2024-2025学年贵州省印江土家族苗族自治县高二上学期12月联考数学试题（含解析）

2024-2025学年贵州省印江土家族苗族自治县高二上学期12月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，其中为虚数单位，则的值为（

）A． B． C．3 D．53．已知，，，则有（

）A． B． C． D．4．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则5．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．6．已知，则（

）A． B． C． D．7．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．8．已知函数的图象与直线有两个交点，，则（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、多选题（本大题共3小题）9．学校分别对高一学年和高二年学开展体育水平抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（

）A．样本中高二学年成绩的众数是85B．样本中高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数C．样本中高二学年成绩的方差高于高一学年成绩的方差D．样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数10．已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．的图象关于点对称C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是11．如图是棱长为2的正方体，点在侧面上运动，则下列结论正确的有（

）A．三棱锥的体积不变B．若为的中点，当平面时，长度的最小值是C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为D．当在线段上运动时，与所成角的正弦值取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为．13．已知圆：与圆：的交点为、，则．14．已知球是棱长为3的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体的棱上的动点，则的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．(1)求甲进入决赛的概率；(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．16．已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程.17．如图，在直三棱柱中，，，为线段上的一点，且，为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．18．在中，角，，的对边分别为，，，，．(1)求角；(2)若是线段的中点，且，求；(3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围．19．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．(1)求证：；(2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．

答案1．【正确答案】C【详解】由题意，所以，故选：C2．【正确答案】D【详解】因为复数，所以，则，故选：D3．【正确答案】A【详解】因为，，所以，因为，，所以，综上所述，.故选：A.4．【正确答案】B【详解】对于选项A：若，，，则可能异面，故A错误；对于选项B：若，，可知，且，所以，故B正确；对于选项C：若，，则与不一定垂直，且，所以与不一定垂直，故C错误；对于选项D：若，，，则可能有，故D错误；故选：B.5．【正确答案】D【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解.【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选D.6．【正确答案】B【详解】因为，所以.故选：B.7．【正确答案】A【详解】设圆锥的高为，则母线长.根据已知条件有，得，所以.故圆锥的侧面积.故选：A.8．【正确答案】C【详解】，所以的对称中心为，直线可化为，所以直线经过定点，所以点x1,y1和点所以所以，故选：C9．【正确答案】ABD【详解】对于A中，由高二年级学生成绩的频率分布直方图，高二年级学生成绩的众数位于区间的中点横坐标，所以众数为，所以A正确；对于B中，由样本中高二学年成绩在80分以上的人数的频率为，高一学年成绩在80分以上的人数的频率为，所以高二学年成绩在80分以上的人数高于高一学年成绩在80分以上的人数，所以B正确；对于C中，由频率分布直方图，可得高一学生成绩的平均数为：，则高一学生成绩的方差为：高二学生成绩的平均数为：，可得高二学生成绩的方差为：，所以样本中高二学年成绩的方差低于高一学年成绩的方差，所以C不正确；对于D中，由高一学生成绩的频率分布直方图，可得其中前3个矩形的面积和为，前4个矩形的面积和为，所以高一学生成绩的中位数位于之间，设中位数为，则；由高二学生成绩的频率分布直方图，可得其中前4个矩形的面积和为，前5个矩形的面积和为，所以高二学生成绩的中位数位于之间，设中位数为，则，其中，所以样本中高二学年成绩的中位数高于高一学年成绩的中位数，所以D正确.故选：ABD.10．【正确答案】AB【详解】由函数图象可得，由，解得，故A正确；所以，又函数过点，即，所以，，即，，又，所以，∴，对于B：当时，，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C：将函数的图象向右平移个单位得到：，故C错误；对于D：当时，，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，又，，，故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误．故选：AB.11．【正确答案】ABD【详解】底面三角形形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故三棱锥的体积不变，故A正确；取的中点，连接，在正方法体中易证平面平面，可知，平面，故点轨迹为线段，所以长度的最小值即为到的距离，又，，所以边上的高为，设到的距离为，由等面积可知：，解得：，B正确；设在平面的射影为，点的轨迹长度即为点的轨迹长度，连接，易知平面，，由线面角的定义可知：，所以所以的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆周，所以轨迹长度为，C错误；以为轴建系，则，又点在坐标平面内，同时在正方形对角线上，可设，则，设与所成角为，则，因为，在都单调递减，且，所以，在都单调递减，故当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以，所以，D正确.故选：ABD.12．【正确答案】【详解】由两直线平行可得，所以直线：，也即，又直线：，因此直线与之间的距离为.故13．【正确答案】【详解】圆：，即，则圆心，半径；圆：，即，则圆心，半径；所以，所以，所以两圆相交，则两圆公共弦方程为，即，则圆心到直线的距离，所以公共弦.故14．【正确答案】【详解】如下图所示：正四面体的棱长为3，设其内切球的球心为，连接并延长交底面于点，易知点为的中心，且平面；连接并延长交于点，则点为的中点；且；则，；因为平面，平面，所以；可得，易知的面积为；正四面体体积为；设正四面体的内切球的半径为，则；即，解得；可知，易知，又是球的一条直径，所以；因此；易知当为该正四面体的顶点时，此时，取得最大值；当为该正四面体棱的中点时，此时，取得最小值；因此的取值范围为.故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则；记“甲进入决赛”为事件，由题知：；（2）记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件，由题知：；；则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为.16．【正确答案】(1)；(2)或.【详解】（1）方法1：由题意，设圆心，半径，圆经过点，，圆与直线相切，圆心到直线的距离为，，化简得：，解得；则圆心为，半径，所以圆的方程为.方法2：由题意，设圆心，半径；圆与直线相切于点，则，解得；则圆心为，，所以圆的方程为.（2）由题意，圆心到直线的距离为，且经过点，①若直线的斜率不存在，其方程为，圆心到直线的距离为，显然符合题意；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，解得，则此时直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：连接，记，连接，由题意知：四边形正方形，且为的中点，，则，且；又，；又平面，平面，所以平面；（2）由题可知，、、两两垂直，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则有，，，则、，设平面的一个法向量为m=x,y,z则，令，则，由题易知平面的一个法向量为，记二面角的平面角为，由图可知：为锐角，则．18．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题及正弦定理可知：，，又，，，，，.（2）由（1）及余弦定理得：，即，①又因为，则，所以，②由得：，所以．（3）由（1）得，则，即，由正弦定理可知，，所以．因为为锐角三角形，所以，，即，，则，即，则，故的周长的取值范围为．19．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，(3)【详解】（1）在图①中，由题知：四边形为正方形，且；则在②中，，，且平面，则平面；又，平面，又平面，；又，且为的中点，则；又平面，则