高等数学课件同济版微积分基本公式

高等数学课件-同济版微积分基本公式函数的概念1定义域函数的定义域是所有允许输入的自变量的值的集合。2值域函数的值域是所有可能的输出值的集合。3对应关系函数将定义域中的每个自变量值唯一地映射到值域中的一个输出值。函数的性质单调性函数在某个区间内，如果自变量的值增大，函数的值也随之增大，则称该函数在该区间内单调递增；反之，如果自变量的值增大，函数的值随之减小，则称该函数在该区间内单调递减。奇偶性如果函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数；如果函数满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。周期性如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数，T称为该函数的周期。基本初等函数指数函数形如y=a^x,其中a>0且a≠1，定义域为R，值域为(0,+∞)对数函数形如y=log_ax，其中a>0且a≠1，定义域为(0,+∞)，值域为R三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数反函数定义设函数f(x)的定义域为D，值域为E。如果对任意y∈E，在D中存在唯一的x使得f(x)=y，则称f(x)在D上是单射的。对于一个单射函数f(x)，我们可以定义一个新的函数g(y)，使得g(f(x))=x，称g(y)为f(x)的反函数，记为f-1(x)。性质反函数的定义域为f(x)的值域，值域为f(x)的定义域。反函数的图像关于直线y=x对称。反函数的导数为原函数导数的倒数，即(f-1(x))'=1/f'(f-1(x))。复合函数复合函数是由多个函数组合而成的函数，例如f(g(x))，其中g(x)为内层函数，f(x)为外层函数。求复合函数的导数需要使用链式法则，即外层函数对内层函数求导，再乘以内层函数的导数。例如，求y=sin(x^2)的导数，可以先求sin(x^2)对x^2求导，即cos(x^2)，再乘以x^2的导数，即2x，最终得到y'=2xcos(x^2)。极限的概念定义当一个函数的输入值无限接近某个值时，函数的输出值无限接近某个特定值，这个特定值就是函数在这个点的极限。符号函数f(x)在x趋近于a时的极限记为：lim(x->a)f(x)。重要性极限的概念是微积分的基础，它为导数、积分等概念奠定了理论基础。极限的性质常数性质常数的极限等于它本身。极限唯一性如果函数的极限存在，则该极限是唯一的。加法和减法两个函数的极限的和（或差）等于它们各自极限的和（或差）。乘法和除法两个函数的极限的乘积（或商）等于它们各自极限的乘积（或商）。导数的概念1定义函数在某一点的导数定义为函数在该点处的变化率，即函数值的变化量与自变量的变化量的比值。用公式表示为：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h。2几何意义导数代表了函数曲线在该点处的切线的斜率，反映了函数在该点处的变化趋势。3应用导数在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如求函数的极值、计算物体运动的速度和加速度等。导数的几何意义导数在几何上代表函数曲线在某一点的切线的斜率。具体来说，对于函数y=f(x)在点x=a处的导数f'(a)等于曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线的斜率。导数的性质常数函数常数函数的导数为零。幂函数幂函数的导数等于指数减一的幂乘以系数。和差法则两个函数和或差的导数等于每个函数导数的和或差。积法则两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。高阶导数二阶导数函数的一阶导数的导数称为二阶导数，它反映了函数变化率的快慢程度。高阶导数函数的二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，称为函数的高阶导数。物理意义二阶导数在物理学中用于描述加速度，三阶导数用于描述加速度的变化率。应用高阶导数在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。微分的概念1定义函数在一点处的微分是函数增量线性主部的部分.2公式dy=f'(x)dx.3意义微分近似地刻画了函数在一点附近的局部变化.微分是函数在一点处增量的线性近似，它反映了函数在该点附近的局部变化趋势。微分公式为dy=f'(x)dx，其中dy为函数的微分，f'(x)为函数的导数，dx为自变量的增量。微分的应用广泛，例如，在物理学中，它可以用来描述位移、速度和加速度之间的关系。在经济学中，它可以用来描述利润、成本和收入之间的关系。微分的性质线性近似微分可以用来近似地表示一个函数在某个点附近的变化。可加性两个函数之和的微分等于它们各自微分的和。齐次性一个函数的微分乘以一个常数，等于该函数的微分乘以该常数。不定积分1基本概念不定积分是指求导数为已知函数的函数，也称为原函数。它表示一个函数的“反导数”。2求解方法不定积分的求解方法通常使用积分公式和积分技巧。3应用场景不定积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，例如计算面积、体积、力学等。定积分1积分上限积分上限是定积分积分区域的上限。2积分下限积分下限是定积分积分区域的下限。3被积函数被积函数是在积分符号下需要进行积分的函数。牛顿-莱布尼茨公式1定积分用积分符号表示2原函数连续函数3求导求导数微积分基本定理1牛顿-莱布尼茨公式连接导数与积分之间的桥梁，它表明定积分的值等于原函数在积分区间的端点处的函数值之差。2微积分基本定理的意义它揭示了微分与积分之间的相互联系，为解决许多数学问题提供了重要工具。3应用应用于求解定积分，求解微分方程，以及解决许多工程和物理学问题。广义积分无穷积分积分区间包含无穷大或负无穷大。瑕积分积分区间内存在奇点，即被积函数在该点无定义或不连续。计算方法利用极限、变量代换等方法计算广义积分。函数的连续性定义若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，并且lim(x->x0)f(x)=f(x0)则称函数f(x)在点x0处连续分类第一类间断点：左右极限存在，但不相等第二类间断点：左右极限至少有一个不存在函数的连续性判定定义法根据函数连续性的定义进行判定，即判断函数在点x0处左右极限是否存在且相等，并等于函数值。性质法利用函数连续性的性质进行判定，例如基本初等函数的连续性、连续函数的和、差、积、商的连续性等。间断点法判断函数在点x0处是否存在间断点，若不存在间断点则函数在该点连续。函数的可导性连续性可导函数必连续，但连续函数不一定可导。导数存在函数在一点可导意味着该点存在导数，即函数在该点处的切线斜率存在。罗尔定理1前提条件函数在闭区间上连续，在开区间上可导2结论如果函数在闭区间端点的函数值相等，则在开区间内至少存在一点，使得函数的导数为零3应用证明函数的单调性、求解函数的极值、寻找函数的零点泰勒公式公式f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+R(x)用途将函数展开成多项式形式，方便研究函数的性质。应用近似计算函数值、求解方程、证明不等式。最值问题寻找函数在给定区间上的最大值和最小值。应用导数的概念，通过求导和分析函数的单调性、极值点和边界值来确定最值。在实际应用中，最值问题广泛存在于经济学、物理学、工程学等领域，用于优化资源分配、确定最佳设计等。曲线的性质凹凸性判断曲线凹凸性，需要计算二阶导数并判断其符号拐点拐点是指曲线凹凸性发生变化的点，即二阶导数等于零或不存在的点渐近线渐近线是指当自变量趋于无穷大时，曲线无限接近的一条直线曲面的性质曲率描述曲面弯曲程度的量，反映了曲面在某一点处的弯曲程度。法线在曲面上某一点处的法线是垂直于该点切平面的直线。主曲率在曲面上某一点处，法截曲线的最大曲率和最小曲率分别称为主曲率。多元函数的概念定义多个自变量的函数，其输出值取决于所有自变量的值图形函数的图形需要在多维空间中表示，通常用三维坐标系或等高线图来展示应用广泛应用于物理、工程、经济等领域，用于描述多因素之间的相互关系偏导数定义偏导数是多元函数对其中一个变量的导数，其他变量视为常数。符号偏导数符号用∂表示，例如∂f/∂x表示函数f对x的偏导数。意义偏导数反映了多元函数在某一点沿着某个方向的变化率。重积分重积分可以用来计算曲面面积、体积、质量、重心等物理量。重积分的定义