'C'中,设AA'=BB'=CC'=a,则BC=2AA'=2a.又D,E分别为BC,BB'的中点,所以CC'所以CC'又AA'⊥平面ABC,AA'∥BB'∥CC',所以BB'⊥平面ABC,CC'⊥平面ABC,所以BB'⊥BC,CC'⊥BC,所以∠C'CD=∠DBE=90°,所以△C'CD∽△DBE,所以∠CC'D=∠BDE.又∠CC'D+∠CDC'=90°,所以∠BDE+∠CDC'=90°,所以∠C'DE=90°,即DC'⊥DE.因为CC'⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以CC'⊥AD.因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.又BC∩CC'=C,所以AD⊥平面BCC'B',所以AD⊥DC'.又DE∩AD=D,所以DC'⊥平面ADE.(2)解:由(1)知AD⊥平面BCC'B',BB'=CC'=a,BC=2a,DC'⊥DE,CC'⊥BC,BB'⊥BC.又D,E分别为BC,BB'的中点,所以CD=BD=22a,BE=12所以DC'=CC'2DE=BD2所以S△CC'E=12·a·2a=22a2,S△C'DE=12×62a·所以VC所以三棱锥CAC'E的体积与三棱锥C'ADE的体积的比值为定值,此定值为4312.(1)证明:∵O,D分别是AB和AC的中点,∴OD∥BC.又OD⊄平面VBC,BC⊂平面VBC,∴OD∥平面VBC.(2)证明:∵VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB.在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC,∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC.∵AB∩OC=O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,∴VO⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,∴AC⊥VO.∵VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD.∵VO⊂平面VOD,VD⊂平面VOD,VO∩VD=V,∴AC⊥平面VOD.(3)解:由(2)知VO是三棱锥VABC的高,且VO=VA∵点C是AB的中点,∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,∴△ABC的面积S△ABC=12AB·CO=12×2×1=∴三棱锥VABC的体积VVABC=13S△ABC·VO=13×1×3=33.13.解:(1)∵底面ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,AC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥底面ABCD.在△PAC中,AC=2,∴PO=3.在△PBD中,PB=PD=6,BD=23.∴VPABCD=13·PO·S菱形ABCD=13×3×12×(2)如图,过C作CE∥BD交AB的延长线于E,过E作EH∥BF交PA于H,EH与PB的交点为M.∵CE∥BD,BD⊂平面BDF,CE⊄平面BDF,∴CE∥平面BDF.∵EH∥BF,BF⊂平面BDF,EH⊄平面BDF,∴EH∥平面BDF.又CE∩EH=E,CE⊂平面CEM,EH⊂平面CEM,∴平面BDF∥平面CEM