2024-2025学年海南省海口市高二上学期期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年海南省海口市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．，分别为直线与上任意一点，则最小值为（

）A． B． C． D．3．已知、，则以AB为直径的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．4．圆与圆的公切条数为（

）A．2条 B．1条 C．3条 D．4条5．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．6．若直线l:y=kx+3-k与曲线C:y=1−x2恰有两个交点,则实数k的取值范围是A．(43,+∞) B．(43,C．(0,43) D．(43,7．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（

）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为C． D．点P到抛物线的焦点的距离为410．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A．的最大值为5B．的最大值为C．直线与圆相切时，D．圆心到直线的距离最大为411．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（

）A．若的周长为6，则B．若当时，的内切圆半径为，则C．若存在点，使得，则D．若的最大值为2b，则三、填空题（本大题共3小题）12．动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为．13．设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为14．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆：上任意一点作双曲线：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆.过双曲线：的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，若，则的周长为.四、解答题（本大题共5小题）15．光线自点射到点后被轴反射．(1)求反射光线所在的直线的方程；(2)求过点且与入射光线垂直的直线方程．（请用直线的一般方程表达解题结果）.16．安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．(1)求黄金椭圆C的离心率；(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．17．已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上．(1)求；(2)求圆的方程．18．已知双曲线，，斜率为的直线过点.(1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；(2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积.19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点Px0,y0不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点C0,1，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.

答案1．【正确答案】B【详解】由题设，则直线的斜率，结合直线倾斜角的范围，易知直线的倾斜角为.故选：B2．【正确答案】A【详解】由，可得两条直线相互平行，所以最小值为平行线之间的距离，可化为，所以，.故选：A3．【正确答案】B【详解】已知、，则AB中点坐标为即.，所以以AB为直径的圆的圆心为，半径为.所以圆的标准方程为，展开可得，整理得.故选：B.4．【正确答案】A【详解】由是以为圆心，3为半径的圆.，转换为，即该圆是以为圆心，4为半径的圆.所以圆心距，所以所以两圆相交，故公切线的条数为2，故选：A5．【正确答案】D【详解】由题意并结合双曲线的定义可得，当且仅当，，三点共线时等号成立.而直线的方程为，由可得，所以，所以点的坐标为32,所以当且仅当点的坐标为32,12时，的最小值为故选：D.6．【正确答案】B【详解】由题意知,直线l:y=kx+3-k=k(x-1)+3过定点(1,3),曲线C:y=1−x2为以(0,0)为圆心,1为半径,且位于y当直线l过点(-1,0)时,直线l与曲线有两个不同的交点,此时k=3−01−(−1)=3当直线l与曲线C相切时,直线和圆有一个交点,圆心(0,0)到直线l:y=kx+3-k的距离d=|3−k1+k2=1,解得k=43.结合图像可知,当43<k≤32时,直线7．【正确答案】A【详解】因为圆心到直线的距离，故要满足题意，只需，解得.故选：A.8．【正确答案】A【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，由，得，，在中，，则，，由正弦定理得，，解得，则，所以该椭圆的离心率.故选：A9．【正确答案】ACD【详解】双曲线的离心率为，故A正确；双曲线的渐近线为，故B错误；由有相同焦点，即，即，故C正确；抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．故选：ACD．10．【正确答案】BC【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，Px0所以的最大值为，A选项错误.如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，B选项正确.直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确.圆心到直线的距离，当时，，当时，，所以D选项错误.故选：BC11．【正确答案】ABD【详解】对于A,由椭圆，可得，因为的周长为6，所以，解得，因为，所以，解得，故A正确；对于B，由，可得，当时，由余弦定理可得，则，解得，所以，又的内切圆半径为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正确；对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，所以，所以，解得，所以存在点，使得，则，故C错误；对于D，设，，又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，故时取最大值，所以，解得，故D正确.故选：ABD.12．【正确答案】．【详解】解：因为，由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆，所以，，所以点的轨迹方程是.故13．【正确答案】先由抛物线方程，得到，得出直线的方程，由抛物线的焦点弦公式求出弦长，再由点到直线距离公式，即可得出结果.【详解】因为为抛物线：的焦点，所以，又直线过点且倾斜角为，则直线的方程为：，即，设，，由消去可得，整理得，所以，因此又点到直线的距离为，所以的面积为.故答案为.14．【正确答案】/【详解】由题可知，的蒙日圆方程为，半径为，且，所以为直径，所以.又，所以，.所以的周长为.故答案为.

15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设，则，所以，直线方程为，即．（2）设所求直线的斜率为，则，，直线方程为，即．16．【正确答案】(1)(2)正确，理由见解析【详解】（1）由题意，设椭圆C的焦距为2c，则，又，得，即，，所以．（2）正确．理由如下；设椭圆中心为O，由所以，即，所以是直角三角形．17．【正确答案】(1)；(2)．【详解】（1）因为圆与交于，两点，所以两圆方程作差得直线的方程为．又圆，所以点到直线的距离，所以；（2），圆，则，，则，则直线的方程为，即，由，解得，所以，所以点到直线的距离，设圆的半径为，所以，所以圆的方程为．18．【正确答案】(1)或(2)【详解】（1）当时，，则直线的方程为，又双曲线的渐近线为，所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；当时，联立方程组，得，，解得；综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或；（2）由双曲线，则，，，又点在双曲线上，即，即，在中，由余弦定理，即，解得，所以的面积.19．【正确答案】(1)(2)(3)成立，理由见解析【详解】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，.（2）点Px0,所以无论取何值时，无解.将整理成关于的一元二次方程，即.若该方程无解，则，即.证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为，于是可以得到在点处的切线方程为：，即.今直线