2024-2025学年辽宁省大连二十四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省大连二十四中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(1,t,0)，b=(−1,1,2)，a⋅b=0A.−1 B.0 C.1 D.22.已知直线l1：3x−y+3=0与直线l2：3x−y+c=0之间的距离为210，则A.23 B.23或−17 C.17 D.−23或173.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底，{a+b,b+c,A.(3,3,1) B.(1,−1,3) C.(3,−1,3) D.(−1,1,3)4.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=2，AD=3，A.2 B.10 C.1 5.已知⊙C1：(x+1)2+(y+32A.0<m<6 B.154<m<234 C.6.萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所示的正八面体EABCDF中，EA与平面ABCD所成的角为(

)A.45°

B.30°

C.60°

D.75°7.N为圆C：x2+(y−1)2=1上的一个动点，平面内动点M(x0,y0A.π3−32 B.4π38.某工厂生产的一种零件是由一个圆柱OO′和一个正三棱锥P−ABC穿插而成的对称组合体，如图所示.棱PB和平面PAC都与圆柱侧面相切，G是棱PB与圆柱侧面的切点.OO′//平面ABC.已知PA=6，AB=23，圆柱OO′的底面圆半径为3A.322−3

B.3−32

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：xsinα−ycosα=1，其中α∈[0,2π)，则以下命题正确的有(

)A.直线l的倾斜角为α

B.直线l的斜率为tanα

C.若P(x,y)是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1

D.当10.如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE=2，M，N分别是线段BC，SB的中点，Q是线段DC上的一个动点(含端点D，C)，则下列说法正确的是(

)A.存在点Q，使得NQ⊥SB

B.存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角的余弦值为55

C.当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角不变

D.三棱锥Q−AMN11.已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标(x,y)满足关系式|4x+y+1|=|x−3y+1|=tx2+y2，若这样的点PA.52 B.2135 C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知二面角α−l−β，A∈l，B∈l，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AC=1，BD=2，AB=3，CD=3，则二面角α−l−β的余弦值为______．13.已知直线l1：2x−y+1=0，l2：x−2y−1=0，若直线l1与l2关于直线l对称，则直线14.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(x1,y1)(y1>0)是圆M：(x−2)2+y2=1上的一个动点，直线OP与圆M交于另一点Q，过点O作直线四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，O是AD中点，PO⊥平面ABCD，E为线段AB上的动点(含端点)，若PO=AB=2．

(1)求平面PAD与平面PEC的夹角θ的余弦值的取值范围；

(2)设四棱锥P−ABCD的外接球球心为M，当E为线段AB中点时，求M到平面PEC的距离．16.(本小题15分)

瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,0)，B(2,4)，C(4,2)，直线l经过点D(−1,4)．

(1)求△ABC的欧拉线方程；

(2)已知直线l与△ABC的外接圆M相离，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的两条切线PR，PS，切点分别为R，S，当四边形MSPR的面积的最小值为25时，求直线l的方程．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=22，PA=2．

(1)取PC中点N，求证：DN//平面PAB，

(2)求直线AC与PD所成角的余弦值，

(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M−AC−D的大小为45°，如果存在，求BM与平面18.(本小题17分)

已知圆E：x2−2mx+y2−12m=0，点A(1,0)关于直线l：y=ax+b的对称点为B(−2,3)．

(1)求l的方程；

(2)讨论l与圆E的位置关系；

(3)若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为2，圆C的圆心在线段MN19.(本小题17分)

过点A(x0,y0)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，若k1k2=μ(μ≠0)，则称直线l1，l2是KA(μ)定积直线或K(x0,y0)(μ)定积直线．

(1)已知直线l1：y=2tx+1，l2：y=−13tx+1，试问是否存在点Q，使得直线l1，l2是KQ(μ)定积直线？请说明理由．

(2)若O为坐标原点，点P与点M均在第二象限，且点M(x0,y0)在二次函数y=x2−3的图象上.若直线OP与直线OM是K(0,0)参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.A

6.A

7.D

8.B

9.CD

10.ABD

11.AD

12.−113.x−y=0

14.715.解：(1)∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，

∴以O为原点，以过O且与直线CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，

则P(0,0,2)，E(1,t,0)，C(−1,2,0)，A(1,0,0)，

∴CP=(1,−2,2),CE=(2,t−2,0),(0≤t≤2)，

设平面PEC的法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅CP=0m⋅CE=0⇒x−2y+2z=02x+(t−2)y=0，

令y=4，则m=(4−2t,4,2+t)，

取平面PAD的法向量n=(0,1,0)，

又平面PAD与平面PEC的夹角为θ，

∴cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=4(4−2t)2+16+(2+t)2=45t2−12t+36，

∵0≤t≤2，

∴5t2−12t+36=5(t−65)2+1445在[0,65)单调递减，在(616.解：(1)由题意得|AB|2=16，|BC|2=(2−4)2+(4−2)2=8=|AC|2，

所以|BC|2+|AC|2=|AB|2，△ABC为等腰直角三角形，

其外心为斜边中点，垂心为直角顶点，

所以△ABC的欧拉线是由(2,2)、(4,2)确定的直线，可知欧拉线方程为y=2；

(2)由(1)得M(2,2)，△ABC外接圆的半径等于12|AB|=2，|PR|=|PS|，

设直线方程为x−ky+4k+1=0，

则四边形MSPR的面积S=2S△PRM=|PR|⋅|RM|=2|PR|，

显然当|PR|取最小值时，Smin=25，即|PR|=5，|PM|=17.证明：(1)取BC中点E，连结DN、DE、NE，

∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，

AD=CD=2，BC=22，PA=2，N是PC中点，

∴DE/​/AB，EN//PB，

∵EN∩DE=E，PB∩AB=B，EN、DE⊂平面DNE，PB、AB⊂平面PAB，

∴平面DEN//平面PAB，

∵DN⊂平面DEN，∴DN//平面PAB．

解：(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(2,0,2)，D(0,0,0)，

AC=(−2,2,0)，PD=(−2,0,−2)，

设直线AC与PD所成角为θ，

则cosθ=AC·BDAC·BD=226=66．

∴直线AC与PD所成角的余弦值为66．

(3)假设在线段PD上，存在一点M，使得二面角M−AC−D的大小为45°，

设M(a,b,c)，PM=λPD，0≤λ≤1，

则(a−2,b,c−2)=(−2λ,0,−2λ)，

∴a−2=−2λb=0c−2=−2λ,∴M(2−2λ,0,2−2λ)，

AC=(−2,2,0)，18.解：(1)∵点A(1,0)关于直线l：y=ax+b的对称点为B(−2,3)，且线段AB的中点坐标为(−12,32)，

∴a×3−0−2−1=−1,−12a+b=32,解得a=1,b=2.

∴l的方程为x−y+2=0．

(2)圆E：x2−2mx+y2−12m=0的方程可变形为(x−m)2+y2=m2+12m，

则圆心E的坐标为(m,0)，且m2+12m>0，解得m>0或m<−12，

圆E的半径r=m2+12m．

设圆心E到l：x−y+2=0的距离为d，则d=|m+2|2．

若d=r，m2+12m=|m+2|2.则m=−1或m=4，此时l与圆E相切；

若d>r，则(|m+2|2)2>(m2+12m)2，解得−1<m<4，

又m<−12或m>0，∴−1<m<−12或0<m<4，

此时19.解：(1)根据题意，直线l1：y=2tx+1，l2：y=−13tx+1，

显然两直