2024-2025学年江苏省南京市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期12月月考数学检测试题一．选择题（共8小题，每题5分）1．过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．x+2y﹣8＝02．若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9则圆C1与圆C2的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．内切 D．内含3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d＝2，则2S3﹣3S2＝（）A．﹣6 B．2 C．4 D．64．若双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1的渐近线相同，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．5．点P为x轴上的点，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（﹣10，0） C．（﹣4，0）或（10，0） D．（﹣4，0）或（11，0）6．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．则为（）A．3 B．5 C．7 D．与k有关7．若直线l：y＝x+b与曲线y＝有两个交点，则实数b的取值范围是（）A．{b|﹣2＜b＜2} B．{b|2＜b＜2} C．{b|2≤b＜2} D．{b|b＝±2}8．过点且与曲线y＝x2ex相切的切线斜率不可能为（）A．0 B．8e2 C． D．1二．多选题（共3小题，每题6分）9．下列求导运算中正确的是（）A．'＝1﹣ B．（3lnx）'＝ C．'＝ D．（x2cosx）'＝﹣2xsinx10．已知圆M：（x+2）2+y2＝2，直线l：x+y﹣2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M切于点A，B．则下列说法正确的是（）A．四边形PAMB的面积最小值为 B．|PA|最短时，弦AB长为 C．|PA|最短时，弦AB直线方程为x+y﹣1＝0 D．直线AB过定点（﹣，）11．在数列{an}中，其前n项和是Sn，则下列正确的是（）A．若Sn＝n2+1，则an＝2n﹣1 B．若a1＝2，an+1＝an+n+1，则an＝（n2+n+2） C．若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，则an＝2n D．若an＝，则S4＝三．填空题（共3小题，每题5分）12．在直线l：2x﹣y+1＝0上一点P到点A（﹣3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为．13．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列{an}的通项公式：an＝．（1）数列{an}不单调；（2）数列{|an|}单调递增；（3）{an}是无穷等比数列．14．过点P（2，0）的动直线l与圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+5＝0交于P1，P2两点，过点P1，P2分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2交于点M，则CM的最小值．四．解答题（共5小题，共77分）15．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，0），B（0，2），C（2，﹣2），求：（1）AB边中线所在的直线方程；（2）△ABC的外接圆的方程．16．已知a为实数，函数．（1）若f'（1）＝0，求实数a的值；（2）若a＝3时，求函数f（x）在x＝4处的切线方程．17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（2，﹣4），（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，+an＝2Sn+2，数列{bn}满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．19．已知椭圆和双曲线，过椭圆C1左焦点F且斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．设P是椭圆的右顶点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，直线PA，PB与双曲线C2的另一个交点分别为M，N．（1）求k1k2的值；（2）求证：直线MN过定点．

答案与试题解析题号12345678答案ABDABCCD一．选择题（共8小题）1．过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是（）A．x﹣2y+4＝0 B．2x+y﹣7＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．x+2y﹣8＝0解：设过点A（2，3）且与直线l：2x﹣4y+7＝0平行的直线方程是2x﹣4y+C＝0（C≠7），将点A的坐标代入直线的方程2x﹣4y+C＝0得2×2﹣4×3+C＝0，解得C＝8，故所求直线方程为2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0．故选：A．2．若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9则圆C1与圆C2的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．内切 D．内含解：由已知得圆C1的圆心为（0，0），半径为2，圆C2的圆心为（3，4），半径为3，圆C1和C2圆心的距离，两圆的半径之和为2+3＝5，即两圆圆心的距离等于两圆半径之和，此时两圆外切．故选：B．3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d＝2，则2S3﹣3S2＝（）A．﹣6 B．2 C．4 D．6解：因为Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＝2，所以．故选：D．4．若双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1的渐近线相同，则双曲线C1的离心率为（）A． B． C． D．解：双曲线C2：＝1的渐近线：y＝±x，所以双曲线C1：＝1的渐近线：y＝±x，可得＝x，∴a＝2，c＝＝，所以双曲线C1的离心率为：e＝＝．故选：A．5．点P为x轴上的点，A（﹣1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（﹣10，0） C．（﹣4，0）或（10，0） D．（﹣4，0）或（11，0）解：设点P（x，0），由点A（﹣1，2），B（0，3），可知直线AB的方程为x﹣y+3＝0，所以点P到直线x﹣y+3＝0的距离d＝，|AB|＝＝，因为以A，B，P为顶点的三角形的面积为，所以，整理得，解得x＝4或﹣10．故P（4，0）或（﹣10，0）．故选：B．6．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．则为（）A．3 B．5 C．7 D．与k有关解：依题意，设过点A（0，1）且斜率为k的直线l的方程为y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y，得：（1+k2）x2﹣（4k+4）x+7＝0，此时Δ＝（4k+4）2﹣28（1+k2）＝﹣12k2+32k﹣12＞0，显然有解，故，，所以＝．故选：C．7．若直线l：y＝x+b与曲线y＝有两个交点，则实数b的取值范围是（）A．{b|﹣2＜b＜2} B．{b|2＜b＜2} C．{b|2≤b＜2} D．{b|b＝±2}解：曲线y＝表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，如图所示，当直线与半圆相切时，b＝2，∴直线y＝x+b与曲线y＝有两个交点，实数b的取值范围是[2，2）．故选：C．8．过点且与曲线y＝x2ex相切的切线斜率不可能为（）A．0 B．8e2 C． D．1解：由y＝x2ex，得y′＝2xex+x2ex＝（x2+2x）ex，设切点为（），则，可得过切点的切线方程为，把点代入并整理得：，解得x0＝0或x0＝2或，当x0＝0时，y′＝0；当x0＝2时，y′＝8e2；当时，y．故选：D．二．多选题（共3小题）（多选）9．下列求导运算中正确的是（）A．'＝1﹣ B．（3lnx）'＝ C．'＝ D．（x2cosx）'＝﹣2xsinx解：根据函数的求导公式可得，（x+）′＝1﹣，A正确；（3lnx）′＝，B正确；（）′＝＝，C错误；（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，D错误．故选：AB．（多选）10．已知圆M：（x+2）2+y2＝2，直线l：x+y﹣2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M切于点A，B．则下列说法正确的是（）A．四边形PAMB的面积最小值为 B．|PA|最短时，弦AB长为 C．|PA|最短时，弦AB直线方程为x+y﹣1＝0 D．直线AB过定点（﹣，）解：A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即S四边形PAMB＝S△MPA+S△MPB，又因切线长定理可知，即S四边形PAMB＝S△MPA+S△MPB＝••（|PA|+|PB|）＝|PA|，∴当|AP|最短时，四边形面积最小．又∵|MP|与|AP|及半径R构成直角三角形，∴|MP|最短时，|AP|最短，即MP＝d＝＝2，∴|AP|＝＝，∴S四边形PAMB＝×＝2，故A正确．由上述可知，MP⊥l时，|PA|最短，由等面积法可知，S四边形PAMB＝|MP||AB|．得|AB|＝，故B正确．∵MP⊥AB，MP⊥l，kl＝﹣1，∴kAB＝﹣1，可设AB的直线方程为x+y+m＝0，由半弦长、半径、弦心距构成直角三角形可知，弦心距＝＝，∴圆心M（﹣2，0）到直线AB的距离d＝＝，解得m＝1，m＝3（舍去）即直线AB的方程为x+y+1＝0．故C错误．设圆上一点A为（xA，yA），B（xB，yB），P（xP，yP），∴＝（xA+2，yA），＝（xB+2，yB），＝（xA﹣xP，yA﹣yP），易知•＝0⇒（xA+2）（xA﹣xP）+yA（yA﹣yP）＝0⇒（xP+2）（xA+2）+yP•yA＝2，同理•＝0⇒（xP+2）（xB+2）+yP•yB＝2，∴AB：（x+2）（xP+2）+y•yP＝2．∵yP＝﹣xP+2，∴原式＝（x+2）（xP+2）+y（2﹣xP）＝2，将（﹣，）代入得•（xP+2）+（2﹣xP）＝2等号成立，故直线AB过定点为（﹣，），故D正确．故选：ABD．（多选）11．在数列{an}中，其前n项和是Sn，则下列正确的是（）A．若Sn＝n2+1，则an＝2n﹣1 B．若a1＝2，an+1＝an+n+1，则an＝（n2+n+2） C．若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，则an＝2n D．若an＝，则S4＝解：对于A，若Sn＝n2+1，则a1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，验证a1＝2不适合上式，∴，故A错误；对于B，若a1＝2，an+1＝an+n+1，则an+1﹣an＝n+1，∴an﹣an﹣1＝n（n≥2），则an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2......+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+（n﹣2）+...+2+2＝（n≥2），验证a1＝2成立，∴an＝（n2+n+2），故B正确；对于C，若a1＝2，nan+1＝（n+1）an，则，∴（n≥2），则an＝＝（n≥2），验证a1＝2成立，an＝2n，故C正确；对于D，若an＝＝，则S4＝a1+a2+a3+a4＝＝，故D正确．故选：BCD．三．填空题（共3小题）12．在直线l：2x﹣y+1＝0上一点P到点A（﹣3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为（1，3）．解：点A（﹣3，0）关于直线l：2x﹣y+1＝0的对称点的坐标设C（a，b），故点A和C的中点坐标（）满足，且，故，故，解得，故C（1，﹣2）．故直线BC的方程为x＝1．所以点P的坐标满足，解得．故P（1，3）．故（1，3）．13．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列{an}的通项公式：an＝（﹣2）n（答案不唯一）．（1）数列{an}不单调；（2）数列{|an|}单调递增；（3）{an}是无穷等比数列．解：∵数列为不单调的无穷等比数列，∴数列{an}的公比为负值，而数列{|an|}单调递增，则首项为正，公比绝对值在（1，+∞）上，则数列{an}的通项公式可以为an＝（﹣2）n．故（﹣2）n（答案不唯一）．14．过点P（2，0）的动直线l与圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+5＝0交于P1，P2两点，过点P1，P2分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2交于点M，则CM的最小值．解：设M（x0，y0），圆C的圆心C（3，1），则MC为直径的圆C1的方程为（x﹣x0）（x﹣3）+（y﹣y0）（y﹣1）＝0，即x2+y2﹣（x0+3）x﹣（y0+1）y+3x0+y0＝0，由平面几何的知识知直线P1P2的方程为圆C与圆C1的公共弦所在直线方程，从而把圆C、圆C1的方程相减得直线P1P2的方程为（x0﹣3）x+（y0﹣1）y+5﹣3x0﹣y0＝0，∵P（2，0）在直线P1P2上，代入得x0+y0+1＝0∴点M在直线x+y+1＝0上，则CM的最小值为圆心C到直线x+y+1＝0的距离，∴d＝＝故四．解答题（共5小题）15．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，0），B（0，2），C（2，﹣2），求：（1）AB边中线所在的直线方程；（2）△ABC的外接圆的方程．解：（1）由A（﹣4，0），B（0，2），可得AB中点M的坐标为（﹣2，1），所以AB边中线所在直线的方程为＝，即3x+4y+2＝0；（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由，解之可得，故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y﹣8＝0．16．已知a为实数，函数．（1）若f'（1）＝0，求实数a的值；（2）若a＝3时，求函数f（x）在x＝4处的切线方程．解：（1）函数f（x）＝（x﹣a），定义域为[0，+∞），f′（x）＝＝，因为f'（1）＝0，故＝0，解得a＝3；（2）因为a＝3，所以f（x）＝（x﹣3），f′（x）＝，则f（4）＝2，f′（4）＝，故函数f（x）在x＝4处的切线方程为y＝（x﹣4），即9x﹣4y﹣36﹣0．17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（2，﹣4），（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．解：（I）由题抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（2，﹣4），16＝4p，解得p＝4，抛物线C的方程为y2＝8x，其准线l方程为x＝﹣2；…（4分）（Ⅱ）由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x＝0；②如果直线l的斜率为0，y＝2符合题意；③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y＝kx+2，由得ky2﹣8y+16＝0，由Δ＝64﹣64k＝0得k＝1，故直线l的方程为y＝x+2，即x﹣y+2＝0，因此，直线l的方程为x＝0或y＝2或x﹣y+2＝0．（用其他方法解答的请酌情给分）…（12分）18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，+an＝2Sn+2，数列{bn}满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．解：（1）由题意，当n＝1时，＝2a1+