2023-2024学年广东省深圳实验学校光明部高一上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳实验学校光明部2023－2024学年度第一学期期中考试高一数学第一卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B. C. D.2.下列条件中，是的充分不必要条件的是（）A. B. C. D.3.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（）A. B. C. D.4.函数的定义域为（）A. B. C. D.5.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.6.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.的大小无法确定7.已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.下列各组函数表示不同函数的是（）A. B.C. D.10.对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（）A.若a>b，则ac<bc B.若，则a>bC.若a<b<0，则a2>ab>b2 D.若a>0>b，则|a|<|b|11.已知集合，，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则或 D.若时，则或12.下列说法不正确的是（）A.函数的最小值为2.B.函数在定义域上是减函数.C.定义在上的奇函数满足，则函数的周期为4D.若定义在上函数为增函数，且，则实数的取值范围为.第二卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.“，”的否定为___________.14.已知，则的最大值为______.15.已知函数是上的增函数，则的取值范围是______.16.定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集为全体实数，集合，集合.（1）求和；（2）求和18.已知函数定义域.（1）证明在上为奇函数；（2）用定义证明在上为增函数；（3）解不等式.19.已知集合，.（1）若集合，求此时实数的值；（2）已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.20.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式并画出其图象；（2）求函数的单调区间；（3）设函数在上的最大值为，求.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？22.已知函数，，（1）若，成立，求的取值范围；（2）若对，总，使得，求实数取值范围．深圳实验学校光明部2023－2024学年度第一学期期中考试高一数学第一卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算出集合后借助并集的运算即可得.【详解】由，解得，故，则.故选：B.2.下列条件中，是的充分不必要条件的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义与集合间的关系判断即可.【详解】因为不是的真子集，所以选项A不符合题意；因为不是的真子集，所以选项B不符合题意；因为⫋，所以选项C符合题意；因为不是的真子集，所以选项D不符合题意.故选：C.3.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对于A，分析函数的奇偶性即可；对于B，分析函数的单调性即可；对于C，分析奇偶性即可；对于D，分析奇偶性与单调性即可.【详解】对于A，设，则,所以不是偶函数，不符合题意；对于B，易知在上单调递增，不符合题意；对于C，设，定义域为，则，所以是奇函数，不符合题意；对于D，设，定义域为，则，为偶函数.又时，，在上单调递减，符合题意.故选:D.4.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】由题意得，解得且，所以定义域为，故A项正确；故选：A.5.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．【详解】的定义域是，关于原点对称，，是偶函数，排除BC；又时，，是增函数，排除A．故选：D．【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．6.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.的大小无法确定【答案】C【解析】【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，乙购买猪肉的平均单价为：，显然，且，当且仅当时取“=”，因为两次购买的单价不同，即，所以，即乙的购买方式平均单价较大.故选：C.7.已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案.【详解】命题为真时恒成立，，即，，命题为真时，即，解得：或.命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或，所以命题“且”是假命题时，可得且，故选：D.8.已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数是增函数，由解析式得，这样利用单调性不等式化为，从而转化为在上恒成立，由二次函数知识分类讨论可得．【详解】，因此在定义域上是增函数，，不等式即为，所以，所以在上恒成立，若，即，显然成立，若，即时，由于，因此，，从而也满足题意，综上，，故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，对函数不等式解题方法一般是利用函数的单调性进行转化，因此本题关键点有两个：一是确定函数的单调性，二是对函数式进行变形：，这由函数解析式分析才能得出．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.下列各组函数表示不同函数的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】从定义域和对应关系两个方面考虑，两者均相同为同一函数，否则表示不同函数.【详解】A选项，的定义域为R，，解得，所以的定义域为，两函数的定义域不同，表示不同函数，A正确；B选项，的定义域为R，的定义域为，两函数的定义域不同，表示不同函数，B正确；C选项，，两函数为同一函数，C错误；D选项，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，表示不同函数，D正确.故选：ABD10.对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（）A.若a>b，则ac<bc B.若，则a>bC.若a<b<0，则a2>ab>b2 D.若a>0>b，则|a|<|b|【答案】BC【解析】【分析】结合不等式的性质、差比较法以及特殊值确定正确选项.【详解】A选项，，若，则，所以A选项错误.B选项，，B选项正确.C选项，，；，所以，C选项正确.D选项，，所以D选项错误.故选：BC11.已知集合，，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则或 D.若时，则或【答案】ABC【解析】【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．【详解】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．12.下列说法不正确的是（）A.函数的最小值为2.B.函数在定义域上是减函数.C.定义在上的奇函数满足，则函数的周期为4D.若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为.【答案】ABD【解析】【分析】由已知化，令，则，根据对勾函数的性质即可得出最小值，判断A；由函数单调性的定义赋值或通过反比例函数图象判断B；通过函数奇偶性的定义对已知化简，再结合函数周期性的公式判断C；利用函数单调性结合函数定义域列出不等式，解出解集判断D.【详解】对于A，，令，则，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，故，则的最小值不是2，故A说法不正确；对于B，当时，，当时，，即，则根据函数单调性的定义，函数在定义域上不是减函数，故B说法不正确；对于C，是定义在上奇函数，则化为，即，则，则，则，故函数的周期为4，故C说法正确；对于D，函数是定义在上的增函数，则由得，解得，则实数的取值范围为，故D说法不正确；故选：ABD.第二卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.“，”的否定为___________.【答案】，【解析】【分析】根据全称量词命题的否定形式直接写出结果即可.【详解】因为该命题是全称量词命题,所以命题的否定为特称量词命题，则该命题的否定为：，.故答案为：，.14.已知，则的最大值为______.【答案】【解析】分析】直接应用基本不等式即可得.【详解】由，则，当且仅当，即时等号成立.故答案为：15.已知函数是上的增函数，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用分段函数的性质和单调性列不等式组解出即可.【详解】根据题意可得，解得，故答案为：16.定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则______.【答案】338【解析】【分析】由，得到函数的周期为6，再结合当时，，当时，，求得求解.【详解】解：因为定义在上的函数满足对任意的实数都有，所以函数的周期为6，又因为当时，，当时，，所以，，所以，所以，故答案为：338四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集为全体实数，集合，集合.（1）求和；（2）求和.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根据题意，由交集与并集的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，先由补集的定义可得，，然后代入计算即可.【小问1详解】因为，且，则，.【小问2详解】因为，，则，.18.已知函数定义域为.（1）证明在上为奇函数；（2）用定义证明在上为增函数；（3）解不等式.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由函数奇偶性的定义先得出函数定义域关于原点对称，再由函数解析式得出，即可证明；（2）由函数单调性的定义先根据函数解析式得出，再根据不等式的性质得出当时，，即可证明；（3）根据（1）得出的奇偶性得出所求不等式等价于，即可根据（2）得出的单调性结合函数定义域列出方程组求解即可.【小问1详解】函数定义域为，因为，都有，且，故在上为奇函数.【小问2详解】任取，则，因为，所以，，则当时，，则，所以在上为增函数；【小问3详解】函数是定义在上的奇函数，由，得，又因为在上为增函数，所以，解得.所以的取值范围为.19.已知集合，.（1）若集合，求此时实数的值；（2）已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解集与方程之间的关系和韦达定理，即可求出的值；（2）把利用充分条件关系求参数的范围，转化为集合的包含关系，通过分类讨论思想，列出关于实数的不等式组，解出即可.【小问1详解】因为，所以方程的两根分别为和，由韦达定理得，解得；【小问2详解】因为，由于是的充分条件，则，当时，，此时不成立；当时，，因为，则有，解得；当时，，因为，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是.20.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式并画出其图象；（2）求函数的单调区间；（3）设函数在上的最大值为，求.【答案】（1），图象见解析（2）递增区间为；递减区间为（3）【解析】【分析】（1）由奇函数性质求区间上的解析式；（2）由图象写出函数的单调区间；（3）结合图象可知，最大值为或，又，则分类讨论与大小，确定最大值.【小问1详解】由是定义在上奇函数，可得，设，则，因为当时，，所以函数的解析式为，图象如下.【小问2详解】函数的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问3详解】由图象可知：当时，在上单调递增，；时，令，解得；当时，；当时，.所以.21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形